Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

Baoriven

Học sinh
Thành viên
22 Tháng sáu 2017
32
71
31
24
Tiền Giang
Lời giải bài 147:
Theo cảm giác ta thấy PT $2$ chưa biến đổi được gì nhiều ngoài điều kiện $y> 0,x\geq 0$.
Ta có: $PT(1)\Leftrightarrow (y-2x)(y+\sqrt{x})=0$.
Ta loại ngay TH: $y+\sqrt{x}=0$ vì điều kiện của $x;y$.
Nên $y=2x$.
Ta đi giải PT: $2x(\sqrt{x^2+1}-1)=\sqrt{3x^2+3}$.
Do $x> 0$ , nên PT trên tương đương với: $2\sqrt{x^2+1}=2+\sqrt{3+\frac{3}{x^2}}$.
Rõ ràng với điều kiện của $x$ thì $VT$ đồng biến, $VP$ nghịch biến.
Do đó PT có nghiệm duy nhất.
Ta "mò" thì được $x=\sqrt{3}$ thỏa mãn, suy ra $y=2\sqrt{3}$.
 

Quân Nguyễn 209

Học sinh chăm học
Thành viên
8 Tháng sáu 2017
356
335
86
TP Hồ Chí Minh
Blank
Góp vui tí nào :v
Bài tồn đọng mới lượm về :v
[TEX]\boxed{148}[/TEX] Giải hệ phương trình :
upload_2017-7-22_10-7-28.png
[TEX]\boxed{149}[/TEX] Giải hệ phương trình :
upload_2017-7-22_10-8-3.png
[TEX]\boxed{150}[/TEX] Giải hệ phương trình :
upload_2017-7-22_10-8-37.png
[TEX]\boxed{151}[/TEX] Giải hệ phương trình :
upload_2017-7-22_10-9-18.png
P/s: bài tồn đọng của diễn đàn mih nhìu quá nhỉ :v
 
  • Like
Reactions: Tony Time

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Góp vui tí nào :v
Bài tồn đọng mới lượm về :v
[TEX]\boxed{148}[/TEX] Giải hệ phương trình :
View attachment 14804
Đặt $4xy=a,\sqrt{4x^2+y^2}=b$
Phương trình dưới của hệ tương đương:
$ab+1=a+b^2 \\\Rightarrow b^2-1-a(b-1)=0 \\\Rightarrow (b-1)(b+1-a)=0$.
Xét $b=1$.Khi đó: $4x^2+y^2=1(*)$.
Thay vào phương trình đầu sẽ ra: $4x-2y+1=3+4xy$ tới đây rút $x$ theo $y$ thay vào(*) tìm nghiệm.
Xét trường hợp: $\sqrt{4x^2+y^2}=4xy-1$.
Với đk: $xy \geq \dfrac{1}{4}$ bình phương 2 vế ta có:
$4x^2+y^2=16x^2y^2-8xy+1
\\\Rightarrow (2x-y)^2=(16x^2y^2-12xy+1)$.
Đặt $xy=X$
Khi đó: $2x-y=\sqrt{16X^2-12X+1}$.
Thay vào pt (1) ta sẽ có:
$[2\sqrt{16X^2-12X+1}+1](4X-1)=3+4X
\\\Leftrightarrow [2\sqrt{(4X-1)^2-4X}+1](4X-1)=3+4X$
Đặt tiếp: $4X-1=Y$.
Tới đây giải ra $Y \Rightarrow X=\dfrac{3}{4} \Rightarrow xy=\dfrac{3}{4}$.
thế ngược vào tìm cặp $x,y$.
P/s: Vòng vèo nhỉ :v
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Góp vui tí nào :v
Bài tồn đọng mới lượm về :v
[TEX]\boxed{149}[/TEX] Giải hệ phương trình :
View attachment 14805
Từ phương trình (1):
$\dfrac{(x-1)(x^4-2x^3+4x^2+3xy^2-6x+3y^2+3)}{(x^2+3)^2}=0$
Tới đây hoặc $x=1$ hoặc $x^4-2x^3+4x^2+3xy^2-6x+3y^2+3=0 \Rightarrow y=\dfrac{-(x-1)^2(x^2+3)}{3x+3}$.
Tới đây xét miền giá trị chăng :v Mọi người xem thử :V
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
png.latex
Giải hệ phương trình :
upload_2017-7-22_10-8-37-png.14806
Dị vãi ._.
ĐK: $xy > 0$ và $x^2+y^2 \ne 0$
Đặt $x = a$ và $2y = b$. hpt $\iff \left\{ \begin{array}{l} a^2 + 3ab + b^2 + 1 = 2a + 2b + 2\sqrt{ab} \\ \dfrac{2ab + 20\sqrt{2a^4+2b^4}}{ab(a^2+b^2)} = 21 \end{array} \right.$
pt(1) $\iff (a+b-1)^2 = -(\sqrt{ab}-1)^2 + 1 \leqslant 1$, suy ra $a+b \leqslant 2$
VT pt(2) $\geqslant \dfrac{2ab + 20(a^2+b^2)}{ab(a^2+b^2)} = \dfrac{2}{a^2+b^2} + \dfrac{20}{ab} = \ldots \geqslant 21$
Dấu '=' tại $a = b = 1$ hay $x = 1$ và $y = \dfrac12$
 

Thần mộ 2

Học sinh
Thành viên
16 Tháng bảy 2017
69
97
36
Nam Định
Dị vãi ._.
ĐK: $xy > 0$ và $x^2+y^2 \ne 0$
Đặt $x = a$ và $2y = b$. hpt $\iff \left\{ \begin{array}{l} a^2 + 3ab + b^2 + 1 = 2a + 2b + 2\sqrt{ab} \\ \dfrac{2ab + 20\sqrt{2a^4+2b^4}}{ab(a^2+b^2)} = 21 \end{array} \right.$
pt(1) $\iff (a+b-1)^2 = -(\sqrt{ab}-1)^2 + 1 \leqslant 1$, suy ra $a+b \leqslant 2$
VT pt(2) $\geqslant \dfrac{2ab + 20(a^2+b^2)}{ab(a^2+b^2)} = \dfrac{2}{a^2+b^2} + \dfrac{20}{ab} = \ldots \geqslant 21$
Dấu '=' tại $a = b = 1$ hay $x = 1$ và $y = \dfrac12$
Khang giải sai rồi.Bác xem lại đi.Đặt $x=2y$ thì $PT(2)$ của hệ đâu đưa về đc như vậy?

Gộp cmt này vào nhé bác mod
Đặt $2y=b$ thì $2xy=ab$ chứ bác Khang-_-
 
Last edited by a moderator:

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Bài tập chưa có lời giải
[TEX]\boxed{151}[/TEX] Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
&x\sqrt{y(x+8)}+y\sqrt{x(y+8)}=2\sqrt[4]{4x^4y^2+5x^4+32y^2+40} \\
&3\sqrt{32+8xy-(2y-4)^2}+5xy=9x^2+9y^2+5
\end{matrix}\right.$
Bài tập đề nghị:
[TEX]\boxed{152}[/TEX] Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x-2\sqrt{y+1}=3 \\
&x^3-4x^2\sqrt{y+1}-9x-8y=-52-4xy
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{153}[/TEX] Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x^3-8x=y^3+2y \\
&x^2-3=3(y^2+1)
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{154}[/TEX] Giải phương trình:
$5(30x^2-4x)=1336(\sqrt{30060x+1}+1)$
@Tony Time @Thủ Mộ Lão Nhân @Thần mộ 2 @Baoriven @Quân Nguyễn 209 @kingsman(lht 2k2) @Ray Kevin @toilatot ,.. vào làm đỡ mấy bài này nhé :v.
 

KwangDat

Học sinh
Thành viên
20 Tháng sáu 2017
46
54
41
22
Xử bài 152 trước
Kí hiệu 2 PT trong hệ là (1) và (2) tương ứng
Có [tex](2)\Leftrightarrow x[4(y+1)-4x\sqrt{y+1}+x^2)]-13x-8y+52=0\Leftrightarrow x(2\sqrt{y+1}-x)^2-13x-8y+52=0(3)[/tex]
Thế (1) vào (3) ta được [tex]9x-13x-8y+52=0 \Leftrightarrow x+2y-13=0\Leftrightarrow x=13-2y(4)[/tex]
Thế (4) vào (1) ta được [tex]13-2y-2\sqrt{y+1}=3[/tex]
Đến đây thì đơn giản rồi
 

KwangDat

Học sinh
Thành viên
20 Tháng sáu 2017
46
54
41
22
Bài 153 có ý tưởng là đưa về đông bậc
Có [tex](2)\Leftrightarrow x^2-3y^2=6\Leftrightarrow \frac{x^2-3y^2}{6}=1(3)[/tex]
Thế (3) vào (1) ta được [tex]x^3-\frac{8x(x^2-3y^2)}{6}=y^3+\frac{2y(x^2-3y^2)}{6}\Leftrightarrow x(x-3y)(x-4y)=0[/tex]
Có 3 trường hợp, thế vào mà giải
 
  • Like
Reactions: Quân Nguyễn 209

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Bài 153:
ĐKXĐ: $x \geq \dfrac{-1}{30060}$.
Đăt $y=\dfrac{\sqrt{30060x+1}+1}{15} \Rightarrow 15y-1=\sqrt{30060x+1} \Rightarrow 15y^2-2y=2004x$
Mặt khác từ pt đầu ta có: $30x^2-4x=4008y \Leftrightarrow 15x^2-2x=2004y$.
Do đó đưa về hpt:
$\left\{\begin{matrix}
&15x^2-2x=2004y \\
&15y^2-2y=2004x
\end{matrix}\right.$
Trừ vế theo vế ta có: $(x-y)[15(x+y)+2002]=0$.
Với $x=y \Rightarrow 15x-1=\sqrt{30060x+1}$.
$\Leftrightarrow x=0,x=\dfrac{2006}{15}$.
Với $x=0$ thì PTVN.
Với $15(x+y)+2002=0$.
Ta có: $30060x+1 \geq 0 \Rightarrow y=\dfrac{\sqrt{30060x+1}+1}{15} \geq \dfrac{1}{15}$.
Nên $x+y \geq \dfrac{-1}{30060}+\dfrac{1}{15}>0 \Rightarrow 15(x+y)+2002>0$.
Vậy trường hợp còn lại.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{2006}{15}$.
 

Quân Nguyễn 209

Học sinh chăm học
Thành viên
8 Tháng sáu 2017
356
335
86
TP Hồ Chí Minh
Blank
Bài 153:
ĐKXĐ: $x \geq \dfrac{-1}{30060}$.
Đăt $y=\dfrac{\sqrt{30060x+1}+1}{15} \Rightarrow 15y-1=\sqrt{30060x+1} \Rightarrow 15y^2-2y=2004x$
Mặt khác từ pt đầu ta có: $30x^2-4x=4008y \Leftrightarrow 15x^2-2x=2004y$.
Do đó đưa về hpt:
$\left\{\begin{matrix}
&15x^2-2x=2004y \\
&15y^2-2y=2004x
\end{matrix}\right.$
Trừ vế theo vế ta có: $(x-y)[15(x+y)+2002]=0$.
Với $x=y \Rightarrow 15x-1=\sqrt{30060x+1}$.
$\Leftrightarrow x=0,x=\dfrac{2006}{15}$.
Với $x=0$ thì PTVN.
Với $15(x+y)+2002=0$.
Ta có: $30060x+1 \geq 0 \Rightarrow y=\dfrac{\sqrt{30060x+1}+1}{15} \geq \dfrac{1}{15}$.
Nên $x+y \geq \dfrac{-1}{30060}+\dfrac{1}{15}>0 \Rightarrow 15(x+y)+2002>0$.
Vậy trường hợp còn lại.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{2006}{15}$.
Seo bik để đặt [TEX]y=\frac{\sqrt{30060x+1}+1}{15}[/TEX] vậy bác Hiếu :v
P/s: bài [TEX]\boxed{154}[/TEX] chứ nhỉ ^^
 
  • Like
Reactions: toilatot

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
  • Like
Reactions: toilatot

W_Echo74

Học sinh
Thành viên
21 Tháng sáu 2017
71
153
21
Nam Định
Lâu không trở lại xin phép chén gọn 2 bài.
155
Dùng C-S cho PT(1) suy ra $x \leq y$
đưa hệ về hệ BPT và giải(mấy đoạn sau dễ ròi)
156
Nhân lượng liên hợp cho biểu thức
$PT \Leftrightarrow (x-2)(\dfrac{x^2-3x+1}{\sqrt{x^2+21}+5}+x^3+7x^2+11x+8)$ suy ra $x=2$
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Lâu không trở lại xin phép chén gọn 2 bài.
155
Dùng C-S cho PT(1) suy ra $x \leq y$
đưa hệ về hệ BPT và giải(mấy đoạn sau dễ ròi)
156
Nhân lượng liên hợp cho biểu thức
$PT \Leftrightarrow (x-2)(\dfrac{x^2-3x+1}{\sqrt{x^2+21}+5}+x^3+7x^2+11x+8)$ suy ra $x=2$
Cái trong ngoặc chú định xử sao :v Bài 156
 
Top Bottom