98, Tìm m để bpt sau đúng [TEX] \forall x \in (0,1)[/TEX]
[TEX]5.25^x + (m-6).5^{1-x} > 5(m-5)[/TEX]
[TEX]t=5^x, \ x \in (0,1) \Rightarrow t \in (1;5)[/TEX]
[TEX](pt) \Leftrightarrow 5t^2 + \frac{5(m-6)}{t} > 5(m-5) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 5t^2 - \frac{5}{t} > 5(m-5)( 1 - \frac{1}{t} ) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{5t^3 - 5}{t-1} > 5(m-5) (do\ t >1\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{t} > 0 )[/TEX]
Lập bảng biến thiên hàm [TEX]f(t)[/TEX] trong khoảng [TEX](1;5)[/TEX] rồi suy ra giá trị m.
99, Tìm m để phương trình sau có nghiệm
[TEX]\sqrt{x+4\sqrt{x-4}} + \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} = m\sqrt[4]{x-4} - 8[/TEX]
[TEX]t = \sqrt[4]{x-4}. DK : t \ge 0 [/TEX]. Ta có :
[TEX]t^2 + 2 + | t^2 -2 | = mt - 8[/TEX].
Xét khoảng phá trị rồi giải bình thường.
100, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
[TEX]\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} + m\sqrt{1-x^2} - 2\sqrt[4]{1-x^2} = m^3[/TEX]
Sử dụng phương pháp
điều kiện cần và đủ.
Nhận thấy nếu [TEX]x_o[/TEX] là 1 nghiệm của phương trình thì [TEX]{-x_o[/TEX] cũng là 1 nghiệm của phương trình, nên ta có :
Điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là :
[TEX]x_o=-x_o \Leftrightarrow x_o = 0 \Rightarrow 2+m - 2 = m^3 \Leftrightarrow \left[ m=0 \\ m = \pm 1[/TEX]
Điều kiện đủ:
Với m=0 ta có :
[TEX](pt) \Leftrightarrow \sqrt[4]{1+x} - \sqrt[4]{1-x} = 0 \Leftrightarrow x = 0 (thoa)[/TEX]
Với m=1 ta có :
[TEX](pt) \Leftrightarrow (\sqrt[4]{1+x} - \sqrt[4]{1-x})^2 +\sqrt{1-x^2} - 1= 0 [/TEX]
Đặt :
[TEX]\left{ a = \sqrt[4]{1+x} \\b= \sqrt[4]{1-x} [/TEX]. Ta có hệ phương trình:
[TEX]\left{ ( a-b)^2 = 1- a^2 b^2 \\ a^4 + b^4 = 2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ (a-b)^2 = 1-a^2b^2 \\ ( a-b)^4 = - 4ab( (a-b)^2 + 2ab) + 6a^2b^2 + 2[/TEX]
Thế (1) vào (2) giải ra ab sau đó thay vào tìm a-b.
...
Giải ra TH này không thỏa.
Với m=-1 dễ dàng thấy thỏa.
Vậy m=0 và m=-1.
Nhận xét 1: Bài này với TH m=1 giải hơi dài, có thể áp dụng hàm liên tục để chứng minh ngoài nghiệm x =0 nó còn 2 nghiệm nữa thuộc (0;1) và (-1;0) nhưng phải dùng máy tính.
Nhận xét 2: Khi giải TH m=1 như ở trên, ta tìm được a, b cũng phải dùng máy tính để so sánh với số 1.
Kết luận: Ai giải bằng cách khác hay hơn đi!!