[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[nhoc_maruko9x]

Giả bất phương trình:

[TEX](31+8\sqrt{15})^x+2(4-\sqrt{15})^x\leq3[/TEX]

[tex]31 + 8\sqr{15} = (4+\sqr{15})^2[/tex]

[tex]4-\sqr{15} = \fr{1}{4+\sqr{15}}[/tex]

[tex]t = 4+\sqr{15} \Rightarrow t^{2x}+2\fr{1}{t^x}-3\leq 0 \Rightarrow (t^x)^3 -3t^x +2 \leq 0 \Rightarrow (t^x+2)(t^x-1)^2 \leq 0\Rightarrow t^x = 1 \Rightarrow x = 0[/tex]

Giải BPT mà thành giải PT thế này. Không biết có sai chỗ nào không.

 

[bunny147]

Giả bất phương trình:

[TEX](31+8\sqrt{15})^x+2(4-\sqrt{15})^x\leq3 (1) [/TEX]

Đặt
[TEX] (4+\sqrt{15})^x = t ( t > 0 ) [/TEX]

(1) \Leftrightarrow [TEX]t^2 + \frac{2}{t} \leq 3 [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]t^3 -3t + 2 \leq 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX](t -1)^2(t+2) \leq 0[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX] t = 1 [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX](4+\sqrt{15})^x = 1 [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]x = 0 [/TEX]

Lại gửi lên rồi mới thấy đã có người làm, chán kinh =.=

 

[nhocngo976]

[TEX]\sqrt{5x^3+3x^2+3x-2}=\frac{x^2}{2}+3x-\frac{1}{2}[/TEX]

tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt

[TEX]\sqrt{x^2+mx+2}-1=2x[/TEX]

 

[bananamiss]

[TEX]\sqrt{5x^3+3x^2+3x-2}=\frac{x^2}{2}+3x-\frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2+x+1)-2\sqrt{(x^2+x+1)(5x-2)}+5x-2 =0 \\ \Leftrightarrow ( \sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{5x-2})^2=0 [/TEX]

@ chị ngố : ở pic này cũng có 1 bài dạng thế này mà . Chính em post đề )

 

[gaconthaiphien]

Giải hệ pt:

[TEX]\left{ \begin{3y(9y^2+1)=(x-2y+1)\sqrt{x-2y}\\ \sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2[/TEX]

 

[bunny147]

Giải hệ pt:

[TEX]\left{ \begin{3y(9y^2+1)=(x-2y+1)\sqrt{x-2y} (1)\\ \sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2 (2) [/TEX]

ĐK : x - 2y \geq 0 ; y \geq 0

+) Xét hàm số [TEX]f(t) = t^3 + t [/TEX]
[TEX]f'(t) = 3t^2 + 1[/TEX] đồng biến trên [TEX] [ 0 ;+ \infty )[/TEX]

\Rightarrow (1) \Leftrightarrow [TEX]f(3y) = f(\sqrt{x -2y})[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]3y = sqrt{x -2y}[/TEX] (*)
Thay vào (2)
\Leftrightarrow [TEX]x + 3y = 4 \Leftrightarrow x = 4 - 3y [/TEX]
Thay vào (*)
\Leftrightarrow [TEX] 9y^2 = 4 - 5y [/TEX]


[tex] y = \frac{4}{9} [/tex]

[tex] y = -1 [/tex] (loại)
=> x ....

 

[nhocngo976]

[TEX]\huge 83\\\\, \sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x} \ge \frac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}[/TEX]

giải hết luôn nhé mọi người )

 

[duynhan1]

tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt

[TEX]\sqrt{x^2+mx+2}-1=2x[/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow \left{ x \ge - \frac12 \\ x^2 + mx + 2 = (2x +1)^2 \right. \Leftrightarrow \left{ x \ge - \frac12 \\ 3x^2 + ( 4-m)x - 1 = 0 (2) [/TEX]

[TEX](ycbt) \Leftrightarrow Phuong\ trinh\ (2) \ co\ 2 nghiem\ phan\ biet\ lon\ hon\ hoac\ bang\ - \frac12 \\ \Leftrightarrow \left{ \Delta>0 \\ (x_1+ \frac12)(x_2+\frac12) \ge 0 \\ (x_1+\frac12) + ( x_2 + \frac12) \ge 0 [/TEX]

 

[dangthithanhlam]

hệ phương trình siêu khó

[tex]\left\{ \begin{array}{l} 2x^2+3xy=3y-13\\ 3y^2+2xy=2x+14 \end{array} \right.[/tex]

 

[ngomaithuy93]

[tex]\left\{ \begin{array}{l} 2x^2+3xy=3y-13\\ 3y^2+2xy=2x+14 \end{array} \right.[/tex]

Nhân vế với vế:
[TEX](2x^2+3xy)(2x+14)=(3y^2+2xy)(3y-13)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^3+6x^2y-6xy^2-9y^3=-28x^2-68xy-39y^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (2x+3y)(2x^2-3y^2)=(2x+3y)(-14x-13y)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{2x+3y=0(1)}\\{2x^2-3y^2=-14x-13y(2)}[/TEX]
* Thay (1) vào pt thứ nhất bđ:
[TEX] (1) \Rightarrow \left{{y=\frac{13}{3}}\\{x=\frac{-13}{2}}[/TEX]
* Trừ vế với vế 2 pt bđ:
[TEX] \Rightarrow 12x+16y-xy-27=0 \Leftrightarrow [/TEX]
Thế nào nữa nhỉ?

 

[nhatminhb5]

phương trình này giải sao đây?

Giải dùm phương trình này cho mình với:

[TEX]2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2 [/TEX]

thanks nhiều...

 

[nhocngo976]

Giải dùm phương trình này cho mình với:

[TEX]2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2 [/TEX]

thanks nhiều...

[TEX]DK: x^2 \ge 2x+1[/TEX]

ta có:[TEX]\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^3-14} \ge x-2 \\\\ \Leftrightarrow x^3-14 \ge x^3-6x^2+12x-8 \\\\ \Leftrightarrow 6(x^2-2x-1) \ge 0 \ ( luon \ dung \ do \ DK \ )\\\\ ---> VT \ge VP ---> dau '' ='' \Leftrightarrow x^2-2x-1=0 [/TEX]

 

[duongtruc92]

mình cũng hỏi tương tự với dạng bài đặt ẩn phụ đối xứng để đưa về hệ đối xứng loại 2, phân tích như thế nào để sau đó ta đưa về đưọc 1 hệ đối xứng loại hai ví dụ như bài sau:
[TEX]4x^2+\sqrt[]{3x+1}+5=13x[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]4x^2+\sqrt[]{3x+1}+5=13x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4x ^2 - 13 x + 5 = -\sqrt{3x+1}[/TEX].
Đặt [TEX]{-}\sqrt{3x+1} = ay + b [/TEX] thì ta có :
[TEX]\left{ a^2y^2 + 2ab y + b^2= 3x+1 \\ 4x^2 - 13 x + 5 = - (ay+b) [/TEX]

Trừ vế theo vế thì ta có :
[TEX](4x^2 - a^2y^2) + (a- 2ab)y - 10 x + b+ 5 - b^2 + 1 = 0 [/TEX]

Một cách tự nhiên ta muốn chọn a, b thỏa :
[TEX]\left{{ a^2 = 4 \\ a-2ab = \pm 10 \\ -b^2 + b + 6 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \left{ a = 2 \\ b = 3 \right. \\ \left{ a = 2 \\ b = -2 \right. \\ \left{ a = -2 \\ b = 3 \right. \\ \left{ a = -2 \\ b = - 2 \right. \right. [/TEX]

Bạn có thể đặt ẩn phụ cho bất kỳ cách nào trong 4 cách trên

----------------------------

Em quên bỏ dấu "-" đầu tiên trong {} nên nó hiển thị LaTeX bị sai kìa.

 

[duongtruc92]

còn ý trên nữa mấy bạn?
các bạn chỉ cho mình cách phân tích để đặt ẩn phụ
giả sử mình có phương trình như sau:
[TEX]2(3x+1)\sqrt[]{2x^2-1}=10x^2+3x-6[/TEX]
để giải bài này thì cần phân tích vế phải của phuông trình như sau:
[TEX]2(3x+1)\sqrt[]{2x^2-1}=4(2x^2-1)+2x^2+3x-2[/TEX]
đặt [TEX]t=\sqrt[]{2x^2-1}[/TEX]
phương trình trở thành [TEX]4t^2-2(3x+1)t+2x^2+3x-2=0[/TEX]
tính denta[TEX]=(x-3)^2[/TEX]
từ đó ta giải được [TEX]t=\frac{2x-1}{2}[/TEX] và [TEX]\frac{x+2}{2}[/TEX]
điểm mấu chốt ở đây là ở dòng mình tô đỏ. làm sao để phân tích được vp để khi ta đưa về phương trình bậc 2 theo t với x là tham số thì biệt thức denta là hữu tỉ (ta mới lấy căn bậc hai được) bởi vì thực tế ở vp có vô số cách phân tích khác nhau để có nhân tử dưới dấu căn bên kia.

Có lẽ ta thử từng cách : Chú ý ở hệ số của t không đổi ta phân tích thành hệ số của t^2 và hệ số tự do sao khi trừ ra nó là : 1; 2;4;9;16 .. như vậy cơ hội để phân tích delta có dạng bình phương sẽ cao hơn!

 

[nhocngo976]

82 . [TEX] \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[nhocngo976]

83.[TEX] \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[duynhan1]

thêm 1 câu

[TEX]\huge 84. \ \sqrt{x-3}+\sqrt{5-x} \ge x^2-8x+18[/TEX]

[TEX]VT \le 2 \\ VP \ge 2 \\ \Rightarrow x=4[/TEX] .

 

[bananamiss]

giúp

[TEX]\huge 9x^2+8x-32 \ge 16\sqrt{-2x^2+8}[/TEX]

[TEX]DK : \left{9x^2+8x-32 \geq 0 \\ -2x^2+8 \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 \geq x \geq \frac{\sqrt{304}-4}{9}[/TEX]

cứ bình phương 2 vế lên :|, chịu khó nhân ra 1 tí =((

[TEX]\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow 81x^4+144x^3-512x-1024 \geq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 81x^4+144x^3+64x^2 \geq 64x^2+512x+1024[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (9x^2+8x)^2 \geq (8x+32)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (9x^2+8x)^2-(8x+32)^2 \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (9x^2-32)(9x^2+16x+32) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 9x^2-32 \geq 0 \Leftrightarrow...[/TEX]

 

[mercury264]

Giải bất phương trình

84.[TEX] \ \ \ \ [/TEX]