Bài tập chưa có lời giải:
[TEX]\boxed{144}[/TEX] Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x^2+y^2+x=3 \\
&x^2-4y^2+\dfrac{2xy}{x+y-1}=-1
\end{matrix}\right.$
Mình xin đăng lời giải bài $144$ ai có cách khác thì đăng nhé.
$ĐKXĐ: x+y \neq 1$.
Phương trình (2) tương đương:
$(x+y-1)(x^2-4y^2)+x+y+2xy+1=0
\\\Leftrightarrow (x^3-4y^3-4xy^2+x^2y)-x^2+4y^2+x+y+2xy-1=0
\\\Leftrightarrow (x+2y)(x^2-xy-2y^2)+(x+2y)(y+1)-(x^2-xy-2y^2+y+1)=0
\\\Leftrightarrow (x+2y)(x^2-xy-2y^2+y+1)=0$
Tới đây nếu $x+2y=1$ thì thay vào phương trình đầu tiên rút $x$ theo $y$ sẽ giải ra được $x,y$.
$y=\dfrac{3+\sqrt{14}}{5},x=\dfrac{-1-2\sqrt{14}}{5}
\\y=\dfrac{3-\sqrt{14}}{5},x=\dfrac{-1+2\sqrt{14}}{5}$
Còn $x^2-xy-2y^2+y+1=0$ thì ta sẽ có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x^2+y^2+x=3 \\
&x^2-xy-2y^2+y+1=0
\end{matrix}\right.$
Để ý rằng: $x^2-xy-2y^2=(x+y)(x-2y)$.
Do đó ta sẽ tiến hành đặt tổng, hiệu.
Đặt $x+y=a,x-2y=b$.
Khi đó: $x=\dfrac{2a+b}{3},y=\dfrac{a-b}{3}$.
Do đó ta có hpt:
$\left\{\begin{matrix}
&(2a+b)^2+(a-b)^2+3(2a+b)=27 \\
&3ab+a-b+3=0
\end{matrix}\right.$(*)
Tới đây tiến hành thế $a$ theo $b$ và thay vào phương trình $1$ sẽ được pt bậc $4$:
$54b^4+135b^3-648b^2-729b=0$ tới đây có thể nhẩm nghiệm hoặc xài casio để tìm nhân tử thì ra 4 giá trị của $b$. $b=\dfrac{-9}{2},-1,0,3$.
Thay vào tìm lại $a$. Từ đó suy ra $x,y$.
P/s: Mấu chốt biết cách đánh giá pt $2$ bằng nhân tử là khi nhìn vào phương trình (1) có hệ thì chúng ta không có hướng nào tối ưu để giải. Do đó chúng ta tiến hành đánh giá phương trình (2). Nhìn vào thì không thể nào đánh giá được bằng bđt hay một cái gì đại loại như thế nên chúng ta tiến hành tìm thử nghiệm bằng casio. Khi test casio thì mình thấy rằng: $x+2y=1$ do đó sẽ có nhân tử $x+2y-1$ do đó ta có thể tách được như trên.
Còn về giải hệ phương trình (*) thì đó là một cách trong phương pháp đặt ẩn tổng hiệu để sử dụng phương pháp thế. Nếu không đặt ẩn thì có thể lấy phương trình trên trừ phương trình dưới. Sau đó biểu diễn thẳng $x$ theo $y$ thay vào phương trình đầu là sẽ ra.