- 23 Tháng bảy 2016
- 1,123
- 1,495
- 344
- 22
- Đắk Nông
Trưa rồi chưa ai làm bài $58$ nên mình sẽ ghi đáp án nhé.
Nhận ra $x=y=z=1$ là nghiệm của hệ phương trình.
Nên ta sẽ cố gắng biến đổi thành các nhân tử $(x-1),(y-1),(z-1)$
Biến đổi hệ thành:
$\left\{\begin{matrix}
&(x-1)(x^2+4x+6)=y-1 & \\
&(y-1)(y^2+4y+6)=z-1 & \\
&(z-1)(z^2+4z+6)=x-1 &
\end{matrix}\right.$
Nhân các vế theo vế lại với nhau. Dễ thấy phương trình sẽ có nghiệm $x=y=z=1$
Nếu $x,y,z \neq 1$ thì $(x^2+4x+6)(y^2+4y+6)(z^2+4z+6)=0$
Điều này hiển nhiên là vô lý do mỗi tích đều dương.
Cách 2:
Có thể đánh giá miền nghiệm
Cộng các vế của phương trình lại đưa về dạng:
$(x-1)(x^2+4x+5)+(y-1)(y^2+4y+5)+(z-1)(z^2+4z+5)=0(*)$.
Xét $x>1$ khi đó thì $z^3+3z^2+2z-5>1$ hay $(z-1)(z^2+4z+6)>0 \Rightarrow z>1$.
Tương tự thì $y>1$
Do đó $VT$ của $(*)>0$.
Tương tự trường hợp $x<1$. Do đó $x=1$ thay vào tìm được $x=y=z=1$
Cách 3:
Cũng là một cách đánh giá bđt. Do $x=y=z=1$ nên ta sẽ đi đánh giá để phương trình có $x=y=z$.
Biến đổi hệ về thành:
$\left\{\begin{matrix}
&(x+1)^3=y+x+6 & \\
&(y+1)^3=z+y+6 & \\
&(z+1)^3=x+z+6 &
\end{matrix}\right.$
Kmttq giả sử: x=max{x,y,z}
$\Rightarrow x+z \geq y+z \\\Leftrightarrow (z+1)^3 \geq (y+1)^3 \\\Leftrightarrow z \geq y \\\Leftrightarrow x+z \geq x+y \\\Leftrightarrow (z+1)^3 \geq (x+1)^3 \\\Leftrightarrow z \geq x$.
Do đó $x=z$ dễ dàng suy ra $x=y=z$.
Do đó thay vào ta cũng sẽ tìm được $x=y=z=1$.
