[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[nhockthongay_girlkute]

16. [TEX]\ \ \ [/TEX]

17.
[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]16.GBPT:: \sqrt{2x^2-6x+8}-\sqrt{x}\leq x-2[/TEX]

[TEX]Dieu\ kien : \left\{ x\ge 0 \\ 2x^2 - 6x + 8 \ge 0 (luon\ dung) \right. \Leftrightarrow x\ge 0 (*)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ x + \sqrt{x} - 2 \ge 0(1) \\ 2x^2 - 6x + 8 \le (x-2)^2 + x + 2\sqrt{x}(x-2) (2)[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow \sqrt{x} \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 1 [/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow x^2 - 3x + 4 \le 2\sqrt{x} (x-2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-2)^2 + x \le 2\sqrt{x} (x-2) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ( x- 2 - \sqrt{x} ) ^ 2 \le 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x - 2 = \sqrt{x} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x =4 (thoa\ dieu\ kien)[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

18.

 

[lagrange]

18.

[tex]\left\begin\{(y+\frac{x}{2})^2+\frac{3x^2}{4}=3\\{\frac{3z^2}{4}+(y+\frac{z}{2})^2=16}[/tex]

Xét:
[tex]\vec{a}=(y+\frac{x}{2};\frac{\sqrt{3}x}{2})[/tex]
[tex]\vec{b}=(\frac{\sqrt{3}z}{2};y+\frac{z}{2})[/tex]
[tex]\vec{a}.\vec{b}={\frac{\sqrt{3}}{2}}(xy+yz+zx)[/tex]

Ta có:
[tex]|\vec{a}|=\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]|\vec{b}|=\sqrt{y^2+yz+z^2}=\sqrt{16}[/tex]

Áp dụng B Đ T:[tex]|\vec{a}.\vec{b}| \le |\vec{a}|.|\vec{b}|[/tex]
[tex]\Rightarrow{\frac{\sqrt{3}}{2}}(xy+yz+zx) \le \sqrt{3}.4[/tex]
[tex]\Rightarrow xy+yz+zx \le 8(dpcm)[/tex]

 

[subaby9x]

19. [TEX]\ \ \ [/TEX]

20. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[nhocngo976]

giải hộ tớ với:


20. [TEX]x + \sqrt{ 4 - x^2} = 2 + 3x\sqrt{4- x ^2}[/TEX]

Điều kiện: [TEX]|x| \le 2[/TEX]

[TEX]Dat\ x+\sqrt{4-x^2}=t[/TEX]

[TEX]Ta\ co\ x\sqrt{4-x^2}=\frac{t^2-4}{2}[/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow 3t^2-2t-8=0 \Leftrightarrow \left{\begin{t=2 \\t=\frac{-4}{3}[/TEX]

 

[duynhan1]

giải hộ tớ với:

19. [TEX]3(2 + \sqrt{x - 2}) = 2x + \sqrt{ x + 6} [/TEX]

[TEX]Dieu\ kien\ :\ x \ge 2 [/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow (3 \sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}) = 2(x-3) [/TEX]

[TEX] \frac{8.(x-3)}{3\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} } = 2(x-3) [/TEX]

[TEX]\left[ x= 3 \\ \frac{4}{3\sqrt{x-2}+ \sqrt{x+6} } = 1 \ (2) [/TEX]

Giải (2):
[TEX] 3\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 4 \\ \Leftrightarrow 10 x -12 + 6 \sqrt{x-2} \sqrt{x+6} = 16 \\ \Leftrightarrow 14 -5x = 3\sqrt{x^2 +4x-12} \\ \Leftrightarrow \left{ 14-5x \ge 0 \\ 4x^2 - 17x +22 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow x = \frac12 ( 11- 3\sqrt{5})[/TEX]
Kết luận : [TEX]S=\{3\ ; \frac12 ( 11- 3\sqrt{5}) \}[/TEX]

 

[duynhan1]

9.
[tex]\Large \blue \sqrt{7-x^2 + x \sqrt{x+5} }= \sqrt{3-2x-x^2}[/tex]

[TEX](pt) \Leftrightarrow \left{ 3 - 2x - x^2 \ge 0 (1) \\ 7- x^2 + x \sqrt{x+5} = 3 - 2x - x^2 (2) [/TEX]

[TEX] (1) \Leftrightarrow -3 \le x \le 1 \\ [/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow - 4 - 2x = x \sqrt{x+5} (2')[/TEX]

[TEX]DK : x \ge - 5 [/TEX]. Kết hợp với (1) ta có : [TEX]{-3 \le x \le 1} [/TEX]

Trường hợp 1:
[TEX]0 \le x \le 1 \\ \Rightarrow VT < 0 \\ VP \ge 0 \Rightarrow Vo\ nghiem[/TEX]

Trường hợp 2: [TEX]{-3 \le x < 0 [/TEX], ta có :
[TEX](2') \Leftrightarrow \left{ -4 - 2x \le 0 \\ 4x^2 + 16 x + 16 = x^3+5x^2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ x= \pm 4 (loai) \\ x= - 1 (thoa\ dieu\ kien)[/TEX]

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là [TEX]x=1[/TEX]

 

[doigiaythuytinh]

[TEX] [TEX]17.GHPT ::\left{log_2\frac{x}{y}=y-x\\{\sqrt{log_2x}-log_28y+1=0[/TEX]

[TEX](1)\Leftrightarrow log_{2}x - log_{2}y = y-x[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \log_{2}x + x = log_{2}y + y (1')[/TEX]

Xét hàm số [TEX]f(t) = log_{2}t + t \forall t > 0 [/TEX]. Dễ dàng suy ra hàm số f(t) đồng biến [TEX]\forall t>0[/TEX]
[TEX](1') \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow x=y [/TEX]

Thay vào [TEX](2)\Rightarrow \sqrt{log_{2}x} - log_{2}8x + 1 = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \ sqrt{log_{2}x} - 3.log_{2}x + 1 = 0[/TEX]

 

[mika_tmc]

21.
[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[nhocngo976]

21.
Giải PT Lượng giác
[TEX]cosx. cot^2 (\frac{pi}{4}-\frac{x}{2}) = 2-2sinx - cosx[/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow cosx(1+cot^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})=2(1-sinx)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{cosx}{sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}) }=2(1-sinx)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{cosx}{1-cos(\frac{\pi}{2}-x) }=1-sinx[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cosx=(1-sinx)^2[/TEX]

 

[subaby9x]

22.[TEX] \ \ \ [/TEX]

 

[lucky_star93]

23.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[doigiaythuytinh]

không biết bài này có trùng không?

giải hệ pt
[TEX]x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y} [/TEX]
[TEX] 2y=x^3+1[/TEX]


mình biến đổi đến x=y và xy= -1 rồi
trường hợp xy = -1 .giải pt bậc 4 ,mình giải ko được=((

Đặt [TEX]f(t) = t -\frac{1}{t}[/TEX] \Rightarrow [TEX]f'(t) > 0[/TEX]
\Rightarrow hàm đb
\Rightarrow pt (1) \Leftrightarrow [TEX]x =y[/TEX]
Thay vô (2): [TEX]x^3 - 2x +1 =0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x-1) (x^2 +x -1) =0[/TEX]

@Không có bậc 4 ?? Khong biết em có nhầm ko ^^
@ vivietnam:bạn ấy dùng biến đổi tương đương nên sẽ xuất hiện trường hợp xy=-1 và sẽ ra pt bậc 4.ta có thể chứng minh trong th này hệ vô nghiệm

 

[vivietnam]

không biết bài này có trùng không?

giải hệ pt
[TEX]x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y} [/TEX]
[TEX] 2y=x^3+1[/TEX]


mình biến đổi đến x=y và xy= -1 rồi
trường hợp xy = -1 .giải pt bậc 4 ,mình giải ko được=((

xét hàm số [TEX]f(t)=t-\frac{1}{t}[/TEX]
[TEX]f'=1+\frac{1}{t^2}>0[/TEX]
vậy hàm số đồng biến trên TXD
\Rightarrow[TEX]f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y[/TEX]
\Rightarrowhệ thành [TEX]x^3-2x+1=0[/TEX]
phương trình này có 1 nghiệm đẹp là x=1
từ đó dễ dàng tìm dược 2 nghiệm còn lại
(ta có thể chứng mình trường hợp xy=-1 như ở trên vô nghiệm)

P/s:
+Mọi người theo dõi để đánh số bài.
+Đối với mod, chèn đề bài mới + lời giải mới vào #2 để tiện theo dõi, đối với bài có 2 cách khác nhau thì dẫn link cả 2, còn giống nhau thì bài nào trình bày đẹp hơn thì lấy

 

[silvery21]

xét hàm số [TEX]f(t)=t-\frac{1}{t}[/TEX]
[TEX]f'=1+\frac{1}{t^2}>0[/TEX]
vậy hàm số đồng biến trên TXD
\Rightarrow[TEX]f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y[/TEX]
\Rightarrowhệ thành [TEX]x^3-2x+1=0[/TEX]
phương trình này có 1 nghiệm đẹp là x=1
từ đó dễ dàng tìm dược 2 nghiệm còn lại
(ta có thể chứng mình trường hợp xy=-1 như ở trên vô nghiệm)

Đặt [TEX]f(t) = t -\frac{1}{t}[/TEX] \Rightarrow [TEX]f'(t) > 0[/TEX]
\Rightarrow hàm đb
\Rightarrow pt (1) \Leftrightarrow [TEX]x =y[/TEX]
Thay vô (2): [TEX]x^3 - 2x +1 =0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x-1) (x^2 +x -1) =0[/TEX]

2 bạn đều mắc sai lầm

[TEX]f(t) = t -\frac{1}{t}[/TEX]

[TEX]f'(t) > 0[/TEX] với mọi t thuộc R nhưng f(t) gián đoạn tại t = 0 vì thế đã bỏ qua trường hợp xy=-1 mdu` nó Vô nghiệm

cm VN nhe' ( b đổi pt 1 theo nhân tử chung để => 2 trường hợp x=y; xy=-1)

[TEX]\begin{array}{l} {x^4} + x + 2 = 0 \\ < = > {({x^2} - \frac{1}{2})^2} + {(x + \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{2} = 0............vn \\ \end{array}[/TEX]

 

[valdes]

22. [TEX]\sqrt{ 2x^2 + 8x + 6} + \sqrt{ x^2 -1} = 2x + 2[/TEX]

Điều kiện xác định [TEX]\left[\begin{x\geq1}\\{x\leq-3}\\{x=-1} [/TEX]
dễ thấy x=-1 là nghiệm. Biến đổi phương trình thành
[TEX]\sqrt{2x+6}+\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+1}[/TEX]

TH trên chỉ ứng với TH x >=1 còn x<=-3 thì phải đổi dấu

Bình phương 2 vế, với điều kiện [TEX]x\geq1[/TEX] ta được
[TEX]2\sqrt{2x^2+4x-6}=x-1[/TEX]. Tiếp tục bình phương với [TEX]x\geq1[/TEX] được
[TEX]7x^2+18x-25=0[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{x=1}\\{x=\frac{-25}{7}} [/TEX]
loại [TEX]x=\frac{-25}{7}[/TEX]
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-1 và x=1

 

[duynhan1]

24. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[vanglai]

[TEX]\fbox{24.} \\ \Large \sqrt{2x^2-1} + \sqrt{x^2- 3x+2}=\sqrt{2x^2+2x + 3} + \sqrt{x^2-x+6} [/TEX]

Điều kiện:
[TEX]\left{ 2x^2\geq1\\x^2-3x+2\geq 0 \right. (*) [/TEX]

[TEX] (pt)\Leftrightarrow \frac{-2x-4}{\sqrt[2]{2x^2-1}+\sqrt[2]{2x^2+2x+3}}= \frac{2x+4}{\sqrt[2]{x^2-3x+2}+\sqrt[2]{x^2-x+6}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x = - 2 (\ thoa\ man\ dieu\ kien\ (*) \)[/TEX]

 

[rua_it]

25. [TEX]\ \ \ [/TEX]