[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[rua_it]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình
trong các kỳ thi đại học, cao đẳng


​

Kỳ thi đại học sắp đến. Nhằm giúp các bạn 12 ôn thi đại học có hiệu quả. Mình lập ra topic này để giải đáp các phương trình, hệ phương trình trong các kỳ thi đại học.

• Chỉ được post các bài phương trình, hệ phương trình phù hợp với mức độ ôn thi đại học.
• Mọi thắc mắc về đề bài, xin hỏi ở trang cá nhân của người post đề không hỏi trong topic tránh gây loãng topic
• Đánh số thứ tự để dễ tra cứu.
  

 

[rua_it]

Đề:
Bài 1, 2
Bài 3, 4, 5
Bài 6, 7
Bài 8
Bài 9
Bài 10
Bài 11
Bài 12, 13, 14, 15
Bài 16
Bài 17
Bài 18
Bài 19
Bài 20
Bài 21
Bài 22
Bài 23
Bài 24
Bài 25
Bài 26
Bài 27
Bài 28....34
Bài 35
Bài 36
Bài 37, 38, 39, 40
Bài 41
Bài 42
Bài 43
Bài 44
Bài 45
Bài 46
Bài 47,48,49
Bài 50
Bài 51...56
Bài 57,58
Bài 59
Bài 60
Bài 61
Bài 62
Bài 63+64
Bài 65
Bài 66
Bài 67
Bài 68
Bài 69, 70
Bài 71
Bài 72
Bài 73
Bài 74, 75
Bài 76
Bài 77
Bài 78
Bài 79, 80, 81
Bài 82
Bài 83
Bài 84
Bài 85
Bài 86
Bài 87
Bài 88, 89
Bài 90, 91, 92
Bài 93, 94, 95
Bài 96, 97
Bài 98, 99, 100
Bài 101
Bài 102

Đáp án :
Bài 1Cách 1 Cách 2
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5
Bài 6
Bài 7
Bài 8
Bài 9
Bài 10
Bài 11
Bài 12
Bài 14
Bài 15
Bài 16
Bài 17
Bài 18
Bài 19
Bài 20
Bài 21
Bài 22
Bài 23(sai lầm khi giải)
Bài 23( bài giải)
Bài 24
Bài 25
Bài 26
Bài 27
Bài 28
Bài 29, 30
Bài 31
Bài 32
Bài 33
Bài 35
Bài 36
Bài 44
Bài 45
Bài 46
Bài 47, 48
Bài 51...56: Link 1 và `Link 2
Bài 52(Cách khác)
Bài 57
Bài 58
Bài 59
Bài 60
Bài 61
Bài 62 ( chưa xong)
Bài 63
Bài 64
Bài 65
Bài 67
Bài 68
Bài 69
Bài 71
Bài 72
Bài 73
Bài 74, 75
Bài 77
Bài 78 Cách 1 Cách 2 Cách 3 Cách 4
Bài 79
Bài 80, 81
Bài 82
Bài 83
Bài 84
Bài 86
Bài 87

Trong quá trình làm không tránh khỏi sai sót. Mọi sai sót gửi về tin nhắn riêng cho mình

.

.

 

[ngomaithuy93]

Mong các mod đừng xóa mấy bài này, đây là các bài ẩn chỉ có mod thấy để sau này tổng hợp phương pháp từ từ

Bài ẩn cũng như hiện c ... chẳng thấy bài nào cả!
vivietnam:ẩn kiểu gì vậy,a ko biết
chỉ mod mới thấy
vivietnam:ý anh là làm sao để khiến nó ẩn.mà chỉ mod mới thấy cái gì cơ.a chẳng thấy gì cả

 

[keropik]

1.

2.

 

[valdes]

3.

4.

5.

 

[silvery21]

1. Giải hệ pt

[TEX](pt) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x({x^2} - 16) = y({y^2} - 4) \\ {y^2} - 4 = 5{x^2} \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x({x^2} - 16) = 5{x^2}y&&&(1) \\ {y^2} - 4 = 5{x^2}&&& (2)\\ \end{array} \right.[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ {x^2} - 16 = 5xy{\rm{ }} \\ \end{array} \right.[/TEX]
Dễ dàng giải tiếp bài toán.

 

[nhocngo976]

4 [TEX]\left\{ \begin{array}{l} 2y^2-x^2=1 \\ 2x^3-y^3=2y-x \end{array} \right.[/TEX]

Nhận thấy [TEX]x=0[/TEX], hệ phương trình vô nghiệm.

Với [TEX]x \not= 0[/TEX], từ hệ phương trình ta suy ra:
[TEX](2y^2-x^2)(2y-x)=2x^3-y^3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]5y^3-2x^2y-2xy^2-x^3=0[/TEX]
Chia cả 2 vế cho [TEX]x^3[/TEX] rồi đặt [TEX]t= \frac{y}{x}[/TEX], ta có :
[TEX]5t^3 - 2t^2-2t - 1 = 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t = 1 [/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

2. Giải pt

[tex](1) \Leftrightarrow\ x+\sqrt{2-x^2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=4 \ \ (2)[/tex]
Lại có :
[tex]x+\sqrt{2-x^2}\le\ \sqrt{(1^2+1^2)(x^2+2-x^2)}=2[/tex]
[tex]\frac{1}{x}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}\le\ \sqrt{(1^2+1^2)(\frac{1}{x^2}+2-\frac{1}{x^2})}=2[/tex]
Cộng vế theo vế ta suy ra:
[tex]VT(2) \le 4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
[tex] x=1 [/tex]

 

[nhockthongay_girlkute]

6. [TEX]\ \ \ [/TEX]

7. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[valdes]

6.
[TEX]4^x+(x-12)2^x+11-x=0[/TEX]

Đặt [TEX]2^x = t(t > 0) [/TEX][TEX]\Rightarrow x = log_2t[/TEX] . Biến đổi phương trình thành

[TEX](t - 1)( t - 11 + log_2t ) = 0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[\begin{t=1}\\{t+log_2t=11 (2)}[/TEX]

Giải (1):
[TEX](1) \Leftrightarrow 2^x = 1 \Leftrightarrow x = 0[/TEX]

Giải (2):
Xét hàm số [TEX]f(t) =t + log_2t (t > 0) [/TEX], ta có hàm số f(t) đồng biến với t>0 nên phương trình [TEX]f(t)=0[/TEX] có nhiều nhất 1 nghiệm.
[TEX]t=8[/TEX] là 1 nghiệm của phương trình, nên ta có t=8 là nghiệm duy nhất của phương trình (2). Ta có :
[TEX]t=8 \Leftrightarrow 2^x = 8 \Leftrightarrow x=3[/TEX]

Kết luận : Nghiệm của phương trình là :
[TEX]\left[ x =3 \\ x= 0 [/TEX]

7.
[TEX]\left{ \begin{array} {l} 4^{x+y-1}+3.4^{2y-1}=2 &&& (1) \\ x+3y=2-log_43 &&& (2) \end{array} \right.[/TEX]

[TEX](2) \Rightarrow 2-x-3y = log_43\\ \Leftrightarrow 3=4^{2-x-3y}[/TEX]. Thay vào (1) ta có :

[TEX]4^{x+y-1} + 4^{-x-y+1} = 2[/TEX].
Đặt [TEX]a=4^{x+y-1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+\frac{1}{a}=2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a=1\\ \Leftrightarrow x+y=1[/TEX]

Thay [TEX]x+y=1[/TEX] vào (2), ta suy ra:
[TEX]y=\frac{1}{2}-log_{16}3\\ \Rightarrow x=\frac{1}{2}+log_{16}3[/TEX]

 

[rua_it]

1. Giải hệ pt

[/SIZE][/FONT]

Nhân chéo 2 phương trình ta suy ra:
[TEX] x^3 - y^3 = ( 4x - y)(y^2-5x^2) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^3 - y^3 = 4xy^2 - y^3 - 20 x^3 + 5x^2 y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 21x^3 - 4xy^2 - 5x^2 y =0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = 0 \\ 21 x^2-5xy - 4y^2 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow \left[ x= 0 \\ 4x = 7y \\ x= - 3y \right. [/TEX]
Thế vào phương trình (2) ban đầu.

 

[duynhan1]

3 [tex]\sqrt[4]{\frac12+8sin^2x}- \sqrt[4]{8sin^2x-\frac12} = 1[/tex]

[tex]\left{ a =\sqrt[4]{\frac12+8sin^2x} \\ b =\sqrt[4]{8sin^2x-\frac12} \right. [/tex]

[tex]\Rightarrow \left{ a^4 - b^4 =1 \\ a-b = 1 [/tex]
[tex] \Rightarrow a^4 - (a-1)^4 = 1 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4a^3 - 6a^2 + 4a - 2= 0 [/tex]
[TEX]\Leftrightarrow a = 1[/TEX]

5 [tex]\left\{ \begin{array}{l} 1+xy+\sqrt{xy}=x \\ \frac{1}{x\sqrt{x}}+y\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{x}}+3\sqrt{y} \end{array} \right.[/tex]

*Điều kiện : [TEX]x>0,\ y \ge 0 [/TEX]

[TEX](hpt) \Leftrightarrow \left{ \frac{1}{x} + y + \sqrt{\frac{y}{x}} = 1 \\ \frac{1}{x\sqrt{x}} + y \sqrt{y} = \frac{1}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{y} \right. (I) [/TEX]

[TEX]Dat : \left{ a = \frac{1}{\sqrt{x}} \\ b = \sqrt{y} \right.[/TEX]. Ta có:

[TEX]\left{ a^2 + b^2 + ab = 1 \\ a^3 + b^3 = a+ 3b \right.[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+3b)(a^2+b^2+ab) = a^3 + b^3 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3 + 3b^3 + 4a^2b + 4ab^2 = a^3 + b^3 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ b = 0 \\ 4a^2 + 4ab + 2b^2 = 0 (vo\ nghiem)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y = 0 [/TEX](thỏa điều kiện xác định).

Thế vào hệ [TEX](I)[/TEX], ta có :
[TEX]\left{ \frac{1}{x} = 1 \\ \frac{1}{x\sqrt{x} }= \frac{1}{\sqrt{x}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=1[/TEX](thỏa điều kiện xác định)

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là :
[tex]\left{x = 1 \\ y= 0 \right. [/tex]

 

[subaby9x]

8.[TEX] \ \ \ [/TEX]

9. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[trydan]

10. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[valdes]

giúp mình giải 2 con này với
8.
[tex]\Large \blue x-4 = \frac{x^2}{(\sqrt{1+x}+1)^2[/tex]

Điều kiện: [TEX]x \ge 4[/TEX]

Đặt [TEX]\sqrt{1+x}=t (t\geq\sqrt{5})[/TEX] . Phương trình đã cho trở thành:
[TEX]t^2-5=\frac{(t^2-1)^2}{(t+1)^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t^2-5=(t-1)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t=3(thoa) \\ \Leftrightarrow x = 8[/TEX]

 

[vipbosspro]

đề thi thử đh

11.

 

[duynhan1]

giải hệ phương trình sau
[TEX]\left\{\begin{y^3+y=x^3+6x^2+13x+10}\\{\sqrt{4-x^2}=\sqrt{y}+\sqrt{4-y}-1[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow y^3 + y = (x+2)^3 + x+2 [/TEX]
Điều kiện : [TEX] |x| \le 2 [/TEX]

[TEX]f(t) = t^3 + t [/TEX] đồng biến nên :
[TEX](1) \Leftrightarrow y = x+ 2[/TEX]. Thế vào (2) ta có :
[TEX]\sqrt{4-x^2} = \sqrt{x+2} + \sqrt{2-x} - 1(2')[/TEX]

Đặt [TEX]t = \sqrt{x+2} + \sqrt{2-x} ( 0\le t \le 2\sqrt{2} ) \Rightarrow t^2 = 4 +2 \sqrt{4-x^2}[/TEX]. Ta có :

[TEX]t^2 - 4 = 2t - 2 \Leftrightarrow t^2 - 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ t = 1 + \sqrt{3} (thoa) \\ t = 1 - \sqrt{3} (loai) [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 2\sqrt{4-x^2} = (1+\sqrt{3})^2 - 4 = 2\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow x^2 = 1 \\ \Leftrightarrow x = \pm 1 (thoa\ dieu\ kien\ ) [/TEX]

[TEX]TH1: \ x= 1 \Rightarrow y = 3 [/TEX]
[TEX]TH2: \ x= -1 \Rightarrow y = 1 [/TEX]

[TEX] \Huge \fbox{S=\{ (1;3) ; (-1;1) \} }[/TEX]

 

[quyenuy0241]

10.
Giải bất phương trình

[TEX]Dieu\ kien: x \ge 0[/TEX]

[TEX](bpt) \Leftrightarrow (x+1)^2 - 3\sqrt{x} . (x+1) -x >0 [/TEX]

Đặt [TEX]\left{ a= x+1 \\ b = \sqrt{x} \right. \Rightarrow a > b>0[/TEX].
Ta có bất phương trình tương đương với:

[TEX]a^2 - 3ab - b^2 > 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \( a - \frac{3+\sqrt{13}}{2} b\) \( a - \frac{3-\sqrt{13}}{2} b\) > 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a >\frac{3+\sqrt{13}}{2} b [/TEX]( do [TEX] a - \frac{3-\sqrt{13}}{2} b>0[/TEX] )

 

[lagrange]

12.[TEX] \ \ \ [/TEX]

13. [TEX]\ \ \ [/TEX]

14.
[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

15. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[giaosu_fanting_thientai]

12.

Điều kiện : [TEX]x \ge - 1[/TEX]

Ta có :
[TEX]4\sqrt[4]{54(x+1)}\\ = 4 \sqrt[4]{3.3.3(2x+2)} \\ \le 2x +2 + 3 + 3 +3 = 2x+11 \ \ \ \ \ (1) [/TEX]

Xét hiệu :
[TEX](8x^3+16x^2-20x+17) - (2x+11) \\ = 2(x+3)(2x-1)^2 \ge 0 (do x\ge -1) \\ \Rightarrow8x^3+16x^2-20x+17 \ge 2x+11 \ \ \ \ \ (2)[/TEX]

Từ [TEX](1) &(2)[/TEX] ta có :
[TEX]VT \ge VP [/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
[TEX]\left{ 2x +2 = 3 \\ 2x-1= 0 \right. \Leftrightarrow x = \frac12[/TEX]

 

[duynhan1]

Giải phương trình
14/[tex]\left\begin\{x^3+2y^2=x^2y+2xy\\{2\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2}[/tex]

[TEX]DK : x^2 \ge 2y+1 [/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow \left[ x= y \\ x^2 = 2y (loai\ do \ dieu\ kien)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x= y [/TEX].
Thế vào (2) ta có :
[TEX]2\sqrt{x^2 - 2x - 1 } + \sqrt[3]{x^3 - 14} = x-2 [/TEX]

Ta sẽ chứng minh :
[TEX]\sqrt[3]{x^3-14} \ge (x-2) [/TEX]

[TEX]x^3 - 14 \ge x^3 - 6x^2 + 12 x - 8 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 6(x^2-2x-1) \ge 0 ( dung\ do \ dieu\ kien\ )[/TEX]

Các bước trên có thể thay bằng bước nhân lượng liên hợp

[TEX]\Rightarrow VT \ge VP [/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow x^2 -2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2} [/TEX]

Kết luận : [TEX]S=\{ (1+\sqrt{2} ; 1+\sqrt{2}) ; (1-\sqrt{2} ; 1-\sqrt{2}) \}[/TEX]