Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

Thảo luận trong 'Phương trình. Hệ phương trình' bắt đầu bởi Hoàng Quốc Khánh, 21 Tháng sáu 2017.

Lượt xem: 16,942

  1. Hoàng Quốc Khánh

    Hoàng Quốc Khánh Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    48
    Điểm thành tích:
    16
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Topic này là nơi các thành viên giải các bài tập về phương trình, hệ phương trình. Mỗi ngày 3 bài, và do tôi chọn lọc và đăng. Các thành viên tham gia giải bài cần lưu ý các điều sau:
    - Chú ý viết LATEX đối với công thức
    - Không chửi bậy, văng tục và không xúc phạm nhau
    - Không đăng các bài còn hạn trên tạp chí Toán Tuổi Thơ, THTT, PI....
    - Không đăng quá nhiều bài gây loãng topic này
    Mong các thành viên đóng góp và thực hiện nghiêm túc quy định của topic
    Tôi xin mở đầu bằng 3 bài sau:
    [TEX]\boxed{1}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix} \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+xy+y^2}{3}}=x+y\\ x\sqrt{2xy+5x+3}=4xy-5x-3\end{matrix}\right.[/TEX]

    (THTT số 407)
    [TEX]\boxed{2}[/TEX] Giải phương trình: [TEX](\sqrt{x^2+1}-x)^3+(\sqrt{x^2+1}+x)^3+4x^2-2=0[/TEX]
    (HSG Phú Yên 2014-2015)
    [TEX]\boxed{3}[/TEX] Giải phương trình: [TEX]x^3-3x^2-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}=0[/TEX]
    (Olympic 30-4 Chuyên LQĐ - Ninh Thuận)
    Xem thêm: https://diendan.hocmai.vn/threads/tai-lieu-phuong-trinh-he-phuong-trinh.621893/#post-3137546
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng bảy 2017
  2. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Khai trương:
    Bài 1:
    Đánh giá phương trình đầu của hệ:
    Dễ thấy $x+y$ không âm.
    Do đó ta có đánh giá sau:
    $L.H.S=\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+xy+y^2}{3}}
    \\\geq \sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{4}}+\sqrt{\dfrac{(x+y)^2-xy}{3}}
    \\\geq \dfrac{x+y}{2}+\sqrt{\dfrac{(x+y)^2-\dfrac{(x+y)^2}{4}}{3}}
    \\=x+y=R.H.S$
    Dấu '=' xảy ra khi $x=y$ thay vào phương trình dưới:
    $x\sqrt{2x^2+5x+3}=4x^2-5x-3$.
    Chia cả 2 vế cho $x^2$
    TH1:$x>0$ thì $\sqrt{2+\dfrac{5x+3}{x^2}}=4-\dfrac{5x+3}{x^2}$
    Tiến hành đặt ẩn phụ $\dfrac{5x+3}{x^2}=t$
    Giải ra $t=2$ hoặc $t=7$
    Với $t=2$ giải ra $x=3$(nhận) và $x=\dfrac{-1}{2}$(loại)
    TH2 $x<0$ tương tự sẽ ra nghiệm là $x=\dfrac{5-\sqrt{109}}{14}$
    Kết luận:...
    @toilatot @iceghost @Viet Hung 99 @Nữ Thần Mặt Trăng @chi254 @kingsman(lht 2k2) @Thủ Mộ Lão Nhân,.. tham gia cho xôm nào
     
    Last edited: 21 Tháng sáu 2017
  3. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Bài 2:
    Đặt $((\sqrt{x^2+1}-x)^3,(\sqrt{x^2+1}+x)^3) \rightarrow (a,b)$
    Khi đó ta có hệ phương trình:
    $\left\{\begin{matrix}
    &ab=1 \\
    &a^3+b^3+(a+b)^2-6=0
    \end{matrix}\right.
    \\\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
    &ab=1 \\
    &(a+b)^3-3(a+b)+(a+b)^2-6=0
    \end{matrix}\right.$
    Giải phương trình bậc $3$ theo ẩn $a+b$ ta sẽ tìm được $a+b$ kết hợp với $ab$ từ đó suy ra $a,b$.
    Tìm được $a=b=1$ do đó $x=0$(thỏa mãn)
     
    Last edited: 21 Tháng sáu 2017
    baochau1112Thủ Mộ Lão Nhân thích bài này.
  4. Thủ Mộ Lão Nhân

    Thủ Mộ Lão Nhân Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    273
    Điểm thành tích:
    76

    Bác là luồng gió mới. chúc bác thành công.
    Bài 3:

    Điều kiện: $x\geq -1$
    $x^3-3x^2-8x+40=8\sqrt[4]{4x+4}=\sqrt[4]{16.16.16.(4x+4)}\leq \dfrac{4x+52}{4}=x+13$
    $\Rightarrow x^3-3x^2-9x+27\leq 0$
    $\Rightarrow (x-3)^2(x+3)\leq 0$
    Suy ra $x=3$
    Thử lại thấy $x=3$ thỏa mãn.
     
    Last edited: 21 Tháng sáu 2017
    Đình Hải thích bài này.
  5. Hoàng Quốc Khánh

    Hoàng Quốc Khánh Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    48
    Điểm thành tích:
    16

    Ra trước ngày (mỗi ngày hơn 3 rồi). Tăng mức độ lên nào
    [TEX]\boxed{4}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+y}+\sqrt{2x-y+4}=4\\ x^3+4x^2+2y^2-4y(x+1)+3=0\end{matrix}\right.[/TEX]
    [TEX]\boxed{5}[/TEX] Giải phương trình: [TEX](17-6x)\sqrt{3x-5}+(6x-7)\sqrt{7-3x}=2+8\sqrt{36x-9x^2-35}[/TEX]
    [TEX]\boxed{6}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix}2x=y(1+x)\\ 2y^2=(\sqrt{z}+1)(1+y^2)\\ 2(z+2\sqrt{z}-\sqrt{x}+1)=\sqrt{xz}(2+\sqrt{z})\end{matrix}\right.[/TEX]
     
  6. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Chém câu $4$ nào
    $4^2=[\sqrt{2x+y}+\sqrt{2x-y+4}]^2 \leq (1+1)(2x+y+2x-y+4)
    \\\Rightarrow 4^2 \leq 2(4x+4)
    \\\Rightarrow x \geq 1$
    Thay vào đánh giá phương trình $2$:
    $x^3+4x^2+2y^2-4xy-4y+3=0
    \\\Rightarrow -y^2+4y-3=x^3+(4x^2+y^2)-4xy \geq 1+4xy-4xy=1
    \\\Rightarrow -(y-2)^2 \geq 0
    \\\Rightarrow y=2$
    Thử lại $(x,y)=(1,2)$ thì thỏa mãn.
    Kết luận:...
     
    W_Echo74, Đình HảiHoàng Quốc Khánh thích bài này.
  7. Thủ Mộ Lão Nhân

    Thủ Mộ Lão Nhân Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    273
    Điểm thành tích:
    76

    Bài 6:
    [tex]Hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{2x}{1+x}\\\sqrt{z}+1=\dfrac{2y^2}{1+y^2} \\ \sqrt{x}=\dfrac{2(\sqrt{z}+1)^2}{(\sqrt{z}+1)^2+1} \end{matrix}\right.[/tex]
    [tex]a=\sqrt{x},b=y,c=\sqrt{z}+1[/tex]
    Ta có $a,b,c>0$
    [tex]Hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\dfrac{2b^2}{b^2+1}\\b=\dfrac{2c^2}{c^2+1} \\c=\dfrac{2a^2}{a^2+1} \end{matrix}\right.[/tex]
    Ta có
    [tex]a^2+1\geq 2a,b^2+1\geq 2b,c^2+1\geq 2c[/tex]
    [tex]a\leq b\leq c\leq a\Rightarrow a=b=c=1[/tex]
    [tex]x=1,y=1,z=0[/tex]
     
  8. Hoàng Đình Nhật

    Hoàng Đình Nhật Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    1
    Điểm thành tích:
    6

    Bác qua đây r à
    Bài 5:
    ĐKXĐ: [TEX]\frac{5}{3}\leq x\leq \frac{7}{3}[/TEX]
    Phương trình tương đương với
    [TEX]3(x-2)^2(\frac{24}{\sqrt{-9x^2+36x-35}+1}+\frac{7-6x}{(\sqrt{7-3x}+1)(x-2)}+\frac{17-6x}{(x-2)(\sqrt{3x-5}+1)})=0[/TEX]
    Phương trình trong ngoặc dễ dàng chứng minh với điều kiện xác định thì nó vô nghiệm
    Nên [TEX]x=2[/TEX]
     
    Last edited: 21 Tháng sáu 2017
  9. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Góp ý vài bài tập:
    [TEX]\boxed{7}[/TEX]Giải phương trình:
    $x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$
    [TEX]\boxed{8}[/TEX]Giải hệ phương trình:
    $\left\{\begin{matrix}
    &3-(y+1)^2=\sqrt{x-y} \\
    &x+8y=\sqrt{x-y-9}
    \end{matrix}\right.$
    [TEX]\boxed{9}[/TEX]Giải hệ phương trình:
    $\left\{\begin{matrix}
    &(2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)=18 \\
    &x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0
    \end{matrix}\right.$
     
    W_Echo74Thủ Mộ Lão Nhân thích bài này.
  10. W_Echo74

    W_Echo74 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    71
    Điểm thành tích:
    21
    Nơi ở:
    Nam Định

    Góp gió tí các bác.
    Hệ pt tương đương
    $(x+1)^3=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}+7x^2+8x-5$
    Đặt $a=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}-1$
    Suy ra hệ pt:
    $$\left\{\begin{matrix}(x+1)^3=7x^2+8x+a-4\\(a+1)^3=7x^2+9x-4\end{matrix}\right.$$
    Trừ vế dưới với vế trên hệ vô nghiệm:D:D:D
     
    Last edited: 21 Tháng sáu 2017
    le thi khuyen01121978toilatot thích bài này.
  11. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Hehe sai rồi nhé :v kiểm tra lại đi :v Bài này bác đặt đúng ra đẹp lắm. Có nghiệm đấy
     
    toilatot thích bài này.
  12. Thủ Mộ Lão Nhân

    Thủ Mộ Lão Nhân Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    273
    Điểm thành tích:
    76

    Bài 7:
    $PT\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=7x^2+9x-4+\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$
    Đặt $\sqrt[3]{7x^2+9x-4}=a$
    $PT\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=a^3+a$
    $\Leftrightarrow (x+1-a)((x+1)^2+a(x+1)+a^2+1)=0$
    $\Leftrightarrow x+1=a=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$
    $\Leftrightarrow x^3-4x^2-6x+5=0$
    $x=5,......$
     
    W_Echo74toilatot thích bài này.
  13. W_Echo74

    W_Echo74 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    71
    Điểm thành tích:
    21
    Nơi ở:
    Nam Định

    Chẹp,coi như nhầm^^
     
  14. Thủ Mộ Lão Nhân

    Thủ Mộ Lão Nhân Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    273
    Điểm thành tích:
    76

    Bài 8:
    Điều kiện: $x-y\geq 9$
    $\sqrt{x-y}=3-(y+1)^2\leq 3\Rightarrow x-y\leq 9$
    $\Rightarrow x-y=9$
    $x=8,y=-1$
     
    Nguyễn Xuân Hiếutoilatot thích bài này.
  15. W_Echo74

    W_Echo74 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    71
    Điểm thành tích:
    21
    Nơi ở:
    Nam Định

    Chờ mem giải bài cuối mà ko thấy em đành ra tay:D:D:D
    Bài này em giải theo đạo hàm:):):)
    $\left\{\begin{matrix}
    &(2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)=18 (1)\\
    &x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0 (2)
    \end{matrix}\right.$
    Viết PT (2) theo ẩn $x$
    $x^2+x(y-7)+y^2-6y+14=0$
    Xét $\Delta=(y-7)^2-4(y^2-6y+14)=-3y^2+10y-7 \geq 0$
    $\Leftrightarrow 1 \leq y \leq \dfrac{7}{3}$
    Xét tương tự với ẩn $x$:
    $\Leftrightarrow 2 \leq x \leq \dfrac{10}{3}$
    Xét hàm $f(a)=2a^2-3a+4$
    Và hàm $f'(a)=4a-3$
    Dễ dàng nhận thấy nếu
    $a \geq \dfrac{3}{4}$ thì
    Hàm f sẽ đồng biến.
    Nên
    (1) $\Leftrightarrow f(x).f(y)=18$
    Dựa vào đk xét ở (2)
    $\Rightarrow f(x).f(y) \geq f(2).f(1)=18$
    Tuy nhiên x=2;y=1 không là nghiệm pt nên em cho rằng hpt vô nghiệm...(cái này là CASIO của mình nó tính thế:D:D:D)
    Bác @Nguyễn Xuân Hiếu check giùm :D:D:D
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng sáu 2017
    Nguyễn Xuân Hiếu thích bài này.
  16. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Ok chuẩn rồi :v . Mấu chốt bài này là giới hạn miền nghiệm rồi đánh giá. Cơ mà gõ nhiều lỗi quá :v ($x,y$ lẫn lộn mình mới sửa lại xong)
     
    W_Echo74 thích bài này.
  17. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    [TEX]\boxed{10}[/TEX] Giải phương trình:
    $\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}=x^4-8x^3+17x^2-8x+22$
    [TEX]\boxed{11}[/TEX] Giải phương trình:
    $(x+2012)^3[(x+2011)^3+1]=16(x+2011)^3$
    [TEX]\boxed{12}[/TEX] Giải hệ phương trình:
    $\left\{\begin{matrix}
    &x^2+4y(x-5)-1=4y^2-x+2\sqrt{2y} \\
    &4y(x-4)+x=2\sqrt{x-1}
    \end{matrix}\right.$
    P/s: Đợi mãi chả thấy $3$ bài của bác @Hoàng Quốc Khánh mấy bạn gặm đỡ mấy bài này.
     
    Last edited: 22 Tháng sáu 2017
    Thủ Mộ Lão Nhân thích bài này.
  18. W_Echo74

    W_Echo74 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    71
    Điểm thành tích:
    21
    Nơi ở:
    Nam Định

    Em chém câu 10 trước(dự đoán em sẽ ko gõ latex sai nữa:D:D:D)
    Ta có:
    $(\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x})^2 \leq 2.18=36$ theo Bunhiacopski
    $\Rightarrow x^4-8x^3+17x^2-8x+22 \geq 6$
    $\Leftrightarrow (x-4)^2.(x^2+1) \leq 0$
    cơ mà vì BĐT trên luôn $\geq 0$
    Nên $x=4$
    Thử lại:x=4 thoả mãn.
    Vậy...
     
    Last edited: 22 Tháng sáu 2017
    Nguyễn Xuân Hiếu thích bài này.
  19. Baoriven

    Baoriven Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    32
    Điểm thành tích:
    31
    Nơi ở:
    Tiền Giang

    Lời giải bài 11:
    Nhận thấy $x=-2011$ không thỏa.
    Đặt $x+2011=t$, rồi chia $2$ vế PT cho $t^3$ ta được:
    $(t+1)^3+(\frac{1}{t}+1)^3=16$.
    Đặt tiếp $t+\frac{1}{t}=m$, ta được: $m^3+3m^2=20$.
    Suy ra $m=2$. rồi được $t=1$.
    Cuối cùng được $x=-2010$.
     
    baochau1112Nguyễn Xuân Hiếu thích bài này.
  20. Thủ Mộ Lão Nhân

    Thủ Mộ Lão Nhân Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    273
    Điểm thành tích:
    76

    Bác @Hoàng Quốc Khánh cho e hỏi bác còn duy trì topic này hay ko????
    Mới được có 2 bữa mà bác đã ko kiên trì được nữa rồi à.
    Hay là sau màn ra mắt bị vùi dập, bác ra đi luôn.
    Bác @Hoàng Quốc Khánh có lẽ không phụ trách topic nữa. Vậy nên mình sẽ đứng ra để phụ trách topic phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức nếu điều trên xảy ra. @Hiếu
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng sáu 2017
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->