Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

Thảo luận trong 'Phương trình. Hệ phương trình' bắt đầu bởi Hoàng Quốc Khánh, 21 Tháng sáu 2017.

Lượt xem: 19,277

  1. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Anh giải thích cho e cái đoạn pt đầu tương đương đc không anh ._.
     
  2. Baoriven

    Baoriven Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    32
    Điểm thành tích:
    31
    Nơi ở:
    Tiền Giang

    Ta có: $2^{2x^2+1}+2^{2x+2}=9.2^{x^2+x}$.
    Tới đây chia $2$ vế cho $2^{x^2+x}$ là được.
    À em lộn tưởng anh đang giải bài $45$ ._. Em nghĩ thế quái nào mà $x_1+x_2+..x_n=2^{2x^2+1}+2^{2x+2}=9.2^{x^2+x}$ ._. haha :v
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng sáu 2017
    baochau1112 thích bài này.
  3. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

  4. Dương Bii

    Dương Bii Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    483
    Điểm thành tích:
    119
    Nơi ở:
    Thái Nguyên
    Trường học/Cơ quan:
    Vô gia cư :)

    45. $1=\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2} +...+\frac{1}{x_n} \geq \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}=> n^2\leq 9 <=> n\leq 3$
    Vi n nguyen duong $=> n = 1,2,3$
    Vs. $ n=1$ , Loai
    $n=2$. , loai
    $n=3$, $x_1=x_2=x_3=3$ thoa man.
     
    Nguyễn Xuân Hiếu thích bài này.
  5. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

  6. tranvandong08

    tranvandong08 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    231
    Điểm thành tích:
    109
    Nơi ở:
    Ninh Bình
    Trường học/Cơ quan:
    Trường THPT Kim Sơn B

    đúng rồi hôm qua mình cũng gặp bài này -__-
     
  7. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Lời giải bài 46:
    Phương trình viết lại dưới dạng:
    $(7n-12)3^n+(2n-14)2^n+24n=6^n$.
    Biến đổi đưa về dạng:
    $(2^n-n^2)(3^n-2n+14)=(3^n-2n)(3-n)(n-4)$
    Ta có: $3^n=(1+2)^n \geq 1+2n$ sao cho $3^n-2n$ và $3^n-2n+14$ đều dương.
    Vì $2^n>n^2$ với mọi $n$ trừ $n=2,3,4$ do đó nếu $n>4$ thì VT dương, VP âm. Do đó xét $n=2,n=3,n=4$ thì thấy $n=4$ thỏa mãn.
    P/s: Tối em sẽ đăng thêm bài tập nhé. Có lẽ bài $47$ sai đề ._.
     
    W_Echo74 thích bài này.
  8. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    [TEX]\boxed{48}[/TEX]
    $\left\{\begin{matrix}
    &x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12 \\
    &y\sqrt{x^2-y^2}=12
    \end{matrix}\right.$
    [TEX]\boxed{49}[/TEX]
    Chứng minh rằng phương trình $x^5-5x^4+30x^3-50x^2+55x-21=0$ có nghiệm duy nhất:
    $x=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$.
    P/s: Bài này em định bảo tìm nghiệm cơ :v Cơ mà vậy chắc tới Tết Tây :v.
    [TEX]\boxed{50}[/TEX] (THTT):
    $\left\{\begin{matrix}
    &x+6\sqrt{xy}-y=6 \\
    &x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3
    \end{matrix}\right.$
    [TEX]\boxed{51}[/TEX] ( Bonus thêm một bài ''xương'' :v)
    $\left\{\begin{matrix}
    &(x^2-1)^2+3=\dfrac{6x^5y}{x^2+2} \\
    &3y-x=\sqrt{\dfrac{4x-3x^2y-9xy^2}{x+3y}}
    \end{matrix}\right.$
    P/s: Em xin lỗi vì post bài chậm ạ. Mọi người cùng làm bài nhé :v. Để mỗi anh @Baoriven làm thì chán lắm :v. Ảnh chán mà mình cũng chán nữa . @W_Echo74 @Thủ Mộ Lão Nhân nay chả thấy bác ở đâu? @Dương Bii @tranvandong08 @Otaku8874 , @Trafalgar D Law ......
     
    star_shine thích bài này.
  9. Baoriven

    Baoriven Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    32
    Điểm thành tích:
    31
    Nơi ở:
    Tiền Giang

    Lời giải bài 48:
    Điều kiện $y> 0$.
    Bình phương $2$ vế PT $2$, ta được: $y^4-x^2y^2+144=0$ hay $y^4+144=x^2y^2$.
    Viết lại hệ một chút:
    $\left\{\begin{matrix}&y+\sqrt{x^2-y^2}=12-x \\ &y\sqrt{x^2-y^2}=12\end{matrix}\right.$​
    Do đó: $y$ là thỏa mãn PT: $y^2-(12-x)y+12=0$ (Theo $Viete$).
    Hay $y^2+12=(12-x)y$.
    Suy ra: $x^2y^2=y^4+144=(12-x)^2y^2-24y^2$.
    Loại $y=0$, suy ra được $x=5$.
    Thế lại tìm được: $y=3$ hoặc $y=4$.
     
    Nguyễn Xuân Hiếu thích bài này.
  10. batman1907

    batman1907 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    62
    Điểm thành tích:
    130

    $x^{5}-5x^{4}+30x^{3}-50x^{2}+55x-21=0$
    $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(x+1)^{5}=\dfrac{2}{3}(2-x)^{5}$
    $\Leftrightarrow x+1=\sqrt[5]{2}(2-x)$
    $\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt[5]{2}-1}{1+\sqrt[5]{2}}=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$
     
  11. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Đúng rồi ạ :v
    Có một hướng làm khác là từ $x=...$ biến đổi ngược lại :v.
    $2$ anh thử làm bài $50,51$ xem :v
     
  12. Baoriven

    Baoriven Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    32
    Điểm thành tích:
    31
    Nơi ở:
    Tiền Giang

    Lời giải bài 50:
    Ta có: $xy\geq 0$.
    Giả sử $x,y\leq 0$.
    Ta có: $3+\sqrt{2(x^2+y^2)}=x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}\leq 0$ (vô lý)
    Nên $x,y$ không âm.
    Ta có: $PT1\Leftrightarrow 6=x+6\sqrt{xy}-y\leq x+3(x+y)-y=4x+2y$.
    Suy ra: $2x+y\geq 3$.
    Ta có: $x^2+xy+y^2\leq \dfrac{3(x^2+y^2)}{2}$.
    $\Rightarrow \dfrac{3(x^3+y^3)}{x^2+y^2+xy}\geq \dfrac{2(x^3+y^3)}{x^2+y^2}$.
    Ta cần chứng minh: $\dfrac{2(x^3+y^3)}{x^2+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}\Leftrightarrow x^6+y^6+4x^3y^3\geq 3x^4y^2+3x^2y^4$.
    Ta có: $x^6+x^3y^3+x^3y^3\geq 3x^4y^2$ nên tương tự , ta có bđt trên đúng.
    Suy ra: $\dfrac{3(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+y$.
    Nên: $PT(2)\Leftrightarrow 3=x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+x+y=2x+y$.
    Do đó $2x+y=3$, dấu bằng xảy ra khi $x=y$.
    Vậy $x=y=1$.
     
    Bùi thị thanhNguyễn Xuân Hiếu thích bài này.
  13. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,206
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    [TEX]\boxed{52}[/TEX] Tìm nghiệm nguyên của phương trình
    [tex]x^2-2y^2+xy-x+4y-12=0[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng sáu 2017
  14. Baoriven

    Baoriven Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    32
    Điểm thành tích:
    31
    Nơi ở:
    Tiền Giang

    Lời giải bài 52:
    Viết lại PT ban đầu, ta được: $x^2+x(y-1)-2(y-1)^2=10\Leftrightarrow (x-y+1)(x+2y-2)=10$.
    Tới đây chắc bạn giải tiếp dễ dàng rồi .
     
  15. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,206
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    [​IMG] GPT :
    [tex](\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(\sqrt{1-x}+1)=1[/tex]
     
  16. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Một cách khác nhưng cách của anh bảo đơn giản hơn
    $x^2-2y^2+xy-x+4y-12=0
    \\\Rightarrow x^2+x(y-1)-(2y^2-4y+12)=0
    \\\Delta=(y-1)^2+4(2y^2-4y+12)=9y^2+18y+49$.
    Tới đây thì $\Delta$ phải là 1 số cp thì mới có $x$ nguyên.
    Hay $9y^2+18y+49=k^2(k \in \mathbb{Z}) \\\Rightarrow (3y+3)^2-k^2=-40 \\\Rightarrow (3y+3-k)(3y+3+k)=-40=...$.
     
  17. Baoriven

    Baoriven Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    32
    Điểm thành tích:
    31
    Nơi ở:
    Tiền Giang

    Lời giải bài 53:
    Điều kiện $x\in [0;1]$.
    PT ban đầu tương đương với: $\sqrt{x+3}+\sqrt{x}=3(\sqrt{1-x}+1)\geq 3$.
    Suy ra: $x\geq 1$. (BĐT trên giải không khó).
    Do đó: $x=1$.
     
  18. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,206
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    [​IMG] Tìm nghiệm nguyên của phương trình
    [tex]x^3+y^3=1983[/tex]
     
  19. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Đặt $(x,y)=d \Rightarrow x=dx_1,y=dy_1$ với $(x_1,y_1)=1$ và $d \in \mathbb{N}$
    Thay vào phương trình ta có:$d^3(x_1^3+y_1^3)=1983$.
    Dễ thấy $1983$ phải chia hết cho $d^3$ mà $1983=3.661$ do đó $d=1$.
    $\Rightarrow (x_1^3+y_1^3)=1983 \\\Rightarrow (x_1+y_1)(x_1^2-x_1.y_1+y_1^2)=1983$.
    Tiếp tục đặt $(x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2)=k$.
    Khi đó $(x_1+y_1)^2-(x_1^2-x_1.y_1+y_1^2) \vdots k$ hay $3x_1y_1 \vdots k$.
    Xét trường hợp $3 \vdots k$ khi đó $k=1$ hoặc $k=3$.
    Xét $k=3$ thì $x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2 \vdots 3$.
    Do đó $VT \vdots 9$ mà $VP$ lại không chia hết cho $9$ nên vô lý.
    Xét $k=1$ thì $x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2$ là 2 snt cùng nhau.
    Xét $x_1y_1 \vdots k$ thì $x_1$ hoặc $y_1 \vdots k$ mà $x_1+y_1 \vdots k$ nên $x_1,y_1 \vdots k$.
    Mà $(x_1,y_1)=1$ nên $k=1$.
    Tóm lại: $x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2$ là 2 snt cùng nhau.
    Do đó: $(x_1+y_1)(x_1^2-x_1.y_1+y_1^2)=1983=3.661=1.1983=...$
    Chú ý là $x_1^2-x_1.y_1+y_1^2>0$
    Từ đó tìm các cặp $x_1,y_1$ thích hợp
     
  20. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Do bài $51$ khá khó nên em sẽ đề cử thêm bài tập để nhiều bạn khác có thể làm được
    Bài chưa có lời giải:
    [TEX]\boxed{51}[/TEX]
    $\left\{\begin{matrix}
    &(x^2-1)^2+3=\dfrac{6x^5y}{x^2+2} \\
    &3y-x=\sqrt{\dfrac{4x-3x^2y-9xy^2}{x+3y}}
    \end{matrix}\right.$
    Bài tập đề nghị thêm:
    Bài tập cơ bản:
    [TEX]\boxed{55}[/TEX]
    $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{2x-3}=1$
    [TEX]\boxed{56}[/TEX]
    $x^2-3x-4=\sqrt{x-1}(x^2-4x-2)$
    [TEX]\boxed{57}[/TEX] Giải hệ:
    $\left\{\begin{matrix}
    &xy+x+y=x^2-2y^2 \\
    & x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y
    \end{matrix}\right.$
    Bài tập nâng cao:
    [TEX]\boxed{58}[/TEX] (VMO 2006)
    $\left\{\begin{matrix}
    &x^3+3x^2+2x-5=y & \\
    &y^3+3y^2+2y-5=z & \\
    &z^3+3z^2+2z-5=x &
    \end{matrix}\right.$
    [TEX]\boxed{59}[/TEX] Giải hệ:
    $\left\{\begin{matrix}
    &x^3-xy^2+2000y=0 \\
    &y^3-yx^2+500x=0
    \end{matrix}\right.$
    P/s: @Baoriven @batman1907 @zzh0td0gzz @toilatot @W_Echo74 @Otaku8874 @tranvandong08 @Dương Bii ,.. Phần bài tập cơ bản không khó nên mong các thành viên trên diễn đàn có thể ủng hộ topic nhé.
     
    Thủ Mộ Lão Nhântoilatot thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->