[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[giaosu_fanting_thientai]

[TEX]Dieu\ kien\ :\ \left{ x \geq 1 \\ y \geq 1[/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow \frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{2\sqrt{x-1}}{x}=\frac{3}{2}[/TEX]

Áp dụng BDT Co-si ta có:

[TEX]\frac{\sqrt{y-1}}{y} \leq \frac{(y-1)+1}{2y} =\frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]\frac{2\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{(x-1)+1}{x} =1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \Leftrightarrow \frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{2\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]Dau\ "="\ \Leftrightarrow \left{ x=2\\ y=2[/TEX]

 

[love_a1k36]

26. [TEX] \ \ \ [/TEX]

 

[rua_it]

[TEX]\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1[/TEX]

mình làm theo cách nhân liên hợp ra 1 nghiệm x=30 rồi nhưng còn phương trình kia k giải được, biết x=-61 rồi mà k làm được . Bạn nào giúp mình nhé

[TEX](pt) \Leftrightarrow (x+34) - (x-3) -3 \sqrt[3]{x+34}. \sqrt[3]{x-3} \ . 1 = 1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3 \sqrt[3]{x+34}. \sqrt[3]{x-3} = 36[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x+34)(x-3) = 1728[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = 30 \\ x = -61[/TEX]

 

[rua_it]

27. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[chuanho]

Next

28.
[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

29. Cho [TEX]x,y,z \in [0; \frac{\pi}{2} )[/TEX]. Giải phương trình:
[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

30. [TEX]\ \ \ [/TEX]

31. [TEX]\ \ \ [/TEX]

32. [TEX]\ \ \ [/TEX]

33. [TEX]\ \ \ [/TEX]

34.
Cho

,là 3 số dương và:

Với

với i,j=1,2,3 là những số thực dương,thỏa mãn các điều kiện

Chứng minh rằng:

 

[tell_me_goobye]

[TEX]\fbox{27.} \\ \sqrt{x^{2}-x+19}+\sqrt{7x^{2}+8x+13}+\sqrt{13x^{2}+17x+7}=3 \sqrt{3} (x+2)[/TEX]

[TEX]Dieu\ kien\ :\ x\geq -2[/TEX]

[TEX]Ta\ co: \\ VT=\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{75}{4}}+\sqrt{(2x-1)^2+3(x+2)^2}+\sqrt{\frac{1}{4}(2x-1)^2+\frac{3}{4}(4x+3)^2}[/TEX]

[TEX]\geq \frac{\sqrt{75}}{2}+\sqrt3|x+2|+\frac{\sqrt3}{2}|4x+3|[/TEX]

[TEX] \geq \frac{5\sqrt3}{2}+\sqrt{3}(x+2)+\frac{\sqrt3}{2}(4x+3)\geq3\sqrt{3}(x+2)[/TEX]
[TEX]Dau\ "="\ \Leftrightarrow x=\frac12[/TEX]

 

[nhocngo976]

hihi tớ tham gia vs:

28/ giải hệ:
[TEX]\left{x^2=sqrt{y-1}+2x-1\\{y^2=sqrt{x-1}+2y-1[/TEX]

[TEX]DK x,y >=1[/TEX]

[TEX]*. voi \ x=1 \Rightarrow y=1 \ thoa \ man \ he \\\\ *. voi \ x> 1 , y \geq 1 [/TEX]

[TEX]HPT[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]x^2-y^2=\sqrt{y-1}-\sqrt{x-1}+2(x-y)[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](x-y)(x+y-2)=\frac{y-x}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}}[/TEX]

[tex]\Leftrightarrow (x-y)(x-1+y-1+\frac{1}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}}) =0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \left[ x=y \\ (x-1+y-1+\frac{1}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}}) =0(2)[/tex]

Phương trình (2) vô nghiệm do : [TEX]x > 1, y\ge 1[/TEX]

 

[nhocngo976]

31/gpt
[TEX]x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}[/TEX]

Đặt [TEX] y=\sqrt[3]{2x-1}[/TEX]. Ta có hệ phương trình:

[TEX]\left{ x^3+1=2y \\ y^3+1=2x[/TEX]

Trừ vế theo vế ta suy ra:

[TEX] (x-y)(x^2+xy+y^2+2)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x=y \\ x^2+xy+y^2+2=0 (2)[/TEX]

[tex]VT(2) =(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}+2>0 \Rightarrow (2)[/tex] vô nghiệm.

 

[duynhan1]

32/gpt
[TEX]\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}+\sqrt[3]{1+x^3}+\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[4]{1+x^4}+\sqrt[4]{1-x^4}[/TEX]=6

[TEX]DK : |x| \le 1 [/TEX]

[TEX]\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2} \le \sqrt{2 . (1 +x^2+1-x^2)} = 2 [/TEX]
[TEX] \sqrt[4]{1+x^4}+\sqrt[4]{1-x^4} \le \sqrt{2 .(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}) } \le 2 [/TEX]
[TEX]\left\{ (1+x^2) + 1 + 1 \ge 3 \sqrt[3]{1 + x^2} \\ (1-x^2) + 1 + 1 \ge 3 \sqrt[3]{1 - x^2} \right. \Rightarrow 3(\sqrt[3]{1 + x^2} + \sqrt[3]{1-x^2} ) \le 6 \Leftrightarrow \sqrt[3]{1 + x^2} + \sqrt[3]{1-x^2} \le 2 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \le VP \\ "=" \Leftrightarrow x = 0 [/TEX]

 

[minhkhac_94]

30/giải pt:
[TEX]64x^6+96x^4+36x^2-3=0[/TEX]

-Nếu đề như trên
Biến đổi về dạng :

-Nếu đề là 64x^6+96x^4+36x^2-3=0 thì Làm thế này
Tí thì xa lầy

Với

thì

pt vô nghiệm

Với

Trước hết ta có

Do đó đặt

với a thuộc

thì pt có dạng :

Sorry lần sau đọc kĩ đề làm sai be bét

 

[nhocngo976]

33, [TEX]sqrt{x+2}-sqrt{3-x}<sqrt{5-2x}[/TEX]

]

Cách 1: [TEX]DK -2 \leq x\leq \frac{5}{2}(1)[/TEX]
+với [TEX]/sqrt{x+2}\leq sqrt{3-x}[/TEX] \Leftrightarrow[TEX] -2 \leq x \leq \frac{1}{2} (2)[/TEX] \Rightarrowluôn đúng

+ [TEX]voi \frac{1}{2}<x \leq \frac{5}{2}(3)[/TEX]

[TEX]bpt [/TEX]\Leftrightarrow[TEX]5-2\sqrt{6+x-x^2}<5-2x[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{6+x-x^2}>x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2x^2-x-6<0[/tex] )

[TEX]\Leftrightarrow \frac{-3}{2}<x<2 (4)[/tex]

kết hợp(2)(3)(4)

Cách 2: [TEX]DK -2 \leq x\leq \frac{5}{2}(1)[/TEX]
Với điều kiện trên ta có :
[TEX]bpt \Leftrightarrow \sqrt{x+2} <\sqrt{5-2x}+\sqrt{3-x}[/tex]

[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{(5-2x)(3-x)}>{4x-6}[/tex]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x \le \frac32 \\ 2x^2 - 11x + 15>4x^2 - 12x + 9 [/tex]

[TEX]\Leftrightarrow \left\[ \begin{matrix}{l} x \le \frac32 \\ 2x^2 - x -6 <0 \end{matrix} \right. \\ \Leftrightarrow \left\[ \begin{matrix}{l} x \le \frac32 \\-\frac32 <x < 2 \end{matrix} \right.[/tex]

Kết hợp điều kiện ta có : [TEX]\Large S = [-2 ; 2) [/TEX]

cách 2 hơi dở )....bữa sau k hứa nữa (

 

[duynhan1]

35.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[minhkhac_94]

35.
[TEX] \left\{ \begin{matrix}{l} (x+\sqrt{x^2+2007})(y+\sqrt{2007+y^2})=2007 \\ 2x^2+y^2=3x-2y+2\end{matrix}[/TEX]

Nhân liên hợp từ pt đầu cho ta[TEX] x+y=0[/TEX]__________________

Từ (1) ta có :
[TEX]\left{ x+ \sqrt{x^2+2007} = \sqrt{2007+y^2} - y \\ y+ \sqrt{y^2+2007} = \sqrt{2007+x^2} -x [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y = - ( x+ y ) \Leftrightarrow x= - y [/TEX]

Thay vào (2), ta có :
[TEX]3x^2 - 5x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 2 \\ x = -\frac23[/TEX]

[TEX]\fbox{ KL: S=\{ (2;-2) ;( -\frac13;\frac13) \}[/TEX]

Đọc kỹ quy định ở đầu Topic.

 

[nhockthongay_girlkute]

36.
[TEX] \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[trydan]

[TEX]36. \left{(3-x)\sqrt{2-x}-2y\sqrt{2y-1}=0(1)\\{2\sqrt{2-x}-\sqrt{(2y-1)^3}=1(2)[/TEX]

Đặt

Từ (1) ta có

Đối với 12 ta làm như sau :
[TEX](1) \Leftrightarrow (\sqrt{2-x})^3 + \sqrt{2-x} = (\sqrt{2y-1})^3 + \sqrt{2y-1}[/TEX]

Hàm [TEX]f(t) = t^3 + t[/TEX] có [TEX]f'(t) = 3t^2 + 1 > 0 \forall t [/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Hàm [TEX]f(t) [/TEX] đồng biến.
[TEX]\Rightarrow (1) \Leftrightarrow \sqrt{2-x} = \sqrt{2y - 1} [/TEX]

Thế vào hệ (2) ta có

 

[nhocngo976]

22. [TEX]\sqrt{ 2x^2 + 8x + 6} + \sqrt{ x^2 -1} = 2x + 2[/TEX]

Điều kiện xác định [TEX]\left[ {x\geq1}\\{x\leq-3}\\{x=-1} [/TEX]
dễ thấy x=-1 là nghiệm. Biến đổi phương trình thành
[TEX]\sqrt{2x+6}+\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+1}[/TEX]

Bình phương 2 vế, với điều kiện [TEX]x\geq1[/TEX] ta được
[TEX]2\sqrt{2x^2+4x-6}=x-1[/TEX]. Tiếp tục bình phương với [TEX]x\geq1[/TEX] được
[TEX]7x^2+18x-25=0[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{x=1}\\{x=\frac{-25}{7}} [/TEX]
loại [TEX]x=\frac{-25}{7}[/TEX]
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-1 và x=1

Bài trên sai, mình sửa lại như sau

[TEX]DK: \ \left[ x \leq -3 \\ x \geq 1 \\ x=-1[/TEX]

[TEX]*x=-1 \Rightarrow VT=VP=0 \Rightarrow x=-1 la\ nghiem\ pt[/TEX]

[TEX]*x \geq 1\Rightarrow (pt) \leftrightarrow \sqrt{2x+6}+\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+1} \Leftrightarrow 2\sqrt{2x^2+4x-6}=x-1 \Leftrightarrow 7x^2+18x-25=0 \Leftrightarrow \left[ x=1 \\x=\frac{-25}{7}(loai) [/TEX]

[TEX]*x \leq -3 \Rightarrow (pt) \Leftrightarrow \sqrt{-2x-6}+\sqrt{1-x}=2\sqrt{1+x} \Leftrightarrow 2\sqrt{2x^2+4x-6}=7x+9 \Leftrightarrow 41x^2+110x+105=0..Vo\ Nghiem[/TEX]

[TEX]S=\{1; -1\} [/TEX]

nhiệm vụ đã xong...chỗ nào k ổn, mặc kệ nhá)....ôi,sao mak ghét duynhan1 ghê gớm ) HAPPY NEW YEAR!!!:X

 

[duynhan1]

37.[TEX] \ \ \ [/TEX]

38.[TEX] \ \ \[/TEX]

39. [TEX]\ \ \ [/TEX]

40.[TEX] \ \ \ [/TEX]

 

[nhocngo976]

41.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

42. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[lagrange]

37.
[TEX]8x - 5( 5x^2 -1)^2 = - 8[/TEX]

38.
[TEX]\sqrt[3]{x-2} = 8x^3 - 60 x^2 + 151 x - 128 [/TEX]

39.
[TEX]8x^3 + 8x - 4 = \sqrt[3]{ 4- 6x}[/TEX]

40.
[TEX]\sqrt[3]{ 3x -5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 [/TEX]

38/[tex]x-2+\sqrt[3]{x-2}=(2x-5)^3+2x-5[/tex]
39/[tex](2x)^3+2x=4-6x+\sqrt[3]{4-6x}[/tex]
2 bài này đều có nghiệm
đi đánh bài đã

 

[gaconthaiphien]

43.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]