Do bài $51$ khá khó nên em sẽ đề cử thêm bài tập để nhiều bạn khác có thể làm được
Bài chưa có lời giải:
[TEX]\boxed{51}[/TEX]
$\left\{\begin{matrix}
&(x^2-1)^2+3=\dfrac{6x^5y}{x^2+2} \\
&3y-x=\sqrt{\dfrac{4x-3x^2y-9xy^2}{x+3y}}
\end{matrix}\right.$
Bài tập đề nghị thêm:
Bài tập cơ bản:
[TEX]\boxed{55}[/TEX]
$\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{2x-3}=1$
[TEX]\boxed{56}[/TEX]
$x^2-3x-4=\sqrt{x-1}(x^2-4x-2)$
[TEX]\boxed{57}[/TEX] Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&xy+x+y=x^2-2y^2 \\
& x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y
\end{matrix}\right.$
Bài tập nâng cao:
[TEX]\boxed{58}[/TEX] (VMO 2006)
$\left\{\begin{matrix}
&x^3+3x^2+2x-5=y & \\
&y^3+3y^2+2y-5=z & \\
&z^3+3z^2+2z-5=x &
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{59}[/TEX] Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&x^3-xy^2+2000y=0 \\
&y^3-yx^2+500x=0
\end{matrix}\right.$
P/s:
@Baoriven @batman1907 @zzh0td0gzz @toilatot @W_Echo74 @Otaku8874 @tranvandong08 @Dương Bii ,.. Phần bài tập cơ bản không khó nên mong các thành viên trên diễn đàn có thể ủng hộ topic nhé.
Em xin ghi lời giải bài $51$ cho các bạn tham khảo:
Bài 51:
ĐKXĐ:$3y \geq x,x+3y \neq 0$
Nhìn vào hệ khá rối nên ta tìm cách để biến đổi tương đương đưa về dạng đơn giản hơn:
$\left\{\begin{matrix}
&(x^2-1)^2+3=\dfrac{6x^5y}{x^2+2} \\
&3y-x=\sqrt{\dfrac{4x-3x^2y-9xy^2}{x+3y}}
\end{matrix}\right.
\\\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
&(x^4-2x^2+4) (x^2+2)=6x^5y\\
&9y^2-6xy+x^2=\dfrac{4x-3xy(x+3y)}{x+3y}
\end{matrix}\right.
\\\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
&x^6+8=6x^5y\\
&9y^2-6xy+x^2=\dfrac{4x}{x+3y}-3xy
\end{matrix}\right.
\\\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
&x^6+8=6x^5y\\
&(9y^2-3xy+x^2)(x+3y)=4x
\end{matrix}\right.
\\\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
&x^6+8=6x^5y\\
&x^3+27y^3=4x
\end{matrix}\right. $
Tới dây dễ thấy $x=0$ không phải là nghiệm nên chia $2$ vế của phương trình đầu cho $x^6$ chia $2$ của phương trình sau cho $x^3$ khi đó hệ tương đương:
$\left\{\begin{matrix}
&1+\dfrac{8}{x^6}=\dfrac{6y}{x} \\
&1+\dfrac{27y^3}{x^3}=\dfrac{4}{x^2}
\end{matrix}\right.$
Đặt $(\dfrac{2}{x^2},\dfrac{3y}{x}) \rightarrow (a,b)$ với $a>0$ ta sẽ được hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&1+a^3=2b \\
&1+b^3=2a
\end{matrix}\right.$
Trừ $2$ của phương trình thì dễ dàng thu được nghiệm:
$\left\{\begin{matrix}
&a=b \\
&a=1,a=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.$
Từ đó thay $a,b$ vào tìm $x,y$ ta thu được nghiệm:
$(x,y)=(\pm \sqrt{2},\pm \dfrac{\sqrt{2}}{3});(-\sqrt{\sqrt{5}+1},-\dfrac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{\sqrt{5}+1}}{6})$
