[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[huutrang93]

cần giúp đỡ bạn ơi!!!!!!!!!!!
[TEX]\left{ x^2+x +\frac{1}{y}(1+\frac{1}{y})=4\\ \frac{x}{{y}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{y}+\frac{1}{{y}^{3}}=4-{x}^{3}[/TEX]

[TEX]\left{x^2+y^2+x^2.y^2=1+2xy\\x+x^2.y+xy=x.y^2+y+1[/TEX]

[TEX]\left{x^4-4.x^2+y^2-6y+9=0\\x^2.y+x^2+2y-22=0[/TEX]

Bài 1:
Đặt [TEX]x+1/y =a; x/y =b[/TEX]

Hệ tương đương

[TEX]a^2+a-2b=4[/TEX]
[TEX]a(a^2-3b)+ab=4[/TEX]

Thế b từ phương trình 1 vào 2 là được

Bài 2:
Đặt [TEX]x-y=a; xy=b[/TEX]

Hệ tương đương

[TEX]a^2+b^2=1[/TEX]
[TEX]b(1-a)+a-1=0[/TEX]

Bài 3:
Đặt [TEX]x^2-2=a; y-3=b[/TEX]

Hệ tương đương

[TEX]a^2+b^2-4=0[/TEX]
[TEX]ab+4b+4a-8=0[/TEX]

 

[huutrang93]

Nhân 3 vào phương trình dưới rồi trừ vế theo vế, ta được

[TEX](x-1)^3-(y+2)^3=0 \Rightarrow x=y+3[/TEX]

Thế vào phương trình 2 là được

 

[duytoan144]

Giải hệ pt:
2. [TEX]\left\{ x^3-3x^2=y^3-3y-2 \\ log_y(\frac{x-2}{y-1})+log_x(\frac{y-1}{x-2})=(x-3)^3 \right[/TEX]

Các bạn giải bài này mình với,đừng để nó chìm vào quên lãng chứ.....

Đã giải đây rồi mà :-?

1.Đặt :
[TEX]\left{ a = \sqrt{11x-y}\\ b= \sqrt{y-x} \right. [/TEX]. Ta có :
[TEX]6y-26x = -2a^2 + 4b^2[/TEX]( dùng hệ số bất định)

Việc còn lại khá đơn giản.

2.
Xét hàm [TEX]f(t) = t^3 - 3t - 2 \forall \ge 1 [/TEX] dễ dàng chứng minh f(t) đồng biến.
...

 

[kiburkid]

[TEX]\left{\begin{x^3-3xy^2=18}\\{3x^2y-y^3=26} [/TEX]
.............................................

 

[doraemon_ctn]

co ban nao giai ho minh bai nay dc ko

tim m de pt co nghiem duy nhat:

cam on cac ban trc nha!

 

[nhocngo976]

[TEX]\left{\begin{x^3-3xy^2=18}\\{3x^2y-y^3=26} [/TEX]
.............................................

[TEX]\Leftrightarrow 26(x^3-3xy^2)=18(3x^2y-y^3)[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow 13x^3-39xy^2+27x^2y+9y^3=0(2)[/TEX]

[TEX]* y=0 ---->x=0 \ khong \ tm \ he \\\\ * y \ khac \ 0 ---->(2) \Leftrightarrow 13 \frac{x}{y})^3 -27( \frac{x}{y})^2 -39 \frac{x}{y}+9=0 \\\\ \Leftrightarrow \left[\begin{ \frac{x}{y}=3 \\ \frac{x}{y}=....[/TEX]

 

[duynhan1]

tim m de pt co nghiem duy nhat:

cam on cac ban trc nha!

Gợi ý:

• [TEX]x_o[/TEX] là nghiệm thì [TEX]1-x_o[/TEX] cũng là nghiệm
• Suy ra điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là [TEX]x_o = 1- x_o[/TEX]
• Từ đó suy ra giá trị của m.
• Thử lại với các giá trị của m, giá trị nào thỏa thì lấy.

 

[silvery21]

.

 

[duynhan1]

.

Nhân biểu thức dưới cho [TEX]\sqrt{3} [/TEX] rồi cộng lại ta có :

[TEX]x+\sqrt{3} \sqrt{1-x^2} + \sqrt{3} y + \sqrt{1-y^2} = 4[/TEX]

Theo BDT Bunhiacopxki ta có :
[TEX]x+\sqrt{3} \sqrt{1-x^2} \le \sqrt{(1+3)(x^2+1-x^2)} = 2 \\ y + \sqrt{3} \sqrt{1-y^2} \le \sqrt{(3+1)(y^2+1-y^2)} = 2 \\ \Rightarrow VT \le VP[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
[TEX]\left{ \frac{x}{1} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{3}} \\ \frac{y}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{1-y^2} }{1} [/TEX]

Thay vào hệ thì ta tìm được x, y.

Để đơn giản hơn, ta có thể lượng giác hóa.

 

[doraemon_ctn]

tim m de pt co nghiem
[TEX]3(\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2})=7x-m+2\sqrt{(4x+1).(3x-2)}[/TEX]
dat[TEX]t=\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}[/TEX]
thi [TEX]t\geq \sqrt{11/3}[/TEX] tai sao la vay,ban nao giai thich giup minh voi

 

[quangtiensv]

xét f(x)=[TEX]\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}[/TEX] ; f(x) liên tục trên nửa khoảng [[TEX]\frac{2}{3}[/TEX],+\infty)
f'(x)=[TEX]\frac{2}{\sqrt{4x+1}}[/TEX]+[TEX]\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}[/TEX] > 0 \forall x>[TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
do đó f(x) đồng biến trên [[TEX]\frac{2}{3}[/TEX],+\infty)
\Rightarrow f(x) \geq f([TEX]\frac{2}{3}[/TEX])=[TEX]\sqrt{\frac{11}{3}}[/TEX]

 

[duytoan144]

f'(x)=[TEX]\frac{2}{\sqrt{4x+1}}[/TEX]+[TEX]\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}[/TEX] > 0 \forall x\geq[TEX]\frac{2}{3}[/TEX]

thừa cái dấu "=" nơi [tex] x\geq \frac{2}{3} [/tex] kìa,phải cẩn thận chứ,hihi

 

[nhocngo976]

[TEX]\left{ a= \sqrt{x} \\ b = \sqrt{x^2+3} [/TEX]. Ta có :
[TEX]a^2 + 8b^2 - 6ab = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ a= 2b \\ a= 4b [/TEX]
Đến đây thì dễ rồi!

1 bài tập tương tự bài trên :-?
[tex] 7x^2+5x+9 = 5 \sqrt{x^3-1} [/tex]

ĐK x \geq1

[TEX]\Leftrightarrow 7(x^2+x+1)-2(x-1)=5\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)} \\\\ \Leftrightarrow 2\frac{(x-1)}{x^2+x+1} +5 \sqrt{\frac{x-1}{x^2+x+1}} -7=0 \\\\ dat: \sqrt{\frac{x-1}{x^2+x+1}}=t \ge 0 [/TEX]
)

 

[duytoan144]

Các bạn giúp mình giải các hệ sau với nhé
1.
[TEX]\left { x^2-12xy+20y^2=0 \\ ln(1+x)-ln(1+y)=x-y \right.[/TEX]

2. [TEX]\left {2x^2y+y^3=2x^4+y^6 \\ (x+2)\sqrt{y+1}=(x+1)^2 \right[/TEX]

 

[quangtiensv]

mình ko biết làm sao hết, hix!!!!!!!!!!!

[TEX]\sqrt{{x}^{2}+35} < 5x - 4 + \sqrt{{x}^{2}+24}[/TEX]

 

[duynhan1]

Các bạn giúp mình giải các hệ sau với nhé
1.
[TEX]\left { x^2-12xy+20y^2=0 \\ ln(1+x)-ln(1+y)=x-y \right.[/TEX]

[TEX]DK: \left{ x \ge -1 \\ y \ge -1 [/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow (x-10y)(x-2y) = 0[/TEX]

Thế vào (2) thì OK.
Chú ý khi thay x bởi 2y, 10y thì VT nghịch biến. VP đồng biến

mình ko biết làm sao hết, hix!!!!!!!!!!!

[TEX]\sqrt{{x}^{2}+35} < 5x - 4 + \sqrt{{x}^{2}+24}[/TEX]

Với [TEX]x<\frac45[/TEX] thì BPT vô nghiệm.

Với [TEX]x \ge \frac45[/TEX], ta có bất phương trình tương đương với :
[TEX]\sqrt{x^2+35}-6< 5(x-1) + (\sqrt{x^2+24}-5 ) \\ \Leftrightarrow (x^2-1) ( \frac{1}{\sqrt{x^2+35}+6} - \frac{1}{\sqrt{x^2+24}+5} )< 5(x-1) \\ \Leftrightarrow (x-1) \left( (x+1)( \frac{1}{\sqrt{x^2+35}+6} - \frac{1}{\sqrt{x^2+24}-5} \right) < 0 \ \ \ \ \ (1)[/TEX]

Do [TEX]x \ge \frac45[/TEX] nên ta có [TEX]x+1>0[/TEX]. Mà [TEX] \frac{1}{\sqrt{x^2+35}+6} - \frac{1}{\sqrt{x^2+24} }< 0[/TEX] nên ta có :
[TEX] (x+1)( \frac{1}{\sqrt{x^2+35}+6} - \frac{1}{\sqrt{x^2+24}+5})-5 <0 [/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow x-1>0 \Leftrightarrow x>1[/TEX]

 

[kjhgfdsal]

Giúp mình giải phương trình naỳ với moị người ơi
(3x+1).căn(2x^2-1)=5x^2 +3x/2-3

 

[bananamiss]

Giúp mình giải phương trình naỳ với moị người ơi
(3x+1).căn(2x^2-1)=5x^2 +3x/2-3

[TEX](3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow 40x^2+12x-24-8(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=0[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow 16(2x^2-1)-8(3x+1)\sqrt{2x^2-1}+(3x+1)^2=x^2-6x+9[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow (4\sqrt{2x^2-1}-3x-1)^2=(x-3)^2[/TEX]

 

[dat_nm93]

Giúp mình bài này

Giải pt:
[TEX]{2}^{y}+{2}^{\frac{1}{{y}^{2}}}=3[/TEX] với [TEX]\left\{\begin{matrix} y\neq 1 \\ y>0 \end{matrix}\right.[/TEX]

 

[kiburkid]

[TEX]a, x+x^{log_3{5}}=x^{log_3{8}}[/TEX]


[TEX]b,\left{\begin{(x-1)lg2+lg(2^{x+1}+1)<lg(7.2^x+12)}\\{log_x({x+2})>2} [/TEX]

[TEX]c,\left{\begin{x-2y-\sqrt{xy}=0}\\{\sqrt{x-1}-\sqrt{2y-1}=1} [/TEX]