[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[duynhan1]

Giải bất phương trình
[TEX]2x+1+x sqrt{x^2+2}+(x+1) sqrt{x^2+2x+3}<0[/TEX]

[TEX]DK: x \in R[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x ( \sqrt{x^2+2} + 1) < (-x-1) (\sqrt{(-x-1)^2 + 2} +1 ) [/TEX]

Xét hàm [TEX]f(t) = t . ( \sqrt{t^2+2}+1) [/TEX], ta có :
[TEX]f'(t) = \sqrt{t^2+2} +1+ \frac{t^2}{\sqrt{t^2+2} } >0 \forall t \in R[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Hàm số [TEX]f(t)[/TEX] đồng biến [tex] \forall t \in R[/TEX] .

[TEX]BPT \Leftrightarrow f(x)< f(-x-1) \\ \Leftrightarrow x < -x -1 \\ \Leftrightarrow x <- \frac12 [/TEX]

 

[mercury264]

[TEX]DK: x \in R[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x ( \sqrt{x^2+2} + 1) < (-x-1) (\sqrt{(-x-1)^2 + 2} +1 ) [/TEX]

Xét hàm [TEX]f(t) = t . ( \sqrt{t^2+2}+1) [/TEX], ta có :
[TEX]f'(t) = \sqrt{t^2+2} +1+ \frac{t^2}{\sqrt{t^2+2} } >0 \forall t \in R[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Hàm số [TEX]f(t)[/TEX] đồng biến [tex] \forall t \in R[/tex] .

[TEX]BPT \Leftrightarrow f(x)< f(-x-1) \\ \Leftrightarrow x < -x -1 \\ \Leftrightarrow x <- \frac12 [/TEX]

bài này có thể nhóm (2x+1)(...) được không ngoài cách xét hàm số như vậy

 

[nhocngo976]

85. [TEX] \ \ \ \ [/TEX]

 

[gaconthaiphien]

86.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[duynhan1]

86, Giải hệ trên R

[TEX]\left{x^3-y^3=9 \\ 2x^2+y^2=4x-y [/TEX]

Khi nhìn vào ta thấy hệ số của x và y độc lập ta nhân với hệ số thích hợp để có dạng (x+a)^3 = (y+b)^3

Với ý tưởng này ta có :

[TEX]\blue (1) - 3.(2) [/TEX]
[TEX] x^3 - 3.x^2 . 2 + 3. x. 2^2 - 8 = y^3 + 3y^2 + 3y +1 \\ \Leftrightarrow (x-2)^3 = (y+1)^3[/TEX]

 

[gaconthaiphien]

87.[TEX] \ \ \ \ [/TEX]

 

[duynhan1]

87. Giải phương trình:

[TEX]\sqrt{x^2+91}=x^2+\sqrt{x-2}[/TEX]

Nhẩm nghiệm x=3.

[TEX]DK : x \ge 2[/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow \sqrt{x^2+91} - 10 = (x^2-9) + ( \sqrt{x-2} -1 ) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2 - 9 }{\sqrt{x^2+91} + 10} = (x-3)(x+3) + \sqrt{x-3}{\sqrt{x-2}+1} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x=3 \\ \frac{x+3}{\sqrt{x^2+91} + 10} = x+3 + \frac{1}{\sqrt{x-2}+1} (2) [/TEX]

Phương trình (2) vô nghiệm do :
[TEX] \frac{x+3}{\sqrt{x^2+91} + 10} < x+3< x+3 + \frac{1}{\sqrt{x-2}+1} [/TEX]

 

[ticktock]

không biết có chưa, nhác seach

[TEX]85, \ (x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}[/TEX]

đặt a=[TEX]\sqrt{x+1}[/TEX] (a[TEX]\geq[/TEX]0)và b=[TEX]\sqrt[3]{3x+4}[/TEX] ta có [TEX]b^3-3a^2=1[/TEX]

[TEX]((a^2+4)a+1)^3-3a^2=1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](a^3+4a+1)^3-3a^2=1[/TEX]

VT[TEX]>=(4a^2+1)^3-3a^2=64a^6+48a^4+9a^2+1>=1[/TEX]
pt <=> a=0 hay x=-1

 

[phoxanh2]

giải hệ pt :
10x-xy-y=2
[TEX]30x^{2}-xy^{2}-2xy-x-y=1[/TEX]

 

[nhocngo976]

không biết có chưa, nhác seach

[TEX]85, \ (x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}[/TEX]

đặt a=[TEX]\sqrt{x+1}[/TEX] (a[TEX]\geq[/TEX]0)và b=[TEX]\sqrt[3]{3x+4}[/TEX] ta có [TEX]b^3-3a^2=1[/TEX]

[TEX]((a^2+4)a+1)^3-3a^2=1[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow[/TEX] [TEX](a^3+4a+1)^3-3a^2=1[/TEX]

VT[TEX]>=(4a^2+1)^3-3a^2=64a^6+48a^4+9a^2+1>=1[/TEX]
pt <=> a=0 hay x=-1

cái phần đánh giá, không hiểu lắm :|

Điều kiện: [TEX]x \ge -1[/TEX]
Đặt [tex] a= \sqrt{x+1} \\ b = \sqrt[3]{3x+4} [/tex]
Ta có hệ phương trình:
[TEX] \left{\begin{ (a^2+4)a+1=b \\ 3a^2-b^3=1 \right. (I) \\\\ \Leftrightarrow \left{\begin{ a^3+4a+1=b \\ 3a^2+1=b^3 \right. \\\\\ \Rightarrow a^3+3a^2+4a+2=b^3+b \\\\ \Leftrightarrow (a+1)^3+a+1=b^3+b(1)[/TEX]

Xét hàm số [TEX]f(t)=t^3+t [/TEX]
[tex] f'(t) = t^2 + 1 >0 \forall t [/tex]
Hàm số [tex]f(t) [/tex] đồng biến trên R.
[TEX](1) \Leftrightarrow f(a+1) = f(b) \\ \Leftrightarrow a+1=b[/TEX]
[TEX](I) \Leftrightarrow \left{ a+1 = b \\ 3a^2 - (a+1)^3 = 1[/TEX]

 

[ticktock]

giải hệ pt :
10x-xy-y=2
[TEX]30x^{2}-xy^{2}-2xy-x-y=1[/TEX]

10x-xy-y=2 => xy+y=10x-2
[TEX]30x^{2}-xy^{2}-2xy-x-y=1[/TEX] => [TEX]30x^3-(xy+x)(xy+x+1)=0[/TEX] (nhân 2 vế với x)
=>[TEX]30x^3-(10x-2)(10x-1)=0[/TEX]=> [TEX]30x^3-100x^2+30x-2=0[/TEX] ---> Nghiệm lẻ quá! Làm sao nữa mọi người ơi!

 

[traimuopdang_268]

cái phần đánh giá, không hiểu lắm :|

cách khác: cũng đặt như vậy
ta được hệ:
[TEX] \left{\begin{ (a^2+4)a+1=b \\ 3a^2-b^3=1 \right.\\\\ \Leftrightarrow \left{\begin{ a^3+4a+1=b \\ 3a^2+1=b^3 \right. \\\\\ \Leftrightarrow a^3+3a^2+4a+2=b^3+b \\\\ \Leftrightarrow (a+1)^3+a+1=b^3+b [/TEX]

xét [TEX]f(t)=t^3+t [/TEX]ĐB trên R

[TEX]\Rightarrow f(a+1)=f(b) ---> a+1=b ----> x=-1[/TEX]

M muốn hỏi xíu. vs những bài sử dụng đánh giá.

Thi ta nhìn nhận thế nào để nhận ra, đánh giá rất hiệu quả mà khó nghĩ tới quá:-SS:-SS

Chuẩn bị suy nghĩ trong đầu là đánh giá mọi lúc mọi nơi, nếu vẫn chưa nhận ra phải đánh giá thế nào thì cứ giải bình thường, pp thủ công nhất là rút thế:-s

 

[giaosu_fanting_thientai]

88. [TEX] \ \ \ \ [/TEX]

89.[TEX] \ \ \ \ [/TEX]

 

[duynhan1]

THTT:
[TEX]89. \ \ \ \sqrt[3]{3x+4}=x^3+3x^2+x-2[/TEX]

[TEX]y+1 = \sqrt[3]{3x+4} \Rightarrow \left{ (y+1)^3= 3x+4 \\ (x+1)^3= y+1+2x+3 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x = y [/TEX]
[TEX]\red \Rightarrow y^3 = 3y + 1 (2) [/TEX]
Xét hàm :
[TEX]f(y) = y^3 - 3y - 1 \\ f'(y) = 3y^2 - 3[/TEX]
Lập bảng biến thiên ta suy ra được rằng phương trình có 3 nghiệm nằm trong khoảng : [TEX](-2;2)[/TEX].
Đặt [TEX]y = 2 cos t ( t \in [0; \pi] )[/TEX], ta có :
[TEX]2( 4 cos^3 t- 3 cos t ) = 1[/TEX]
[TEX]cos 3t = cos {\frac{\pi}{3}}[/TEX]

Xong !!!

 

[connguoivietnam]

88)

[TEX]x^{log_711}+3^{log_7x}=2x[/TEX]

ĐK [TEX]x > 0[/TEX]

[TEX]11^{log_7x}+3^{log_7x}=2x[/TEX]

[TEX]11^{log_7x}+3^{log_7x}=2.7^{log_7x}[/TEX]

[TEX](\frac{11}{7})^{log_7x}+(\frac{3}{7})^{log_7x}=2[/TEX]

xét hàm [TEX]y=(\frac{11}{7})^{log_7x}+(\frac{3}{7})^{log_7x}[/TEX]

thấy luôn nghịch biến

vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất [TEX]x=7(T/M)[/TEX]

 

[kiburkid]

90.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

91.
[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

92.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \[/TEX]

 

[duynhan1]

91,
[TEX]\left{\begin{x^2y^2 - 2x + y^2 = 0} (1) \\{2x^2 - 4x + 3 + y^3 = 0} (2) [/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow y^2 = \frac{2x}{x^2+1} \Rightarrow y^2 \le 1 \Leftrightarrow -1 \le y \le 1 [/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow -y^3= 2(x-1)^2+1[/TEX]

[TEX]\left{ VT \le 1 \\ VP \ge 1 \right. "=" \Leftrightarrow \left{ x=1 \\ y = - 1 [/TEX]

92,
[TEX]\left{\begin{x\sqrt y + \sqrt x = 30y}\\{xy\sqrt{xy} + 1 = 35y\sqrt y} [/TEX]

y = 0 hệ vô nghiệm.
Với [TEX]y \not= 0 [/TEX] ta có hệ tương đương :
[TEX]\left{x . \frac{1}{\sqrt{y}} + \sqrt{x} . \frac{1}{y} = 30 \\ x\sqrt{x} + \frac{1}{y \sqrt{y} } = 35[/TEX]

[TEX]Dat : \left{ a = \sqrt{x} \\ b = \frac{1}{\sqrt{y}} [/TEX]. Ta có :
[TEX]\left{ a^2b + ab^2 = 30 \\ a^3+b^3 = 35[/TEX]

Đơn giản!!!

 

[kiburkid]

93.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

94.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

95.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[duynhan1]

3 bài này gần như là giống nhau ^^

93,
[TEX]\left{\begin{x^2(13-y^2) + xy =1}\\{x(3-y)+\sqrt{xy} = 1} [/TEX]

x=0, hệ vô nghiệm
[TEX]x \not= 0[/TEX], chia pt(1) cho x^2, pt(2) cho x đặt : [TEX]a = \frac{1}{\sqrt{x}} , \ \ b = \sqrt{y}[/TEX] ta có :

[TEX]\left{ 13 - b^4 + a^2b^2= a^4 \\ 3-b^2 + ab = a^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ a^2 + b^2 = ab+3 (1)\\ (a^2+b^2)^2 = 3a^2b^2 + 13(2) [/TEX]

Thế (1) vào (2) ta có :
[TEX](3ab+1)^2 = 3a^2b^2+13[/TEX]

94,
[TEX]\left{\begin{x^3y^3 + 1 = 7y^3}\\{x^2y + x = -2y^2} [/TEX]

y=0, hệ vô nghiệm
[TEX]y \not= 0 [/TEX], chia pt(1) cho y^3, pt(2) cho y^2, đặt [TEX]a= x \\ b = \frac{1}{y} [/TEX] ta có :
[TEX]\left{a^3+b^3 = 7 \\ a^2b + a b^2 = -2 [/TEX]
nhân chéo là xong.
[TEX]\left[ a+b= 0 \\ 2a+b=0 \\ b + 2a = 0 [/TEX]

95,
[TEX]\left{\begin{3xy - 1 = y^2(x^2+5)}\\{7x^2y^2 - 1 = y^4(x^4+155)} [/TEX]

y=0, không là nghiệm, làm tương tự 2 bài trên, đặt : [TEX]a =x,\ \ b= \frac{1}{y}[/TEX]
[TEX]\left{ 3ab - b^2 = a^2 + 5 \\ 7a^2b^2 - b^4 = a^4 + 155[/TEX]

Thế (1) vào (2) ta có:
[TEX](3ab-5)^2 + 155 = 9a^2b^2[/TEX]

Xong !!!!!

 

[kiburkid]

96. Tìm m để hệ có nghiệm x>0, y>0

[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

97. Tìm m để hệ có nghiệm
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]