[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[duynhan1]

102.
[TEX]2(x-2)(\sqrt[3]{4x-4} + \sqrt{2x-2})=3x-1[/TEX]

...... .

Nhẩm nghiệm x=3.

[TEX]DK: x \ge 1[/TEX]

Ta nhận thấy : [TEX]VP \ge 2 \Rightarrow x-2 > 0 \Leftrightarrow x > 2 [/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow2(x-2) ( \sqrt[3]{4x-4} - 2 + \sqrt{2x-2} -2 ) = 15-5x [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2(x-2) \left( \frac{ 4x - 12}{(\sqrt[3]{4x-4} )^2 + 2 \sqrt[3]{4x-4} + 4 } + \frac{2x-6}{\sqrt{2x-2} + 2} ) = 15 -5 x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=3[/TEX] ( cái còn lại vô nghiệm do [TEX]x > 2[/TEX])

 

[bananamiss]

.. ...

1,

[TEX]\huge DK: \ x \geq \frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]\huge \Leftrightarrow \sqrt{4x-1}-1=-\sqrt{4x^2-1}[/TEX]

[TEX]\huge \Leftrightarrow \frac{4x-2}{\sqrt{4x-1}+1}=-\sqrt{4x^2-1}[/TEX]

[TEX]\huge \Leftrightarrow \left[ x=\frac{1}{2} \\ \frac{2\sqrt{2x-1}}{\sqrt{4x-1}+1}=-\sqrt{2x+1} \Leftrightarrow 2\sqrt{2x-1}=-\sqrt{2x+1}=0[/TEX]



5,

[TEX]\huge \Leftrightarrow \sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=(3\sqrt{x+2}-9)-(\sqrt{x+6)(2x-1)}-13)[/TEX]



[TEX]\huge \Leftrightarrow \frac{2(x+4)(x-7)}{\sqrt{(x+2)(2x-1)}+3\sqrt{x+6}}=\frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3}-\frac{(2x+25)(x-7)}{\sqrt{(x+6)(2x-1)}-13[/TEX]



nhìn muốn xỉu quá , sao nữa ..





2,



[TEX]\huge \Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}-4=x^2-5x[/TEX]

[TEX]\huge \Leftrightarrow \frac{4x}{\sqrt{x+1}+1}=x(x-5)[/TEX]

[TEX]\huge \Leftrightarrow \left[ x=0 \\ 4=(\sqrt{x+1}+1)(x-5)=0 \ (*)[/TEX]

[TEX]\huge (*) \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{x+1}+(x+1)-6\sqrt{x+1}-10=0[/TEX]

[TEX]\huge \sqrt{x+1}=a , \ pt \Leftrightarrow a^3+a^2-6a-10=0[/TEX]

dùng Cardano thôi



4,



[TEX]\huge \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{x+1}-2(x+1)+\sqrt{x+1}+1=0[/TEX]

[TEX]\huge \sqrt{x+1}=a , \ pt \Leftrightarrow a^3-2a^2+a+1=0[/TEX]

Cardano

 

[duynhan1]

.. ...

3.
[TEX]\left{ a= \sqrt{x^2+2x} \\ b = \sqrt{2x-1} \right. \Rightarrow a+ b = \sqrt{3a^2-b^2} [/TEX]

4.
[TEX]t= \sqrt{x+1} \Rightarrow (x+2) t = 3t^2 - (x+2) \\ \Leftrightarrow 3t^2 - (x+2) t - (x+2) = 0[/TEX]

Delta chắc chắn phải chính phương

 

[duytoan144]

.. ...

Câu 1)
ta thấy hàm [tex] \sqrt{4x-1}+\sqrt{4x^2-1} [/tex] là hàm đồng biến,nên pt có No duy nhất,đoán No x= 0,5.
Câu 4) [tex] (x+2)\sqrt{x+1}=2x+1 [/tex] (1)
điều kiện, [tex] x \geq -1 [/tex].
do [tex] \sqrt{x+1} \geq 0 [/tex] nên [tex] (2x+1)(x+2) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{-1}{2} [/tex].
bình phương 2 vế của (1),rút gọn ta được [tex] x^3+x^2+4x+3=0 [/tex].
ta thấy hàm [tex] f(x)=x^3+x^2+4x+3 [/tex] đồng biến, nên [tex] f(x) \geq f(-0,5)=1,125 >0 [/tex]. vậy pt vô nghiệm

 

[duytoan144]

Giải hệ pt:
1. [TEX]\left\{ \sqrt{11x-y}-\sqrt{y-x}=1 \\ 7\sqrt{y-x}+6y-26x=3 \right[/TEX]
2. [TEX]\left\{ x^3-3x^2=y^3-3y-2 \\ log_y(\frac{x-2}{y-1})+log_x(\frac{y-1}{x-2})=(x-3)^3 \right[/TEX]

 

[duynhan1]

Giải hệ pt:
1. [TEX]\left\{ \sqrt{11x-y}-\sqrt{y-x}=1 \\ 7\sqrt{y-x}+6y-26x=3 \right[/TEX]
2. [TEX]\left\{ x^3-3x^2=y^3-3y-2 (1) \\ log_y(\frac{x-2}{y-1})+log_x(\frac{y-1}{x-2})=(x-3)^3 \right (2) [/TEX]

1.Đặt :
[TEX]\left{ a = \sqrt{11x-y}\\ b= \sqrt{y-x} \right. [/TEX]. Ta có :
[TEX]6y-26x = -2a^2 + 4b^2[/TEX]( dùng hệ số bất định)

Việc còn lại khá đơn giản.

2.
Xét hàm [TEX]f(t) = t^3 - 3t - 2 \forall \ge 1 [/TEX] dễ dàng chứng minh f(t) đồng biến.
...

 

[duytoan144]

.. ...

Câu 5.
[TEX]\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}-4+\sqrt{(x+6)(2x-1)}-3\sqrt{x+2}=\sqrt{2x-1}(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})-3(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})-(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})(\sqrt{x+6}-\sqrt{x+2}) \\ =(\sqrt{x+6}+\sqrt{(x+2})(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+2}-\sqrt{x+6}-3) [/TEX].
vì [TEX]\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2} >0[/TEX]do đó:
[TEX]\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+2}-\sqrt{x+6}-3=0 \Leftrightarrow \frac{x-7}{\sqrt{x+2}+3}+\frac{x-7}{\sqrt{x+6}+\sqrt{2x-1}}=0 \Leftrightarrow x=7[/TEX]

 

[kiburkid]

*
[TEX]\left{\begin{(x+y).2^{y-x}=1}\\{(x+y)^{x-y}=2} [/TEX]

** Tìm m để hệ có nghiệm
[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+2(x+y)=2}\\{xy(x+2)(y+2)=m} [/TEX]

 

[giotsuong_93]

*
[TEX]\left{\begin{(x+y).2^{y-x}=1}\\{(x+y)^{x-y}=2} [/TEX]

** Tìm m để hệ có nghiệm
[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+2(x+y)=2}\\{xy(x+2)(y+2)=m} [/TEX]

câu1 sao đơn giản thế nhỉ k biết có sai chỗ nào k

[TEX]\left{\begin{(x+y).2^{y-x}=1}\\{(x+y)^{x-y}=2} [/TEX]=

[TEX]\left{\begin{(x+y).2^{-(x-y)}=1}\\{(x+y)^{x-y}=2} [/TEX]

=[TEX]\left{\begin{(x+y)=2^{(x-y)}}\\{(x+y)^{x-y}=2} [/TEX]

\Rightarrow [TEX]x-y=1[/TEX] thếo vào tìm đc y=1/2,x=3/2

 

[bananamiss]

** Tìm m để hệ có nghiệm
[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+2(x+y)=2}\\{xy(x+2)(y+2)=m} [/TEX]

[TEX]dat \ \left{ x(x+2)=a \\ y(y+2)=b [/TEX]

[TEX]\exists \ x, \ y \Rightarrow a \geq -1 \ , \ b \geq -1 [/TEX]

[TEX]hpt \Leftrightarrow \left{ a+b=2 \\ ab=m[/TEX]

a,b là nghiệm của pt

[TEX]t^2-2t+m=0[/TEX] (*)

hệ có nghiệm tương đương với pt (*) có 2 nghiệm đều lớn hơn hoặc bằng -1

[TEX]\Leftrightarrow \left{ t_1+t_2=2 \geq -1 \\ (t_1+1)(t_2+1) \geq 0 \Leftrightarrow t_1t_2+2(t_1+t_2)+1 \geq 0 \Leftrightarrow m+5 \geq 0[/TEX]

câu1 sao đơn giản thế nhỉ k biết có sai chỗ nào k

[TEX]\left{\begin{(x+y).2^{y-x}=1}\\{(x+y)^{x-y}=2} [/TEX]=

[TEX]\left{\begin{(x+y).2^{-(x-y)}=1}\\{(x+y)^{x-y}=2} [/TEX]

=[TEX]\left{\begin{(x+y)=2^{(x-y)}}\\{(x+y)^{x-y}=2} [/TEX]

\Rightarrow [TEX]x-y=1[/TEX] thếo vào tìm đc y=1/2,x=3/2

thiếu TH x+y=2
nhưng mà TH này loại

 

[kiburkid]

*** [TEX]x^2-4x-3=\sqrt{x+5}[/TEX]

**** [TEX](x+4)^2-6\sqrt{x^3+3x} = 13[/TEX]

 

[bananamiss]

*** [TEX]x^2-4x-3=\sqrt{x+5}[/TEX]

**** [TEX](x+4)^2-6\sqrt{x^3+3x} = 13[/TEX]

a,

[TEX]x \geq -5[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4x^2-16x-12=4\sqrt{x+5}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4x^2-12x+9=4(x+5)+4\sqrt{x+5}+1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (2x-3)^2=(2\sqrt{x+5}+1)^2[/TEX]

b,

[TEX]x \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+8x+16-6\sqrt{x(x^2+3)}-13=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+3-6\sqrt{x(x^2+3)}+9x=x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+3}-3\sqrt{x})^2=(\sqrt{x})^2[/TEX]

 

[duytoan144]

*** [TEX]x^2-4x-3=\sqrt{x+5}[/TEX]

**** [TEX](x+4)^2-6\sqrt{x^3+3x} = 13[/TEX]

***[tex] x^2-4x-3=\sqrt{x+5} \Leftrightarrow (x-2)^2-7=\sqrt{x+5}.[/tex]
đặt [tex] \sqrt{x+5}=y-2 [/tex], ta được hệ đối xứng..........
***[tex](x+4)^2-6\sqrt{x^3+3x}=13 \Leftrightarrow x^2+8x+3=6\sqrt{x^3+3x} \Rightarrow (x^2+8x+3)^2=36(x^3+3x) \Leftrightarrow x^4-20x^3+70x^2-60x+9=0 [/tex]. pt này có 2 No chẵn là 1 và 3.......xong

 

[duynhan1]

**** [TEX](x+4)^2-6\sqrt{x^3+3x} = 13[/TEX]

[TEX]\left{ a= \sqrt{x} \\ b = \sqrt{x^2+3} [/TEX]. Ta có :
[TEX]a^2 + 8b^2 - 6ab = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ a= 2b \\ a= 4b [/TEX]
Đến đây thì dễ rồi!

1 bài tập tương tự bài trên :-?
[tex] 7x^2+5x+9 = 5 \sqrt{x^3-1} [/tex]

 

[quangtiensv]

cần giúp đỡ bạn ơi!!!!!!!!!!!
[TEX]\left{ x^2+x +\frac{1}{y}(1+\frac{1}{y})=4\\ \frac{x}{{y}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{y}+\frac{1}{{y}^{3}}=4-{x}^{3}[/TEX]

[TEX]\left{x^2+y^2+x^2.y^2=1+2xy\\x+x^2.y+xy=x.y^2+y+1[/TEX]

[TEX]\left{x^4-4.x^2+y^2-6y+9=0\\x^2.y+x^2+2y-22=0[/TEX]

 

[doraemon_ctn]

làm giúp mình bài này với

giải phương trình:

 

[quangtiensv]

giải phương trình:

Giải:
xét f(x)=[TEX]e^x[/TEX]-1-ln(x+1)
f'(x)=[TEX]e^x[/TEX]- [TEX]\frac{1}{x+1}[/TEX]
f''(x)=[TEX]e^x[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{(x+1)^2}[/TEX] >0 \forallx
\Rightarrowf'(x) là hàm đồng biến f'(x)=0 có nghiệm duy nhất x=0
lập bảng biến thiên đối với hàm f(x)
từ bảng biến thiên ta thấy f(x)\geq0 \forallx
và f(x)=0 \Leftrightarrow x=0
vậy nghiệm là x=0
XEM XONG THÌ THANK GIÙM MÌNH NHA. CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT

 

[doraemon_ctn]

cho minh hoi them cau nua nhe

 

[qhoang1993]

[tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x}+\sqrt{y} = 4 \\\sqrt{x+5} + \sqrt{y+5} = 4\end{array} \right.[/tex]

Diễn đàn có chức năng sửa bài viết!

 

[vudinhphong]

[TEX] \left{{\sqrt{x}+\sqrt{y}=4}\\{\sqrt{x+4}+ \sqrt{y+4}=6} \right. \\ \Leftrightarrow \left{ {\sqrt{x+4}+\sqrt{x}+ \sqrt{y+4}+\sqrt{y}=10} \\{\sqrt{x+4}-\sqrt{x}+\sqrt{y+4}-\sqrt{y}=2}\right. \Leftrightarrow \left{ {\frac{5}{\sqrt{x+4}-\sqrt{x}}+\frac{5}{\sqrt{y+4}-\sqrt{y}}=10}\\{\sqrt{x+4}-\sqrt{x}+\sqrt{y+4}-\sqrt{y}=2}\right. \\ \Leftrightarrow\left{\begin{\frac{1}{ \sqrt{x+4}-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y+4}-\sqrt{y}}=2}\\{\sqrt{x+4}-\sqrt{x}+\sqrt{y+4}-\sqrt{y}=2}[/TEX]
Đặt
[TEX]\left{\begin{u=\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\\{v=\sqrt{y+4}-\sqrt{y}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\left{\begin{u+v=2}\\{\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=2} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left{\begin{u+v=2}\\{uv=1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow u=v=1 \Leftrightarrow[/TEX]x=y=4