L
M
mylinh998
cho a,b,c không âm thỏa: [TEX]{a}^{2009}+{b}^{2009}+{c}^{2009}=3[/tex]
Tìm GTLN của [tex]a^4+b^4+c^4[/tex]
Tìm GTLN của [tex]a^4+b^4+c^4[/tex]
Last edited by a moderator:
V
vitconvuitinh
Giải thử nha!
Áp dụng Cauchy cho 2009 số
[TEX]a^{2009}+a^{2009}+a^{2009}+a^{2009}+1+....+1\geq2009\sqrt[2009]{a^{2009}a^{2009}a^{2009}a^{2009}}=2009a^4\Leftrig4a^{2009}+2005\geq2009a^4[/TEX]
Tương tự
[TEX]4b^{2009}+2005\geq2009b^4[/TEX]
[TEX]4c^{2009}+2005\geq2009c^4[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a^4+b^4+c^4\leq(4*3+2005*3)/2009=3[/TEX]
Max=3
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Last edited by a moderator:
K
khanhtoan_qb
nhìu lắm nha, thử xem bài này:
Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, cho AB = 12, AC = 16. Điểm E, F lần lượt trên cạnh AC , AB sao cho AE = 2AF. Các đường thẳng EF và AM cắt nhau tại G.
Tính [TEX]\frac{EG}{GF}[/TEX]
K
khanhtoan_qb
sao lâu zậy mà không có ai giải nhỉ, thui post đáp án zậynhìu lắm nha, thử xem bài này:
Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, cho AB = 12, AC = 16. Điểm E, F lần lượt trên cạnh AC , AB sao cho AE = 2AF. Các đường thẳng EF và AM cắt nhau tại G.
Tính [TEX]\frac{EG}{GF}[/TEX]
- Kéo dài BC cắt EF tại H
Áp dụng định lí Mê nê la uýt vào tam giác FBH với 3 điểm G, A, M
[TEX]\frac{GH}{GF} . \frac{AF}{AB} . \frac{MB}{MH} = 1[/TEX]cũng có
[TEX]\frac{GH}{GE} . \frac{AE}{AC} . \frac{MC}{MH} = 1[/TEX]
Do MB = MC, EA = 2 FA nên
[TEX]\frac{1}{2} .\frac{GE}{GF} . \frac{AC}{AB} = 1[/TEX]
[TEX]\frac{GE}{GF} = 2. \frac{AB}{AC} = \frac{3}{2}[/TEX]
M
mylinh998
xin lỗi, có thể chỉ rõ cho mình về định lí mê nê la uýt và định lí cê va được không, mình chưa biết về định lí này!
Last edited by a moderator:
K
khanhtoan_qb
Néu bạn đã hỏi thì chúng ta học chuyên đề này luôn nghe
A. lí thuyết
(*) Định lí mê nê la uýt :
Cho 3 điểm P, Q , R theo thứ tự nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và không trùng đỉnh nào của tam giác đó. Điều kiện cần và đủ để 3 điểm P, Q, R thẳng hàng là
[TEX]\frac{PB}{PC} = \frac{QC}{QA} = \frac{RA}{RB}[/TEX]
(*) Định lí Cê va:
Cho 3 điểm P, Q , R theo thứ tự nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và không trùng đỉnh nào của tam giác đó. Điều kiện cần và đủ để 3 đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui là
[TEX]\frac{PB}{PC} . \frac{QC}{QA} . \frac{RA}{RB} = - 1[/TEX]
[CHÚ Ý : trên các đoạn thẳng đều có dấu gạch ngang trên đầu nhưng tui viết chưa được
chú ý hơn AB = - BA (trong khi có dấu gạch ngang trên đầu)]
B . Bài tập: Chứng minh 2 định lí trên nghe
Last edited by a moderator:
T
thienlong_cuong
Néu bạn đã hỏi thì chúng ta học chuyên đề này luôn nghe
A. lí thuyết
(*) Định lí mê nê la uýt :
Cho 3 điểm P, Q , R theo thứ tự nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và không trùng đỉnh nào của tam giác đó. Điều kiện cần và đủ để 3 điểm P, Q, R thẳng hàng là
[TEX]\frac{PB}{PC} = \frac{QC}{QA} = \frac{RA}{RB}[/TEX]
(*) Định lí Cê va:
Cho 3 điểm P, Q , R theo thứ tự nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và không trùng đỉnh nào của tam giác đó. Điều kiện cần và đủ để 3 đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui là
[TEX]\frac{PB}{PC} . \frac{QC}{QA} . \frac{RA}{RB} = - 1[/TEX]
[CHÚ Ý : trên các đoạn thẳng đều có dấu gạch ngang trên đầu nhưng tui viết chưa được
chú ý hơn AB = - BA (trong khi có dấu gạch ngang trên đầu)]
B . Bài tập: Chứng minh 2 định lí trên nghe
Xê va (ceva)
Qua A kẻ đg thẳng xy // BC
xy cắt CR ở M
BQ cắt xy ở N
Còn mêlilaúyt thì ông viết có đúng ko đó !??????????
K
khanhtoan_qb
Đúng rùi đó bạn Nhưng bạn hãy trình bày rõ ra. Vì sao từ đó \Rightarrow đ lí Mê nê la uýt
Có nhìu cách chứng minh định lí ấy, mọi người hãy cũng suy nghĩ nha:
Gợi ý:
(*)Định lí Mê nê la uýt : thuận - kẻ BD song song với QR
- từ A, B, C hạ đường vuông góc xuống RQ
đảo : tương tự
(*)Định lí Cê va: thuận:- dựa vào định lí Mê nê la uýt để chứng minh
- hoặc như thienlong_cuong
đảo : tương tự
Dù sao cũng phải thanks bạn nghe
H
hoa_giot_tuyet
Néu bạn đã hỏi thì chúng ta học chuyên đề này luôn nghe
A. lí thuyết
(*) Định lí Cê va:
Cho 3 điểm P, Q , R theo thứ tự nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và không trùng đỉnh nào của tam giác đó. Điều kiện cần và đủ để 3 đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui là
[TEX]\frac{PB}{PC} . \frac{QC}{QA} . \frac{RA}{RB} = - 1[/TEX]
[CHÚ Ý : trên các đoạn thẳng đều có dấu gạch ngang trên đầu nhưng tui viết chưa được
chú ý hơn AB = - BA (trong khi có dấu gạch ngang trên đầu)]
B . Bài tập: Chứng minh 2 định lí trên nghe
2 định lý này, nói nhỏ cho khanhtoan_qb: các đoạn thẳng đại số là chúng ta học còn trong các cuộc thi hay chương trình học của các tr` khác thì k cần gạch ngang trên đầu. Thế nên nó bằng 1 nha
M
mylinh998
Thôi được rồi, những định lí trên dù j mih cũng ít dùng, hay là chuyển sang cái nào phổ biến hơn đi.
Lamgf bài này nè: Cho tam giác ABC có Bc =a, các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM=MN=NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao diểm của AN và CE. Tính độ dài IK
Lamgf bài này nè: Cho tam giác ABC có Bc =a, các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM=MN=NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao diểm của AN và CE. Tính độ dài IK
K
khanhtoan_qb
Ta có: nối DE ta chứng minh được
Gọi giao của AM, AN lên DE lần lượt là Z, X
[TEX]DE = \frac{a}{2}[/TEX] và ED // BC \Rightarrow EDCB là hình thang
Do ED // BC và BM = MN = NC \Rightarrow [TEX]ZE = ZX = XD = \frac{a}{6}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{DI}{IB} = \frac{ZD}{BM} = 1 \Rightarrow BI = ID[/TEX]
tương tự có EK = KC
Do EDCB là hình thang có ID = IB, EK = KC
\Rightarrow[TEX]IK = \frac{BC - ED}{2} = \frac{a}{4}[/TEX]
M
mylinh998
Làm thêm bài này nữa
Bài 1> Cho một hình thang có hai đáy không bằng nhau, Chứng minh rằng:
a, Tổng hai góc kề đáy lớn nhỏ hơn tổng hai góc kề đáy nhỏ
b, Tổng hai cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy
Bài 2.Hình thang ABCD (AB//CD) có E là trung điểm của BC, góc AED=90^o. Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc D
Bài 1> Cho một hình thang có hai đáy không bằng nhau, Chứng minh rằng:
a, Tổng hai góc kề đáy lớn nhỏ hơn tổng hai góc kề đáy nhỏ
b, Tổng hai cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy
Bài 2.Hình thang ABCD (AB//CD) có E là trung điểm của BC, góc AED=90^o. Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc D
K
kally_1712
Một số bài chứng minh bất đẳng thức trong bài tập hè của e. Mn làm giúp e nhé!
Bài 1:
Cho a,b,c>0. Chứng minh:[TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c[/TEX]
Bài 2:
Cho a+b+c=1. Chứng minh: [TEX]a^4+b^4+c^4\geq abc[/TEX]
Bài 3
Cho a,b,c>0. Chứng minh : [TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}> \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}[/TEX]
Bài 1:
Cho a,b,c>0. Chứng minh:[TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c[/TEX]
Bài 2:
Cho a+b+c=1. Chứng minh: [TEX]a^4+b^4+c^4\geq abc[/TEX]
Bài 3
Cho a,b,c>0. Chứng minh : [TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}> \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}[/TEX]
Last edited by a moderator:
K
khanhtoan_qb
Giả sử có hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD)
a, Từ A kẻ AK // BC.(K thuộc BC) \Rightarrow ABCK là hình bình hành
Ta có [TEX]\widehat{DAB} = \widehat{BKD}[/TEX]
Ta có [TEX]\widehat{BKD} > \widehat{BCK}[/TEX](*)(góc ngoài của tam giác)
\Rightarrow [TEX]\widehat{DAB} > \widehat{BCD}[/TEX]
chứng minh tương tự có [TEX]\widehat{ABC} > \widehat{ADC}[/TEX](*)(*)bằng cách kẻ hình bình hành ABK'D
từ (*)và (*)(*) \Rightarrow đpcm
b, Từ A kẻ AK // BC (K thuộc BC) \Rightarrow ABCK là hình bình hành
\Rightarrow BC = AK , AB = CK
Ta có DC - AB = DC - CK = DK
mà AD + AK > DK \Rightarrow AD + BC > DC - AB (*)(*)(*)
Từ (*)(*)(*) \Rightarrow đpcm
N
ngocanh_181
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
-[TEX] a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2[/TEX]
[TEX] b^4 + c^4 \geq 2b^2c^2[/TEX]
[TEX] a^4 + c^4 \geq 2a^2c^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 (1)[/TEX]
-[TEX]a^2b^2 + b^2c^2 \geq 2ab^2c [/TEX]
[TEX]b^2c^2 + a^2c^2 \geq 2abc^2 [/TEX]
[TEX]a^b^2 + a^2c^2 \geq 2a^2bc [/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \geq ab^2c+ abc^2 + a^2bc = abc(a + c+ b)(2)[/TEX]
(1)(2)\Rightarrow đpcm
Last edited by a moderator:
K
khanhtoan_qb
Không cần làm như zậy đâu bạn nha
Áp dụng [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq ab^2c + bc^2a + ba^2c = abc (a + b + c) = abc[/TEX]
\Rightarrow đpcm (*)(*)(*)
K
kally_1712
Bài 1 với bài 2 em đã sửa rồi. Mọi người làm giúp e.
Có 1 bài cô e cho nhưng viết thiêu để bài , ai làm bài như thế này rồi thì cho e xin cái đề bài đầy đủ + lời giải luôn thì càng tốt :d
Đề cô e cho : Cho a,b,c>0; ab+bc+ac= ?? Chứng minh: [TEX]3+ \frac{a}{b} + \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \geq 2(a+b+c)[/TEX]
Có 1 bài cô e cho nhưng viết thiêu để bài , ai làm bài như thế này rồi thì cho e xin cái đề bài đầy đủ + lời giải luôn thì càng tốt :d
Đề cô e cho : Cho a,b,c>0; ab+bc+ac= ?? Chứng minh: [TEX]3+ \frac{a}{b} + \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \geq 2(a+b+c)[/TEX]
Last edited by a moderator:
N
ngocanh_181
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+ (a+b+c)[/TEX]
[TEX]= ((\frac{a^2}{b} +b)+(\frac{b^2}{c} + c)+(\frac{c^2}{a}+ a))[/TEX]
[TEX]= (\frac{a^2+b^2}{b}+\frac{b^2+c^2}{c}+\frac{c^2+a^2}{a} \geq \frac{2ab}{b}+\frac{2bc}{c}+\frac{2ac}{a}(Vi a^2 + b^2 \geq 2ab ; b^2 +c^2 \geq 2bc ; a^2 +c^2\geq 2ac)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+ (a+b+c) \geq 2a + 2b + 2c[/TEX]
\Rightarrow [TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c[/TEX] (đpcm)
NhỚ Thanks Tề
K
kally_1712
Bài 3
Cho a,b,c>0. Chứng minh : [TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}> \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}[/TEX]
Còn 1 bài nè. Mn làm nốt với
Cho a,b,c>0. Chứng minh : [TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}> \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}[/TEX]
Còn 1 bài nè. Mn làm nốt với