Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

[Baoriven]

Lời giải bài 147:
Theo cảm giác ta thấy PT $2$ chưa biến đổi được gì nhiều ngoài điều kiện $y> 0,x\geq 0$.
Ta có: $PT(1)\Leftrightarrow (y-2x)(y+\sqrt{x})=0$.
Ta loại ngay TH: $y+\sqrt{x}=0$ vì điều kiện của $x;y$.
Nên $y=2x$.
Ta đi giải PT: $2x(\sqrt{x^2+1}-1)=\sqrt{3x^2+3}$.
Do $x> 0$ , nên PT trên tương đương với: $2\sqrt{x^2+1}=2+\sqrt{3+\frac{3}{x^2}}$.
Rõ ràng với điều kiện của $x$ thì $VT$ đồng biến, $VP$ nghịch biến.
Do đó PT có nghiệm duy nhất.
Ta "mò" thì được $x=\sqrt{3}$ thỏa mãn, suy ra $y=2\sqrt{3}$.

 

[Quân Nguyễn 209]

Góp vui tí nào :v
Bài tồn đọng mới lượm về :v
[TEX]\boxed{148}[/TEX] Giải hệ phương trình :

[TEX]\boxed{149}[/TEX] Giải hệ phương trình :

[TEX]\boxed{150}[/TEX] Giải hệ phương trình :

[TEX]\boxed{151}[/TEX] Giải hệ phương trình :

P/s: bài tồn đọng của diễn đàn mih nhìu quá nhỉ :v

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Góp vui tí nào :v
Bài tồn đọng mới lượm về :v
[TEX]\boxed{148}[/TEX] Giải hệ phương trình :
View attachment 14804

Đặt $4xy=a,\sqrt{4x^2+y^2}=b$
Phương trình dưới của hệ tương đương:
$ab+1=a+b^2 \\\Rightarrow b^2-1-a(b-1)=0 \\\Rightarrow (b-1)(b+1-a)=0$.
Xét $b=1$.Khi đó: $4x^2+y^2=1(*)$.
Thay vào phương trình đầu sẽ ra: $4x-2y+1=3+4xy$ tới đây rút $x$ theo $y$ thay vào(*) tìm nghiệm.
Xét trường hợp: $\sqrt{4x^2+y^2}=4xy-1$.
Với đk: $xy \geq \dfrac{1}{4}$ bình phương 2 vế ta có:
$4x^2+y^2=16x^2y^2-8xy+1
\\\Rightarrow (2x-y)^2=(16x^2y^2-12xy+1)$.
Đặt $xy=X$
Khi đó: $2x-y=\sqrt{16X^2-12X+1}$.
Thay vào pt (1) ta sẽ có:
$[2\sqrt{16X^2-12X+1}+1](4X-1)=3+4X
\\\Leftrightarrow [2\sqrt{(4X-1)^2-4X}+1](4X-1)=3+4X$
Đặt tiếp: $4X-1=Y$.
Tới đây giải ra $Y \Rightarrow X=\dfrac{3}{4} \Rightarrow xy=\dfrac{3}{4}$.
thế ngược vào tìm cặp $x,y$.
P/s: Vòng vèo nhỉ :v

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Góp vui tí nào :v
Bài tồn đọng mới lượm về :v
[TEX]\boxed{149}[/TEX] Giải hệ phương trình :
View attachment 14805

Từ phương trình (1):
$\dfrac{(x-1)(x^4-2x^3+4x^2+3xy^2-6x+3y^2+3)}{(x^2+3)^2}=0$
Tới đây hoặc $x=1$ hoặc $x^4-2x^3+4x^2+3xy^2-6x+3y^2+3=0 \Rightarrow y=\dfrac{-(x-1)^2(x^2+3)}{3x+3}$.
Tới đây xét miền giá trị chăng :v Mọi người xem thử :V

 

[iceghost]

Giải hệ phương trình :

Dị vãi ._.
ĐK: $xy > 0$ và $x^2+y^2 \ne 0$
Đặt $x = a$ và $2y = b$. hpt $\iff \left\{ \begin{array}{l} a^2 + 3ab + b^2 + 1 = 2a + 2b + 2\sqrt{ab} \\ \dfrac{2ab + 20\sqrt{2a^4+2b^4}}{ab(a^2+b^2)} = 21 \end{array} \right.$
pt(1) $\iff (a+b-1)^2 = -(\sqrt{ab}-1)^2 + 1 \leqslant 1$, suy ra $a+b \leqslant 2$
VT pt(2) $\geqslant \dfrac{2ab + 20(a^2+b^2)}{ab(a^2+b^2)} = \dfrac{2}{a^2+b^2} + \dfrac{20}{ab} = \ldots \geqslant 21$
Dấu '=' tại $a = b = 1$ hay $x = 1$ và $y = \dfrac12$

 

[Thần mộ 2]

Dị vãi ._.
ĐK: $xy > 0$ và $x^2+y^2 \ne 0$
Đặt $x = a$ và $2y = b$. hpt $\iff \left\{ \begin{array}{l} a^2 + 3ab + b^2 + 1 = 2a + 2b + 2\sqrt{ab} \\ \dfrac{2ab + 20\sqrt{2a^4+2b^4}}{ab(a^2+b^2)} = 21 \end{array} \right.$
pt(1) $\iff (a+b-1)^2 = -(\sqrt{ab}-1)^2 + 1 \leqslant 1$, suy ra $a+b \leqslant 2$
VT pt(2) $\geqslant \dfrac{2ab + 20(a^2+b^2)}{ab(a^2+b^2)} = \dfrac{2}{a^2+b^2} + \dfrac{20}{ab} = \ldots \geqslant 21$
Dấu '=' tại $a = b = 1$ hay $x = 1$ và $y = \dfrac12$

Khang giải sai rồi.Bác xem lại đi.Đặt $x=2y$ thì $PT(2)$ của hệ đâu đưa về đc như vậy?

Gộp cmt này vào nhé bác mod
Đặt $2y=b$ thì $2xy=ab$ chứ bác Khang-_-

 

[Quân Nguyễn 209]

Gộp cmt này vào nhé bác mod
Đặt $2y=b$ thì $2xy=ab$ chứ bác Khang-_-

E thế số vào lại thấy thỏa hpt mà bác @Thần mộ 2 nhỉ :v

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Gộp cmt này vào nhé bác mod
Đặt $2y=b$ thì $2xy=ab$ chứ bác Khang-_-

Cái số $2$ là do $x^3y+4xy^3=xy(x^2+4y^2)=\dfrac{ab(a^2+b^2)}{2}$.

 

[Thần mộ 2]

À em nhìn nhầm tưởng PT (2) là 2y

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài tập chưa có lời giải
[TEX]\boxed{151}[/TEX] Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
&x\sqrt{y(x+8)}+y\sqrt{x(y+8)}=2\sqrt[4]{4x^4y^2+5x^4+32y^2+40} \\
&3\sqrt{32+8xy-(2y-4)^2}+5xy=9x^2+9y^2+5
\end{matrix}\right.$
Bài tập đề nghị:
[TEX]\boxed{152}[/TEX] Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x-2\sqrt{y+1}=3 \\
&x^3-4x^2\sqrt{y+1}-9x-8y=-52-4xy
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{153}[/TEX] Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x^3-8x=y^3+2y \\
&x^2-3=3(y^2+1)
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{154}[/TEX] Giải phương trình:
$5(30x^2-4x)=1336(\sqrt{30060x+1}+1)$
@Tony Time @Thủ Mộ Lão Nhân @Thần mộ 2 @Baoriven @Quân Nguyễn 209 @kingsman(lht 2k2) @Ray Kevin @toilatot ,.. vào làm đỡ mấy bài này nhé :v.

 

[KwangDat]

Xử bài 152 trước
Kí hiệu 2 PT trong hệ là (1) và (2) tương ứng
Có $$(2)\Leftrightarrow x[4(y+1)-4x\sqrt{y+1}+x^2)]-13x-8y+52=0\Leftrightarrow x(2\sqrt{y+1}-x)^2-13x-8y+52=0(3)$$
Thế (1) vào (3) ta được $$9x-13x-8y+52=0 \Leftrightarrow x+2y-13=0\Leftrightarrow x=13-2y(4)$$
Thế (4) vào (1) ta được $$13-2y-2\sqrt{y+1}=3$$
Đến đây thì đơn giản rồi

 

[KwangDat]

Bài 153 có ý tưởng là đưa về đông bậc
Có $$(2)\Leftrightarrow x^2-3y^2=6\Leftrightarrow \frac{x^2-3y^2}{6}=1(3)$$
Thế (3) vào (1) ta được $$x^3-\frac{8x(x^2-3y^2)}{6}=y^3+\frac{2y(x^2-3y^2)}{6}\Leftrightarrow x(x-3y)(x-4y)=0$$
Có 3 trường hợp, thế vào mà giải

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 153:
ĐKXĐ: $x \geq \dfrac{-1}{30060}$.
Đăt $y=\dfrac{\sqrt{30060x+1}+1}{15} \Rightarrow 15y-1=\sqrt{30060x+1} \Rightarrow 15y^2-2y=2004x$
Mặt khác từ pt đầu ta có: $30x^2-4x=4008y \Leftrightarrow 15x^2-2x=2004y$.
Do đó đưa về hpt:
$\left\{\begin{matrix}
&15x^2-2x=2004y \\
&15y^2-2y=2004x
\end{matrix}\right.$
Trừ vế theo vế ta có: $(x-y)[15(x+y)+2002]=0$.
Với $x=y \Rightarrow 15x-1=\sqrt{30060x+1}$.
$\Leftrightarrow x=0,x=\dfrac{2006}{15}$.
Với $x=0$ thì PTVN.
Với $15(x+y)+2002=0$.
Ta có: $30060x+1 \geq 0 \Rightarrow y=\dfrac{\sqrt{30060x+1}+1}{15} \geq \dfrac{1}{15}$.
Nên $x+y \geq \dfrac{-1}{30060}+\dfrac{1}{15}>0 \Rightarrow 15(x+y)+2002>0$.
Vậy trường hợp còn lại.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{2006}{15}$.

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 153:
ĐKXĐ: $x \geq \dfrac{-1}{30060}$.
Đăt $y=\dfrac{\sqrt{30060x+1}+1}{15} \Rightarrow 15y-1=\sqrt{30060x+1} \Rightarrow 15y^2-2y=2004x$
Mặt khác từ pt đầu ta có: $30x^2-4x=4008y \Leftrightarrow 15x^2-2x=2004y$.
Do đó đưa về hpt:
$\left\{\begin{matrix}
&15x^2-2x=2004y \\
&15y^2-2y=2004x
\end{matrix}\right.$
Trừ vế theo vế ta có: $(x-y)[15(x+y)+2002]=0$.
Với $x=y \Rightarrow 15x-1=\sqrt{30060x+1}$.
$\Leftrightarrow x=0,x=\dfrac{2006}{15}$.
Với $x=0$ thì PTVN.
Với $15(x+y)+2002=0$.
Ta có: $30060x+1 \geq 0 \Rightarrow y=\dfrac{\sqrt{30060x+1}+1}{15} \geq \dfrac{1}{15}$.
Nên $x+y \geq \dfrac{-1}{30060}+\dfrac{1}{15}>0 \Rightarrow 15(x+y)+2002>0$.
Vậy trường hợp còn lại.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{2006}{15}$.

Seo bik để đặt [TEX]y=\frac{\sqrt{30060x+1}+1}{15}[/TEX] vậy bác Hiếu :v
P/s: bài [TEX]\boxed{154}[/TEX] chứ nhỉ ^^

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

[TEX]\boxed{154}[/TEX] Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2\sqrt{y} \\
& \sqrt{x}+\sqrt{5y}=3
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{155}[/TEX] Giải phương trình:
$(x^3-3x+1)\sqrt{x^2+21}+x^4-3x^2+x=21$
Bài tập buổi tối :v
@Tony Time @Thủ Mộ Lão Nhân @Thần mộ 2 @Baoriven @Quân Nguyễn 209 @kingsman(lht 2k2) @Ray Kevin @toilatot @W_Echo74 ,..

 

[W_Echo74]

Lâu không trở lại xin phép chén gọn 2 bài.
155
Dùng C-S cho PT(1) suy ra $x \leq y$
đưa hệ về hệ BPT và giải(mấy đoạn sau dễ ròi)
156
Nhân lượng liên hợp cho biểu thức
$PT \Leftrightarrow (x-2)(\dfrac{x^2-3x+1}{\sqrt{x^2+21}+5}+x^3+7x^2+11x+8)$ suy ra $x=2$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Lâu không trở lại xin phép chén gọn 2 bài.
155
Dùng C-S cho PT(1) suy ra $x \leq y$
đưa hệ về hệ BPT và giải(mấy đoạn sau dễ ròi)
156
Nhân lượng liên hợp cho biểu thức
$PT \Leftrightarrow (x-2)(\dfrac{x^2-3x+1}{\sqrt{x^2+21}+5}+x^3+7x^2+11x+8)$ suy ra $x=2$

Cái trong ngoặc chú định xử sao :v Bài 156

 

[toilatot]

Cái trong ngoặc chú định xử sao :v Bài 156

mình nghĩ cái ngoặc chắc luôn lớn hơn 0 rồi

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

mình nghĩ cái ngoặc chắc luôn lớn hơn 0 rồi

Chứng minh đi nào :v

 

[toilatot]

Chứng minh đi nào :v

Chứng minh đi nào :v

đoán vj vì thông thường hệ như thế chắc còn cách khác hả để tui nghĩ xem có cách nào ko