Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

[Tony Time]

Lâu lâu góp 1 bài :v
157: Giải hệ pt
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+y^2}+2\sqrt{xy}=8\sqrt{2} & & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4& & \end{matrix}\right.$$

 

[Baoriven]

Lời giải bài 156:
Những bài như vầy ta nên tránh việc dùng liên hợp nếu không xử lí được phần ngoặc.
(Vì biết đâu trong đó vẫn có nghiệm nhưng không thỏa hay có nghiệm trùng nghiệm mình có)
Ta biến đổi PT ban đầu và được: $x^3-2x+1=\sqrt{x^2+21}$.
Bấm máy, ta có được điều kiện $x> 1$.
Đến đây ta có thể yên tâm dùng liên hợp nhờ có điều kiện.

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Lâu lâu góp 1 bài :v
157: Giải hệ pt
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+y^2}+2\sqrt{xy}=8\sqrt{2} & & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4& & \end{matrix}\right.$$

cho mình hỏi nhỏ : $$x\neq y$$ hay sao ??
chứ làm x=y mãi thấy sai nên chắc ... đề sai :v

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 157:
$8\sqrt{2}=\sqrt{x^2+y^2}+2\sqrt{xy}
\\ 8\sqrt{2} \geq \dfrac{x+y}{\sqrt{2}}+2\sqrt{xy}=\dfrac{x+y+2\sqrt{2xy}}{\sqrt{2}}
\\\Rightarrow 16 \geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2+(2\sqrt{2}-2)\sqrt{xy}
\\\Rightarrow 0 \geq (2\sqrt{2}-2)\sqrt{xy}$
Điều này chỉ xảy ra khi $x=0$ hoặc $y=0$ thay vào thì k có nghiệm thỏa mãn,
vật PTVN.

cho mình hỏi nhỏ : $$x\neq y$$ hay sao ??
chứ làm x=y mãi thấy sai nên chắc ... đề sai :v

Phương trình, hệ phương trình ít khi đề sai lắm :v. Dù đề sai thì một là có nghiệm hai là vô nghiệm thôi :v

 

[Baoriven]

Bài 158: Giải phương trình

$\frac{1}{x^2-4x+4}-\frac{1}{x^2-6x+9}-\frac{1}{2x-1}=\frac{-1}{4}$​

P/S: Đây là một bài áp dụng kỹ thuật. Không khuyến khích quy đồng để ra phương bậc $5$.

 

[Dương Bii]

Bài 158: Giải phương trình

$\frac{1}{x^2-4x+4}-\frac{1}{x^2-6x+9}-\frac{1}{2x-1}=\frac{-1}{4}$​

P/S: Đây là một bài áp dụng kỹ thuật. Không khuyến khích quy đồng để ra phương bậc $5$.

$\frac{1}{x^2-4x+4}-\frac{1}{x^2-6x+9}-\frac{1}{2x-1}=\frac{-1}{4}$
$(\frac{1}{x^2-4x+4}-\frac{1}{2x-1})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{x^2-6x+9})=0$
$-\frac{(x-5)(x-1)}{(x-2)^2(2x-1)}+\frac{(x-5)(x-1)}{4(x-3)^2}=0$
$<=> (x-5)(x-1)(-\frac{1}{(x-2)^2(2x-1)}+\frac{1}{4(x-3)^2})=0$
$<=>$ Xét :$-\frac{1}{(x-2)^2(2x-1)}+\frac{1}{4(x-3)^2}=0$
$<=> (2x-5)(x^2-4x+8)=0$
$=> x=5;x=1;x=\frac{5}{2}$
Thử lại..

 

[Baoriven]

Nếu tinh ý và nhận ra mệnh đề sau:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$.​

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 158: Giải phương trình

$\frac{1}{x^2-4x+4}-\frac{1}{x^2-6x+9}-\frac{1}{2x-1}=\frac{-1}{4}$​

P/S: Đây là một bài áp dụng kỹ thuật. Không khuyến khích quy đồng để ra phương bậc $5$.

Đặt: $[(x-2)^2,-(x-3)^2,-2x+1] \rightarrow (a,b,c)$.
Và lưu ý rằng: $(x-2)^2-(x-3)^2-2x+1=-4$
Khi đó pt: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}$.
Tới đây quen thuộc rồi :v

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

@Baoriven em xin lỗi ạ ._. Nãy nó không hiện bài của anh.
Bù đắp bằng 1 bài :v
Bài 159: Giải phương trình:
$\dfrac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\dfrac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

@Baoriven em xin lỗi ạ ._. Nãy nó không hiện bài của anh.
Bù đắp bằng 1 bài :v
Bài 159: Giải phương trình:
$\dfrac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\dfrac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}$

Đáp án bài 159:
Đặt $a=\dfrac{2x}{1+x^2},b=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$
Ta có: $\dfrac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=\sqrt{2}(3a-b+1)$ và $a^2+b^2=1$. thay vào phương trình sẽ thu được:
$4ab-\sqrt{2}(3a-b+1)=5-\sqrt{2}
\\\Leftrightarrow 4ab-\sqrt{2}(3a-b)=5=3+2a^2+2b^2 \\\Leftrightarrow 2(a-b)^2+3-\sqrt{2}(a-3b)=0 \\\Leftrightarrow 2(a-b)^2-\sqrt{2}[2(a-b)-(a+b)]+3=0
\\\Lefrightarrow [\sqrt{2}(a-b)]^2-2\sqrt{2}(a-b)+1+\sqrt{2}(a+b+\sqrt{2})=0
\\\Leftrightarrow [\sqrt{2}(a-b)-1]^2+\sqrt{2}(a+b+\sqrt{2})=0$
Mặt khác $|a+b| \leq \sqrt{2(a^2+b^2}=\sqrt{2} \Rightarrow a+b \geq \sqrt{2}$.
Do đó $VT \geq 0$ dấu bằng k xảy ra. Do đó PTVN

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 160: (THTT) Giải phương trình:
$21x-25+2\sqrt{x-2}=19\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x-1}$
Bài 161: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x^{11}+xy^{10}=y^{22}+y^{12} \\
&6y^4+3x+2=2y^4\sqrt[3]{x(5x^2+2x+8)}
\end{matrix}\right.$
@Thần mộ 2 @Thủ Mộ Lão Nhân @Baoriven @KwangDat @Dương Bii @Otaku8874 ,....

 

[kingsman(lht 2k2)]

mới quay lại toán đại thấy choán v:
++ bài 160
em chỉ biết đặt $$t=x-2$$ đặt dk
pt đã cho trờ thành
$$21t+17+2\sqrt{t}=19\sqrt{t(t+3)}+\sqrt{t+3}$$
tới đây thấy vp nhóm dc là $$\sqrt{t+3}*(19\sqrt{t}+1)$$
tự nhiên vt khó biến đổi quá
bác @Tony Time xem giúp tui

 

[Tony Time]

mới quay lại toán đại thấy choán v:
++ bài 160
em chỉ biết đặt $$t=x-2$$ đặt dk
pt đã cho trờ thành
$$21t+17+2\sqrt{t}=19\sqrt{t(t+3)}+\sqrt{t+3}$$
tới đây thấy vp nhóm dc là $$\sqrt{t+3}*(19\sqrt{t}+1)$$
tự nhiên vt khó biến đổi quá
bác @Tony Time xem giúp tui

Vt pt vô nghiệm mà nên đâu thể biến đổi đc, để tui thử cách khác xem :v

 

[kingsman(lht 2k2)]

Vt pt vô nghiệm mà nên đâu thể biến đổi đc, để tui thử cách khác xem :v

bác thử cách khác đê ,,,bác hiểu hôm nay cho hành cay v:
để tui xem câu hệ

 

[KwangDat]

Bài 161:
Với y=0, thế vào PT(1) ta được x=0. Nghiệm (x;y)=(0;0) không thỏa mãn PT(2) nên nó cũng khong phải nghiệm của hệ
Do đó $$y\ne0$$
Chia 2 vế PT(1) cho y^10 ta được
$$(\frac{x}{y})^{11}+\frac{x}{y}=y^{11}+y$$
Ta xét hàm số $$f(t)=t^{11}+t (t\ne0)$$
Ta có $$f'(t)=11t^{10}+1\geq1>0$$ nên hàm f(t) đồng biến
Từ đó ta tìm được $$\frac{x}{y}=y\Leftrightarrow x=y^2$$
Thế $$x=y^2$$ vào PT(2) ta được
$$6x^2+3x+2=2x^2\sqrt[3]{x(5x^2+2x+8)}\Leftrightarrow$$
Mẹ thu máy, đồng nhất hệ số sắp xong, đống sau sẽ gõ tiếp khi mẹ trả mình máy

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 160: (THTT) Giải phương trình:
$21x-25+2\sqrt{x-2}=19\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x-1}$
Bài 161: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x^{11}+xy^{10}=y^{22}+y^{12} \\
&6y^4+3x+2=2y^4\sqrt[3]{x(5x^2+2x+8)}
\end{matrix}\right.$
@Thần mộ 2 @Thủ Mộ Lão Nhân @Baoriven @KwangDat @Dương Bii @Otaku8874 ,....

Lời giải bài [TEX]\boxed{160}[/TEX]
Từng nghe qua cách giải bài này rùi, tùy nhớ đúng ko nữa ~~

P/s: Tới đây dễ rùi :v Làm trâu bò thui :hix
Đúng ko nhỉ :v Bác nào vô check giùm :v

 

[kingsman(lht 2k2)]

Lời giải bài [TEX]\boxed{160}[/TEX]
Từng nghe qua cách giải bài này rùi, tùy nhớ đúng ko nữa ~~
View attachment 16017
P/s: Tới đây dễ rùi :v Làm trâu bò thui :hix
Đúng ko nhỉ :v Bác nào vô check giùm :v

hay lắm nhóc ....
tui có nghĩ tới nhưng biến đổi ko dc ......bác xử lí hay lắm
++ @Nguyễn Xuân Hiếu thêm hành đê

 

[KwangDat]

Đồng nhất không ra, thôi ngồi biến đổi tương đương vậy
Ta có:
$$6x^2+3x+2=2x^2\sqrt[3]{x(5x^2+2x+8)}\Leftrightarrow (x-2)(40x^8+96x^7+256x^6+296x^5+268x^4+158x^3+73x^2+20x+4)=0\Leftrightarrow(x-2)[4x^6(3x+4)^2+148x^4(x+1)^2+\frac{79x^2}{2}(2x+1)^2+(5x+2)^2+4x^8+44x^6-38x^4+\frac{17}{2}x^2]=0(1)$$
Do $$38^2-4.44.\frac{17}{2}=-52<0$$ nên $$44x^6-38x^4+\frac{17}{2}x^2\geq0$$
Từ đó ta dễ thấy $$(1)\Leftrightarrow x=2$$
Thế vào tìm được y

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Lời giải bài [TEX]\boxed{160}[/TEX]
Từng nghe qua cách giải bài này rùi, tùy nhớ đúng ko nữa ~~
View attachment 16017
P/s: Tới đây dễ rùi :v Làm trâu bò thui :hix
Đúng ko nhỉ :v Bác nào vô check giùm :v

Ừ chuẩn rồi :v.

Đồng nhất không ra, thôi ngồi biến đổi tương đương vậy
Ta có:
$$6x^2+3x+2=2x^2\sqrt[3]{x(5x^2+2x+8)}\Leftrightarrow (x-2)(40x^8+96x^7+256x^6+296x^5+268x^4+158x^3+73x^2+20x+4)=0\Leftrightarrow(x-2)[4x^6(3x+4)^2+148x^4(x+1)^2+\frac{79x^2}{2}(2x+1)^2+(5x+2)^2+4x^8+44x^6-38x^4+\frac{17}{2}x^2]=0(1)$$
Do $$38^2-4.44.\frac{17}{2}=-52<0$$ nên $$44x^6-38x^4+\frac{17}{2}x^2\geq0$$
Từ đó ta dễ thấy $$(1)\Leftrightarrow x=2$$
Thế vào tìm được y

Có thể chia thẳng 2 vế cho $x^2$ sau đó xét hàm $f(x)$ chứng minh hàm nghịch biến trên khoảng 0 tới dương vô cực. Mà $f(2)=0$ do đó pt có nghiệm duy nhất $x=2$.

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Ừ chuẩn rồi :v.


Có thể chia thẳng 2 vế cho $x^2$ sau đó xét hàm $f(x)$ chứng minh hàm nghịch biến trên khoảng 0 tới dương vô cực. Mà $f(2)=0$ do đó pt có nghiệm duy nhất $x=2$.

thêm hành đê bear !!