Toán 11 [Math 98 Club] Lượng Giác

[buivanbao123]

Em vẫn bình thường mà =))

Tiếp này:

a) $A+B+C=\pi$. Tìm $GTLN$ của $A = \cos A + \cos B +\cos C$.

b) $\Delta ABC$ nhọn. Chứng minh $(\dfrac{1}{\cos A}+1)(\dfrac{1}{\cos B}+1)(\dfrac{1}{\cos c}+1) \ge 27$.

Mới giải xong lúc 4: 03 pm =))

Câu a này khó đấy hình như là $A = \cos A + \cos B +\cos C$ \leq $\dfrac{3}{2}$

 

[riverflowsinyou1]

Tính tổng $S_n(x)=\sum \limits_{i=0}^n \frac{tan(2^ix)}{cos(2^{i+1}x)}$ với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa.

 

[zezo_flyer]

sao không thêm phần hình giải tích,... vào nữa nhỉ.
math 98 mà chỉ có mỗi lượng thôi à.
_______________________
kí hiệu bài trên em river tớ không hiểu gì :\

 

[huynhbachkhoa23]

sao không thêm phần hình giải tích,... vào nữa nhỉ.
math 98 mà chỉ có mỗi lượng thôi à.
_______________________
kí hiệu bài trên em river tớ không hiểu gì :\

Thì lượng giác không thôi mà =))

Hình giải tích chắc chờ giữa hè để qua tổ hợp với dãy số đã =))

 

[demon311]

Câu a này khó đấy hình như là $A = \cos A + \cos B +\cos C$ \leq $\dfrac{3}{2}$

Thế này này:

$\cos (A+B)=\cos (\pi-C) =-\cos C \\
\cos C =\sin A \sin B-\cos A \cos B \\
\sum \cos A = \sum \sin A \sin B-\sum \cos A \cos B \le \sum \sin^2A-\sum \cos A \cos B \\
\sum \cos A \ge 3-\sum \cos^2 A -\sum \cos A \cos B = 3-\dfrac{ 1}{2}\sum (\cos^2 A+\cos^2 B)^2$

Đặt $x=\cos A + \cos B \\
y= \cos B +\cos C \\
z= \cos C + \cos A \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 1>x,y,z \ge 0$

Thì:

$\dfrac{ 1}{2}(x+y+z) \le 3-\dfrac{ 1}{2}(x^2+y^2+z^2) \le 3-\dfrac{ 1}{6}(x+y+z)^2 \\
(x+y+z)^2+3(x+y+z)-18 \ge 0 \\
\left[ \begin{array}{ll}
x+y+z \ge 3 \\
x+y+z \le -6 \;\;\;\;\; \fbox{(loại)}
\end{array} \right. \\
2(\cos A + \cos B +\ cos C) \le 3 \\
\cos A + \cos B +\ cos C \le \dfrac{ 3}{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Câu b để em:

$\prod (1+\dfrac{1}{a}) \ge (1+\dfrac{3}{\sum a})^3$

$a=\cos A; b=\cos B; c=\cos C$ với $\sum a \le \dfrac{3}{2}$

$\prod (1+\dfrac{1}{a}) \ge 27$

 

[demon311]

Em vẫn bình thường mà =))

Tiếp này:

a) $A+B+C=\pi$. Tìm $GTLN$ của $A = \cos A + \cos B +\cos C$.

b) $\Delta ABC$ nhọn. Chứng minh $(\dfrac{1}{\cos A}+1)(\dfrac{1}{\cos B}+1)(\dfrac{1}{\cos c}+1) \ge 27$.

Mới giải xong lúc 4: 03 pm =))

b) $\Delta ABC$ nhọn. Chứng minh $(\dfrac{1}{\cos A}+1)(\dfrac{1}{\cos B}+1)(\dfrac{1}{\cos c}+1) \ge 27$.

Dựa theo câu a:

$\prod (\dfrac{ 1}{\cos A}+1) =\prod (\dfrac{ 1}{2\cos A}+\dfrac{ 1}{2\cos A}+1) \\
\ge \prod 3.\sqrt[3]{\dfrac{ 1}{4\cos^2 A}} = 27.\sqrt[3]{\dfrac{ 1}{64.\cos^2A.\cos^2B\cos^2C}}$

Mà:

$\sqrt[3]{\cos A \cos B \cos C} \le \dfrac{ \cos A + \cos B +\cos C }{3} \le \dfrac{ 1}{2} \\
\sqrt[3]{64\cos^2A.\cos^2B\cos^2C} \le 1 \\
VT \ge 27.\sqrt[3]{\dfrac{ 1}{1}} =27$

 

[mua_sao_bang_98]

Các thím ơi! Giải pt lượng giác trong các đề thi đại học đi! chứ mấy phần kia e chả đọc bao giờ cả? :v!

$5sinx-2=3(1-sinx)tan^2x$

 

[thang271998]

chứng minh: $cosA+cosB+cosC$\leq$\frac{3}{2}$
LG
Xét hàm số:
f(x)=cosx
với x thuộc $(0; \frac{\pi}{2})$, ta có
$f'(x)=-sinx, f''(x)=-cosx<0$ với mọi x thuộc $(0;\frac{\pi}{2})$
\Leftrightarrow hàm số lồi trên (0;\frac{\pi}{2})
nhầm k mất tình tổng quát, tớ đặt này nhé à góc C là góc nhỏ nhất trong tam giác ABC , suy ra 0<C<\frac{\pi}{3}, khi đó
$cosA+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+cosC$
\leq$2cos\frac{A+B}{2}+cosC=cos\frac{A+B}{2}+ cos\frac{A+B}{2}+ cosC$
\leq $3.cos\frac{\frac{A+B}{2}+\frac{A+B}{2}+C}{3}=3cos\frac{\pi}{3}$(bất đẳng thức hàm lồi)
\Leftrightarrow $cosA+cosB+cosC$\leq$\frac{3}{2}$
bất đẳng thức xảy ra khi A=B=C
p/s: Bài này còn cách nữa, nói chung là bài này khá nhiều cách, lâu lâu k gõ late quên hết công thức rồi các bác thông cảm

 

[demon311]

Các thím ơi! Giải pt lượng giác trong các đề thi đại học đi! chứ mấy phần kia e chả đọc bao giờ cả? :v!

$5sinx-2=3(1-sinx)tan^2x$

ĐK: $x \ne \dfrac{ \pi}{2}+k\pi$

Xét $\sin x = 1$ không phải nghiệm:

$5\sin x-2=3(1-\sin x)\tan^2 x \\
5\sin x-2=3(1-\sin x)(\dfrac{ 1}{\sin^2 x}-1)=3(1-\sin x).\dfrac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x} \\
(5\sin x-2)(1-\sin^2 x)=3(1-\sin x)\sin^2 x \\
5\sin x-2+2\sin^2 x-5 \sin^3 x=3\sin^2 x-3\sin^3 x \\
2\sin^3 x +\sin^2 x -5 \sin x+2=0$

Đến đây khó quá....................




Đùa đấy......................

 

[riverflowsinyou1]

Cho ΔABC có a,b,c là độ dài các cạnh và S là diện tích của tam giác ΔABC .Chứng minh rằng:
$a^2+2bc \ge 4S\sqrt{3}$

 

[demon311]

Choức: ΔABC có a,b,c là độ dài các cạnh và S là diện tích của tam giác ΔABC .Chứng minh rằng:
$a^2+2bc \ge 4S\sqrt{3}$

Em kiếm đâu ra mấy bài khó thế riverflowsinyou?
Bài này cần phải biết định lý cos trước

$a^2=b^2+c^2-2bc .\cos A \\
a^2+2bc=b^2+c^2-2bc. \cos A+2bc=(b+c)^2-2bc\cos A \\
S=\dfrac{ 1}{2} bc\sin A \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leftarrow \text{mấy đứa chắc biết cái này rồi} \\
4S\sqrt{ 3}=2bc.\sin A.\sqrt{ 3} \\
\rightarrow VT-VP=(b+c)^2 -2bc\cos A-2bc \sin A \sqrt{ 3}= (b+c)^2 -4bc(\dfrac{ 1}{2}\cos A+\dfrac{ \sqrt{ 3}}{2}\sin A)\\ =(b+c)^2-4bc.\sin (\dfrac{ \pi}{6}+A) \ge 4bc-4bc=0 \\
VT \ge VP \;\;\;\;\;\rightarrow dpcm$

 

[thang271998]

Kết thúc mầy phần chứng minh ở đây thôi.
giải phương trình lượng giác
1.$3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+4sin^33x$
2.
Tìm các nghiệm x thuộc $(\frac{2\pi}{5};\frac{6\pi}{7})$ của phwong trình $cos7x-\sqrt{3}sin7x=-\sqrt{2}$
p/s: mình nghĩ lên lập topic nữa về giải tích sẽ đi từ ptđt-->đường tròn-->elip-->hyperbol--->parbol--> k gian. mọi người thấy sao.

 

[demon311]

Chưa học cả pt elip, hypebol.....
Học kiểu gì giờ.......................

 

[thang271998]

Chưa học cả pt elip, hypebol.....
Học kiểu gì giờ.......................

đăng lí thuyết nữa là OK được chứ .

 

[huynhbachkhoa23]

Kết thúc mầy phần chứng minh ở đây thôi.
giải phương trình lượng giác
1.$3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+4sin^33x$
2.
Tìm các nghiệm x thuộc $(\frac{2\pi}{5};\frac{6\pi}{7})$ của phwong trình $cos7x-\sqrt{3}sin7x=-\sqrt{2}$
p/s: mình nghĩ lên lập topic nữa về giải tích sẽ đi từ ptđt-->đường tròn-->elip-->hyperbol--->parbol--> k gian. mọi người thấy sao.

Được đấy, đúng tủ =))........................................................

 

[thang271998]

Được đấy, đúng tủ =))........................................................

hay đấy giải nhanh nào tớ đăng bài mới .

 

[huynhbachkhoa23]

đăng lí thuyết nữa là OK được chứ .

Đăng luôn phương trình elip, hyperbol có toạ độ tâm luôn đi chị. Với mấy cái phương trình tham số của đường tròn và Elip luôn, học bo bo trong sách chán lắm

 

[huynhbachkhoa23]

Kết thúc mầy phần chứng minh ở đây thôi.
giải phương trình lượng giác
1.$3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+4sin^33x$
2.
Tìm các nghiệm x thuộc $(\frac{2\pi}{5};\frac{6\pi}{7})$ của phwong trình $cos7x-\sqrt{3}sin7x=-\sqrt{2}$
p/s: mình nghĩ lên lập topic nữa về giải tích sẽ đi từ ptđt-->đường tròn-->elip-->hyperbol--->parbol--> k gian. mọi người thấy sao.

Bài 1:
Nhìn là thấy ngay công thức nhân $\sin3x$ =))
$PT \leftrightarrow \sin 9x -\sqrt{3}\cos9x = 1$

OK. đến đây áp đụng lý thuyết $a\sin x + b\cos x = c$

 

[buivanbao123]

Kết thúc mầy phần chứng minh ở đây thôi.
giải phương trình lượng giác
1.$3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+4sin^33x$
2.
Tìm các nghiệm x thuộc $(\frac{2\pi}{5};\frac{6\pi}{7})$ của phwong trình $cos7x-\sqrt{3}sin7x=-\sqrt{2}$
p/s: mình nghĩ lên lập topic nữa về giải tích sẽ đi từ ptđt-->đường tròn-->elip-->hyperbol--->parbol--> k gian. mọi người thấy sao.

2)Ta có:$cos7x-\sqrt{3}sin7x=-\sqrt{2}$
\Leftrightarrow $-\sqrt{3}sin7x+cos7x=-\sqrt{2}$
Ta chia cả 2 vế cho $\sqrt{3+1}$
rồi nhóm lại thành công thức cộng cung hoặc trừ cung
Đây chính là phuơng trình asinx+bcosx=c