Toán bất đẳng thức -cực trị

[Hoàng Quốc Khánh]

Bài 37:
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn:
[tex]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3[/tex]
Tìm Min:
P= [tex]\frac{y^2z^2}{x(y^2+z^2)}+\frac{x^2z^2}{y(x^2+z^2)}+\frac{y^2x^2}{z(y^2+x^2)}[/tex]

Đề thi TS 10 Chuyên Thái Bình 2017-2018 vòng 1
Ta có: $P=\sum \dfrac{1}{x(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2})}$

Đặt:$(\dfrac{1}{x}; \dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z})=(a,b,c)$

Khi đó: $P=\sum \dfrac{a}{b^2+c^2}=\sum \dfrac{a}{3-a^2}$

Ta chứng minh: $\dfrac{x}{3-x^2} \geqslant \dfrac{1}{2}x^2$

$\iff \dfrac{(x-1)^2.x.(x+2)}{2.(3-x^2)} \geqslant 0$ (BĐT này luôn đúng)

Do đó: $ P\geqslant \dfrac{1}{2} (a^2+b^2+c^2)=\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra: $\iff x=y=z=1 \square$

 

[Tony Time]

Mới ra lò^^
Bài 38( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Bà Rịa 2017-2018)
Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn [tex]a^2+b^2\geq 2[/tex]
Tìm Min P= [tex]a^2-ab-4+2b^2+\frac{1-2ab}{a^2}[/tex]
@Nguyễn Xuân Hiếu @tranvandong08 @Dương Bii @Hoàng Quốc Khánh @Ray Kevin........

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Mới ra lò^^
Bài 38( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Bà Rịa 2017-2018)
Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn [tex]a^2+b^2\geq 2[/tex]
Tìm Min P= [tex]a^2-ab-4+2b^2+\frac{1-2ab}{a^2}[/tex]
@Nguyễn Xuân Hiếu @tranvandong08 @Dương Bii @Hoàng Quốc Khánh @Ray Kevin........

Ra lò thì ăn :v
$2P=2a^2-2ab-8+4b^2+\dfrac{2-4ab}{a^2}
\\\Rightarrow 2P=(a-b)^2+a^2+b^2+\dfrac{2a^2b^2-4ab+2}{a^2}-8
\\\geq 0+2-8+\dfrac{2(ab-1)^2}{a^2}
\\\geq -6
\\\Rightarrow P \geq -3$
Dấu '=' khi $a=b=1$

 

[Dương Bii]

$T=a^2 +b^2 -ab -4 +b^2 +\frac{1-2ab}{a^2} = a^2 -ab+b^2 -4 +\frac{(ab-1)^2}{a^2} \geq a^2-ab+b^2 -4$ (3)
ta se tim Min $p=a^2-ab+b^2$ voi $a^2 +b^2 \geq 2$
dat $\frac{p}{2}=\frac{a^2-ab+b^2}{2} \geq \frac{a^2-ab+b^2}{a^2+b^2} =1-\frac{ab}{a^2+b^2}$ (1)
ta se tim Max $M= \frac{ab}{a^2+b^2}$ voi $a^2 +b^2 \geq 2$
$M= \frac{\frac{a}{b}}{(\frac{a}{b})^2 +1} => t^2M -t +M =0$
$\Delta = 1-4M^2 => \frac{1}{2}\geq M\geq -\frac{1}{2}$
$=> M\leq \frac{1}{2}$ (2)
(1)và (2) $=> \frac{p}{2}\geq 1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2} => p \geq 1$
Từ (3)
$=> T \geq 1-4 =-3$
p/s: Dài :3

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Dễ vậy ư? Vậy mà ngồi cả buổi k làm ra T_T

Haha :v. Bác có thi chuyên không :v. Bài này dự đoán điểm rơi $a=b=1$ cái $-ab$ nếu có $a^2b^2$ thì ngon mà ớ dưới đã có $a^2$ rồi thì chỉ việc nhân thêm $b^2$ nữa là ok :v. Cái nhân $2$ vào để xuất hiện $2ab$ nhóm nhân tử là ok :v

 

[Tony Time]

Haha :v. Bác có thi chuyên không :v. Bài này dự đoán điểm rơi a=b=1a=b=1a=b=1 cái −ab−ab-ab nếu có a2b2a2b2a^2b^2 thì ngon mà ớ dưới đã có a2a2a^2 rồi thì chỉ việc nhân thêm b2b2b^2 nữa là ok :v. Cái nhân 222 vào để xuất hiện 2ab2ab2ab nhóm nhân tử là ok :v

Lúc đầu định thi nhưng thôi vì nhiều lí do, còn lên tp HCM thì xa quá :v, dự đoán rồi nhưng không nghĩ tới cái (ab-1)^2 với lại thấy nó cũng tè le nên nghĩ a, b k bằng nhau

 

[Quân Nguyễn 209]

Dễ vậy ư? Vậy mà ngồi cả buổi k làm ra T_T

Tui cũng đồng cảnh ngộ
Suy nghĩ nát óc mà quên nhân thêm ...

 

[Tony Time]

Tui cũng đồng cảnh ngộ
Suy nghĩ nát óc mà quên nhân thêm ...

Bác cũng đụng bài này à :v, tui nhớ HCM có ra đâu ta

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 39
Chứng minh [tex]\frac{1}{sin\frac{A}{2}}[/tex] + [tex]\frac{1}{sin\frac{B}{2}}[/tex] + [tex]\frac{1}{sin\frac{C}{2}}[/tex] [tex]\geq[/tex] 6 với tam giác ABC bất kỳ
Bài 40
Chứng minh [tex]sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\leq\frac{1}{8}[/tex] với tam giác ABC bất kỳ
Bài 41 (Đề thi giữa kỳ 1 Trần Đại Nghĩa)
Chứng minh [tex]cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}[/tex] với tam giác ABC bất kỳ

Bác cũng đụng bài này à :v, tui nhớ HCM có ra đâu ta

P/s:Ý bác @Tony Time là ở TPHCM hổng có bđt hả ?! :v

 

[Tony Time]

P/s:Ý bác @Tony Time là ở TPHCM hổng có bđt hả ?!

À thôi kcj, hôm qua tui hiểu nhầm

P/s: Mấy bài này bác kiếm đâu thế

 

[Bonechimte]

Bài 42: Cho x,y,z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=1 tìm GTLN của A=√(8x^2+1)+√(8z^2+1)+√(8y^2+1)
mk cần gấp
lời giải chi tiết 1 chút nhé mk gà lắm

 

[Quân Nguyễn 209]

P/s: Mấy bài này bác kiếm đâu thế

Lớp đội tuyển ở trường đang học, thấy hay up lên lun =))
P/s: @Tony Time you có học chuyên ko you ? :v

 

[Quân Nguyễn 209]

Cho x,y,z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=1 tìm GTLN của A=√(8x^2+1)+√(8z^2+1)+√(8y^2+1)
mk cần gấp
lời giải chi tiết 1 chút nhé mk gà lắm

Đã giải đáp trong https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-tong-hop-cac-bai-tap-dai-so.210259/page-4#post-3132936 bởi @Nguyễn Xuân Hiếu
P/s: Bạn nhớ đánh số bài tập nhé =)
____Thân

 

[Tony Time]

P/s: @Tony Time you có học chuyên ko you ? :v

Ý bác là có thi vào trường chuyên không hay là thi hsg?

 

[Quân Nguyễn 209]

Ý bác là có thi vào trường chuyên không hay là thi hsg?

Cả hai lun

 

[Tony Time]

Cả hai lun

Không thi vào trường chuyên vì xa nhà( và lí do khác), có thi HSG toán, có giải tỉnh luôn đó nhá

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 43: (Tồn đọng)
Cho $1 \leq a,b,c \leq 3$ và $a+b+c=6$.
Chứng minh rằng: $a^3+b^3+c^3 \leq 36$

 

[Trịnh Hoàng Quân]

Bài 43: (Tồn đọng)
Cho 1≤a,b,c≤31≤a,b,c≤31 \leq a,b,c \leq 3 và a+b+c=6a+b+c=6a+b+c=6.
Chứng minh rằng: a3+b3+c3≤36

Cái bài này có bị sai không bạn, mình thấy nếu a=b=c=2 (t/m ĐK đề bài cho) thì giá trị nhỏ nhất phải là 24 chứ

 

[Tony Time]

Cái bài này có bị sai không bạn, mình thấy nếu a=b=c=2 (t/m ĐK đề bài cho) thì giá trị nhỏ nhất phải là 24 chứ

nếu a=1; b=2; c=3 thì vẫn đúng mà bạn

 

[Trịnh Hoàng Quân]

nếu a=1; b=2; c=3 thì vẫn đúng mà bạn

Đúng nhưng nếu a=b=c=2 thì có phải sẽ có một GT nhỏ hơn 36 không? Dạng này mình nghĩ chứng minh ra 36 phải là lớn nhất mới đúng