[Toán 8] Nhóm học hè

Thảo luận trong 'Đại số' bắt đầu bởi ducanh_1997, 29 Tháng năm 2011.

Lượt xem: 28,285

  1. ai có bài j hay về 2 định lý Cê-va và mê-đê-lê-uýt ko?
    post lên cho mọi người cùng làm nha. tks
     
  2. mylinh998

    mylinh998 Guest

    cho a,b,c không âm thỏa: [TEX]{a}^{2009}+{b}^{2009}+{c}^{2009}=3[/tex]
    Tìm GTLN của [tex]a^4+b^4+c^4[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng sáu 2011
  3. Giải thử nha!
    Áp dụng Cauchy cho 2009 số
    [TEX]a^{2009}+a^{2009}+a^{2009}+a^{2009}+1+....+1\geq2009\sqrt[2009]{a^{2009}a^{2009}a^{2009}a^{2009}}=2009a^4\Leftrig4a^{2009}+2005\geq2009a^4[/TEX]
    Tương tự
    [TEX]4b^{2009}+2005\geq2009b^4[/TEX]
    [TEX]4c^{2009}+2005\geq2009c^4[/TEX]
    \Rightarrow[TEX]a^4+b^4+c^4\leq(4*3+2005*3)/2009=3[/TEX]
    Max=3
    Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng sáu 2011
  4. khanhtoan_qb

    khanhtoan_qb Guest

    nhìu lắm nha, thử xem bài này:
    Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, cho AB = 12, AC = 16. Điểm E, F lần lượt trên cạnh AC , AB sao cho AE = 2AF. Các đường thẳng EF và AM cắt nhau tại G.
    Tính [TEX]\frac{EG}{GF}[/TEX]:)
     
  5. khanhtoan_qb

    khanhtoan_qb Guest

    sao lâu zậy mà không có ai giải nhỉ, thui post đáp án zậy
    - Kéo dài BC cắt EF tại H
    Áp dụng định lí Mê nê la uýt vào tam giác FBH với 3 điểm G, A, M
    [TEX]\frac{GH}{GF} . \frac{AF}{AB} . \frac{MB}{MH} = 1[/TEX]cũng có

    [TEX]\frac{GH}{GE} . \frac{AE}{AC} . \frac{MC}{MH} = 1[/TEX]

    Do MB = MC, EA = 2 FA nên

    [TEX]\frac{1}{2} .\frac{GE}{GF} . \frac{AC}{AB} = 1[/TEX]

    [TEX]\frac{GE}{GF} = 2. \frac{AB}{AC} = \frac{3}{2}[/TEX]:)
     
  6. mylinh998

    mylinh998 Guest

    xin lỗi, có thể chỉ rõ cho mình về định lí mê nê la uýt và định lí cê va được không, mình chưa biết về định lí này!
     
    Last edited by a moderator: 24 Tháng sáu 2011
  7. khanhtoan_qb

    khanhtoan_qb Guest

    Néu bạn đã hỏi thì chúng ta học chuyên đề này luôn nghe :D
    A. lí thuyết
    (*) Định lí mê nê la uýt :
    Cho 3 điểm P, Q , R theo thứ tự nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và không trùng đỉnh nào của tam giác đó. Điều kiện cần và đủ để 3 điểm P, Q, R thẳng hàng là
    [TEX]\frac{PB}{PC} = \frac{QC}{QA} = \frac{RA}{RB}[/TEX]
    (*) Định lí Cê va:
    Cho 3 điểm P, Q , R theo thứ tự nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và không trùng đỉnh nào của tam giác đó. Điều kiện cần và đủ để 3 đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui là
    [TEX]\frac{PB}{PC} . \frac{QC}{QA} . \frac{RA}{RB} = - 1[/TEX]
    [CHÚ Ý : trên các đoạn thẳng đều có dấu gạch ngang trên đầu nhưng tui viết chưa được
    chú ý hơn AB = - BA (trong khi có dấu gạch ngang trên đầu)]
    B . Bài tập: Chứng minh 2 định lí trên nghe:):):)
     
    Last edited by a moderator: 24 Tháng sáu 2011
  8. Xê va (ceva)
    Qua A kẻ đg thẳng xy // BC
    xy cắt CR ở M
    BQ cắt xy ở N

    Còn mêlilaúyt thì ông viết có đúng ko đó !??????????:confused::confused::confused::confused:
     
  9. khanhtoan_qb

    khanhtoan_qb Guest

    Đúng rùi đó bạn Nhưng bạn hãy trình bày rõ ra. Vì sao từ đó \Rightarrow đ lí Mê nê la uýt
    Có nhìu cách chứng minh định lí ấy, mọi người hãy cũng suy nghĩ nha:
    Gợi ý:
    (*)Định lí Mê nê la uýt : thuận - kẻ BD song song với QR
    - từ A, B, C hạ đường vuông góc xuống RQ
    đảo : tương tự
    (*)Định lí Cê va: thuận:- dựa vào định lí Mê nê la uýt để chứng minh
    - hoặc như thienlong_cuong :D
    đảo : tương tự
     
  10. 2 định lý này, nói nhỏ cho khanhtoan_qb: các đoạn thẳng đại số là chúng ta học còn trong các cuộc thi hay chương trình học của các tr` khác thì k cần gạch ngang trên đầu. Thế nên nó bằng 1 nha
     
  11. mylinh998

    mylinh998 Guest

    Thôi được rồi, những định lí trên dù j mih cũng ít dùng, hay là chuyển sang cái nào phổ biến hơn đi.
    Lamgf bài này nè: Cho tam giác ABC có Bc =a, các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM=MN=NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao diểm của AN và CE. Tính độ dài IK
     
  12. khanhtoan_qb

    khanhtoan_qb Guest

    Ta có: nối DE ta chứng minh được
    Gọi giao của AM, AN lên DE lần lượt là Z, X
    [TEX]DE = \frac{a}{2}[/TEX] và ED // BC \Rightarrow EDCB là hình thang
    Do ED // BC và BM = MN = NC \Rightarrow [TEX]ZE = ZX = XD = \frac{a}{6}[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{DI}{IB} = \frac{ZD}{BM} = 1 \Rightarrow BI = ID[/TEX]
    tương tự có EK = KC
    Do EDCB là hình thang có ID = IB, EK = KC
    \Rightarrow[TEX]IK = \frac{BC - ED}{2} = \frac{a}{4}[/TEX]
     
  13. mylinh998

    mylinh998 Guest

    Làm thêm bài này nữa
    Bài 1> Cho một hình thang có hai đáy không bằng nhau, Chứng minh rằng:
    a, Tổng hai góc kề đáy lớn nhỏ hơn tổng hai góc kề đáy nhỏ
    b, Tổng hai cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy
    Bài 2.Hình thang ABCD (AB//CD) có E là trung điểm của BC, góc AED=90^o. Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc D
     
  14. kally_1712

    kally_1712 Guest

    Một số bài chứng minh bất đẳng thức trong bài tập hè của e. Mn làm giúp e nhé!
    Bài 1:
    Cho a,b,c>0. Chứng minh:[TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c[/TEX]
    Bài 2:
    Cho a+b+c=1. Chứng minh: [TEX]a^4+b^4+c^4\geq abc[/TEX]
    Bài 3
    Cho a,b,c>0. Chứng minh : [TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}> \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng sáu 2011
  15. khanhtoan_qb

    khanhtoan_qb Guest

    Giả sử có hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD)
    a, Từ A kẻ AK // BC.(K thuộc BC) \Rightarrow ABCK là hình bình hành
    Ta có [TEX]\widehat{DAB} = \widehat{BKD}[/TEX]
    Ta có [TEX]\widehat{BKD} > \widehat{BCK}[/TEX](*)(góc ngoài của tam giác)
    \Rightarrow [TEX]\widehat{DAB} > \widehat{BCD}[/TEX]
    chứng minh tương tự có [TEX]\widehat{ABC} > \widehat{ADC}[/TEX](*)(*)bằng cách kẻ hình bình hành ABK'D
    từ (*)và (*)(*) \Rightarrow đpcm
    b, Từ A kẻ AK // BC (K thuộc BC) \Rightarrow ABCK là hình bình hành
    \Rightarrow BC = AK , AB = CK
    Ta có DC - AB = DC - CK = DK
    mà AD + AK > DK \Rightarrow AD + BC > DC - AB (*)(*)(*)
    Từ (*)(*)(*) \Rightarrow đpcm :):):)
     
  16. ngocanh_181

    ngocanh_181 Guest

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
    -[TEX] a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2[/TEX]
    [TEX] b^4 + c^4 \geq 2b^2c^2[/TEX]
    [TEX] a^4 + c^4 \geq 2a^2c^2[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 (1)[/TEX]
    -[TEX]a^2b^2 + b^2c^2 \geq 2ab^2c [/TEX]
    [TEX]b^2c^2 + a^2c^2 \geq 2abc^2 [/TEX]
    [TEX]a^b^2 + a^2c^2 \geq 2a^2bc [/TEX]
    \Rightarrow [TEX]a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \geq ab^2c+ abc^2 + a^2bc = abc(a + c+ b)(2)[/TEX]
    (1)(2)\Rightarrow đpcm
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng sáu 2011
  17. khanhtoan_qb

    khanhtoan_qb Guest

    Không cần làm như zậy đâu bạn nha :D
    Áp dụng [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca[/TEX]
    \Rightarrow[TEX]a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq ab^2c + bc^2a + ba^2c = abc (a + b + c) = abc[/TEX]
    \Rightarrow đpcm (*)(*)(*)
     
  18. kally_1712

    kally_1712 Guest

    Bài 1 với bài 2 em đã sửa rồi. Mọi người làm giúp e.
    Có 1 bài cô e cho nhưng viết thiêu để bài , ai làm bài như thế này rồi thì cho e xin cái đề bài đầy đủ + lời giải luôn thì càng tốt :d
    Đề cô e cho : Cho a,b,c>0; ab+bc+ac= ?? Chứng minh: [TEX]3+ \frac{a}{b} + \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \geq 2(a+b+c)[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng sáu 2011
  19. ngocanh_181

    ngocanh_181 Guest

    [TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+ (a+b+c)[/TEX]
    [TEX]= ((\frac{a^2}{b} +b)+(\frac{b^2}{c} + c)+(\frac{c^2}{a}+ a))[/TEX]
    [TEX]= (\frac{a^2+b^2}{b}+\frac{b^2+c^2}{c}+\frac{c^2+a^2}{a} \geq \frac{2ab}{b}+\frac{2bc}{c}+\frac{2ac}{a}(Vi a^2 + b^2 \geq 2ab ; b^2 +c^2 \geq 2bc ; a^2 +c^2\geq 2ac)[/TEX]
    \Rightarrow[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+ (a+b+c) \geq 2a + 2b + 2c[/TEX]
    \Rightarrow [TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c[/TEX] (đpcm)
    NhỚ Thanks Tề :D
     
  20. kally_1712

    kally_1712 Guest

    Bài 3
    Cho a,b,c>0. Chứng minh : [TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}> \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}[/TEX]
    Còn 1 bài nè. Mn làm nốt với :)
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->