Toán 11 [Math 98 Club] Lượng Giác

Chủ pic: Math 98 club: Mua_sao_bang_98, demon311,buivanbao123 ,thuong0504,congratulation11, thupham22011998,cam25101998,


Nội quy:

- Tuân thủ đúng nội quy diễn đàn TẠI ĐÂY

- Không spam.

I - Công thức lượng giác
1. Công thức cơ bản

$sin^2x+cos^2x=1$

$tanx=\frac{sinx}{cosx}$

$cotx=\frac{cosx}{sinx}$

$tanx.cotx=1 (x \neq k\frac{\pi}{2}, k \in Z)$

$1+tan^2x=\frac{1}{cos^2x}(x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi , k \in Z)$

$1+cot^2x=\frac{1}{sin^2x}(x \neq k\pi, k \in Z)$

2. Công thức cộng

$sin(a \pm b)=sinacosb \pm sinbcosa$

$cos(a \pm b)=cosacosb \mp sinasinb$

$tan(a \pm b)=\frac{tana \pm tanb}{1\mp tanatanb} (a,b,a \pm b \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in Z)$

$cot(a\pm b)=\frac{cotacotb \mp 1}{cota \pm cot b} (a,b,a \pmb \neq k\pi, k \in Z)$

3. Công thức nhân

a, Công thức nhân 2

$sin2x=2sinxcosx$

$cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x$

$tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x} (x,2x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in Z)$

b, Công thức nhân 3

$sin3x=3sinx-4sin^3x=4sinxsin(\frac{\pi}{3}-x)sin(\frac{\pi}{3}+x)$

$cos3x=4cos^3x-3cosx=4cosxcos(\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x)$

CT tổng quát với hàm tan:

$tan(a+b+c)=\frac{tana+tanb+tanc-tanatanbtanc}{1-tanatanb-tanbtanc-tanctana}$

c, Công thức hạ bậc

$sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}$

$cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}$

$tan^2x=\frac{1-cos2x}{1+cos2x}$

$sin^3x=\frac{-sin3x+3sinx}{4}$

$cos^3x=\frac{cos3x+3cosx}{4}$

4. Công thức biến đổi

a, Tích thành tổng

$cosacosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]$

$sinasinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]$

$sinacosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]$

b, Tổng thành tích

$cosa+cosb=2cos\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}$

$cosa-cosb=-2sin\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}$

$sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}$

$sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}$
Công thức bổ sung
$sina+cosa=\sqrt{2}sin(a+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}cos(a-\frac{\pi}{4})$
$sina-cosa=\sqrt{2}sin(a-\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}cos(a+\frac{\pi}{4})$
$cosa-sina=\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}-a)=\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}+a)$

P/s: Còn một số công thức tổng thành tích trong quá trình làm bài mình sẽ bổ sung sau.
- Tiện mình sẽ giải luôn đề phương trình lượng giác của các năm ĐH gần đây nhé.

 

A. Bài tập

Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức lượng giác

- Ta thường sử dụng các phương pháp: biến đổi vế phức tạp hoặc nhiều số hạng thành vế đơn giản, biến đổi tương đương, xuất phát từ đẳng thức đúng nào đó, biến đổi về đẳng thức cần chứng minh
- Trong khi biến đổi ta sử dụng các công thức thích hợp hướng đến kết quả phải đạt được



B. Bài tập áp dụng

$\fbox{Bài 1}$: Chứng minh các đẳng thức sau:

$1, cota-tana=2cot2a$

$2, sin2a(tana+cota)=2$

$3, tan^3x+tan^2x+tanx+1=\frac{sinx+cosx}{cos^3x}$

 

Để mình mở đầu một bài
1)VT=cota-tana

=$\dfrac{cosa}{sina}-\dfrac{sina}{cosa}$

=$\dfrac{cos^{2}a-sin^{2}a}{sina.cosa}$

=$\dfrac{cos2a}{\dfrac{1}{2}.sin2a}$

=2cot2a(đpcm)

 

Bài 1:
1.$cota-tana=2cot2a$
Xet $VT=cota-tana=\frac{cosa}{sina}-\frac{sina}{cosa}=\frac{cos2a}{\frac{1}{2}sin2a}=2cot2a=VP(đpcm)$
2.$sin2a(tana+cota)=2$
Xét $VT=2sina.cosa(\frac{sina}{cosa}+\frac{cosa}{sina})=2=VP(đpcm)$
3. $tan^3x+tan^2x+tanx+1=\frac{sinx+cosx}{cos^3x}$
Xét $VP=\frac{sinx+cosx}{cos^3x}=\frac{sinx}{cos^3x}+\frac{cosx}{cos^3x}=tanx.\frac{1}{cos^2x}+ \frac{1}{cos^2x}=VT$(đpcm)
p/s: $\frac{1}{cos^2x}=tan^2x+1$

 

2)Ta có:tana+cota=$\dfrac{1}{sina.cosa}$=$\dfrac{1}{1/2.sin2a}$
\Rightarrow sin2a.(tana+cota)=2(đpcm)

 

Bài 3.

VT:$tan^{3}x+tan^{2}x+tanx+1$

=$tan^{2}x(tanx+1)+tanx+1$

=$(tanx+1)(tan^{2}x+1)$

=$(\dfrac{sinx+cosx}{cosx})(\dfrac{sin^{2}x+cos^{2}x}{cos^{2}x})$

=$\dfrac{sinx+cosx}{cos^{3}x}$(đpcm)

 

Giải phương trình lượng giác luôn đê
....................................................................................................

 

Thêm một bài
Nãy giờ rớt mạng
3. CM
$2sinxcosx^3+\dfrac{ sin2x+2cos^2(\dfrac{ x}{2}-\dfrac{ \pi}{4})-(sinx-cosx)^2}{tanx}=(\dfrac{ 1}{2}sin2x+cosx^2)^2$

 

Đây ông làm thử một bài nè
Giải phương trình :
cos3x+cos2x-cosx-1=0
............................................... ................................

 

Có: cos 3x-cosx = -2sin2x sinx = -4sinx sinx cosx
Cos2x = 1- 2sinx sinx.
PT thành:
-4 sinx sinx cosx+1-2 sinx sinx -1 =0
-2 sinx sinx ( 2 cosx + 1) =0

 

$cos3x+cos2x-cosx-1=0 \\
4cos^3x-3cosx +2cos^2x-1-cosx-1=0 \\
4cos^3x+2cos^2x-4cosx-2=0 \\
\left[ \begin{array}{ll}
cosx=1 \\
cosx=-1\\
cosx=\dfrac{ -1}{2}
\end{array} \right. \\
\left[ \begin{array}{ll}
x=k\pi \\
x= \dfrac{ \pi}{3}+k2\pi \\
x=-\dfrac{ \pi}{3}+k2\pi
\end{array} \right. $

 

Bài nãy khai triển ra đến đây xong không biết làm sao nữa
VT:$\dfrac{1/2sin^{2}2x.cosx+1/2.sin2x+cos^{2}x}{sinx}$

 

Xin lỗi ông là sin2x ở tử số chứ k phải sinx
Bài này tui tự ra đề, biến đổi thẳng thôi mà

 

Bài này có 1 cách ngắn gọn hơn là ta nhóm (cos3x với cosx) và cos2x với 1 rồi dùng công thức biến đổi tổng thành tích xong nhóm là ra

 

Mình làm thẳng cho nhanh
Đưa về pt bâccj 3 ẩn cosx cũng được
Mỗi người thích môttj kiểu mà

 

Bài này giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ cũng ra...................

 

Haha! demon toàn cho x^n thôi à! .

 

e vừa mới tròn 1,800 bài viết! thêm bài này ra lẻ mất oy! tiếc quá!

$2sinxcos^3x+\frac{sin2x+2cos^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})-(sinx-cosx)^2}{tanx}=(\frac{1}{2}sin2x+cos^2x)^2$

\Leftrightarrow $2sinxcos^3x+\frac{2sinxcosx+(cos^2\frac{x}{2}+sin^2\frac{x}{2})-(sin^2x+cos^2x-2sinxcosx)}{\frac{sinx}{cosx}}=\frac{1}{4}sin^22x+cos^4x+sin2xcos^2x$

\Leftrightarrow $2sinxcos^3x+\frac{2sinxcosx+2sinxcosx}{\frac{sinx}{cosx}}=sin^2xcos^2x+cos^4x+2sinxcos^3x$

\Leftrightarrow $4cos^2x=cos^2x(sin^2x+cos^2x)$

\Leftrightarrow $4cos^2x=cos^2x$

Ồ! có vẻ hay nhỉ! ^^

 

chú demon! cho đề bài hại não quá! tại sao ta thay x=30 vào nó không bằng 0 z! hay là ta lại bấm nhầm... hix!

 

ừ em cố gắng 1900 sau nhé! Anh chúc em may mắn
Mà club mình phải tạo chỗ giải chí chém gió tí nhỉ?
mà phải bổ sung thêm hóa, lí mới đợc,