Toán bất đẳng thức -cực trị

[huonggiangnb2002]

biến đổi đến đây rồi bạn bunhia cho cái căn ý.

[tex]\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{x+(x+\sqrt{yz})}[/tex]
Như vậy sao bạn ? Đến đó rồi sao nữa nhỉ ??

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 28:
[tex]\sum \frac{x}{x+\sqrt{x+yz}} = \sum \frac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}} =\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}[/tex]
Áp dụng BĐT phụ : [tex]\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})[/tex]
Ta được:
[tex]\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \leq \frac{x}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}) = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{x}{4(x+y)}.\frac{x}{4(x+z)} }[/tex]
[tex]\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\frac{x}{4(x+y)}+ \frac{x}{4(x+z)})=\frac{1}{4} + \frac{1}{8}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})[/tex]

Hình như sai chỗ nào rồi ấy nhỉ ?? Chỗ áp BĐT phụ kia có vẻ sai sai, đẳng thức không xảy ra thì phải ??

Xét điểm rơi nhé :v.
$x=\dfrac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}$.
Tách đôi cái kia ra rồi xài bđt phụ 3 số nhé :v. Trình bày lại xem :v

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 29. (Thái Bình TST 2014) Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

Bài 30. Cho a,b,c,d là 4 số thực dương thỏa a+b+c+d=4,chứng minh:

Bài 31. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1, chứng minh:

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 29. (Thái Bình TST 2014) Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Khi đấy dpcm:
$\sum \dfrac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}
\\=\sum \dfrac{3a-a^2}{2a^2-6a+9} \leq \dfrac{6}{5}$
Ta đi chứng minh:
$\dfrac{3x-x^2}{2x^2-6x+9} \leq \dfrac{9}{25}x+\dfrac{1}{25}(\forall x \in
(0,\sqrt{3}))
\\\Leftrightarrow \dfrac{9(x-1)^2(2x+1)}{25(2x^2-6x+9)} \geq 0$
Hiển nhiên đúng.
Cộng vế theo vế sẽ có đpcm.

 

[huonggiangnb2002]

Bài 28:
[tex]\sum \frac{x}{x+\sqrt{x+yz}} = \sum \frac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}} =\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}[/tex]
[tex]=\sum \frac{x}{x+\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}+\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2} }[/tex]

Áp dụng BĐT phụ [tex]\frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
Ta được:
[tex]\frac{x}{x+\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}+ \frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}} \leq \frac{x}{9}(\frac{1}{x}+\frac{4}{\sqrt{(x+y)(x+z)}})=\frac{1}{9} + \sqrt{\frac{4x}{9(x+y)}.\frac{4x}{9(x+z)} } \leq \frac{1}{9}+\frac{1}{2}.(\frac{4x}{9(x+y)}+ \frac{4x}{9(x+z)}) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})[/tex]

Do đó: [tex]Q\leq \frac{3}{9}+\frac{2}{9}.3= 1[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=z = 1

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Khi đấy dpcm:
$\sum \dfrac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}
\\=\sum \dfrac{3a-a^2}{2a^2-6a+9} \leq \dfrac{6}{5}$
Ta đi chứng minh:
$\dfrac{3x-x^2}{2x^2-6x+9} \leq \dfrac{9}{25}x+\dfrac{1}{25}(\forall x \in
(0,\sqrt{3}))
\\\Leftrightarrow \dfrac{9(x-1)^2(2x+1)}{25(2x^2-6x+9)} \geq 0$
Hiển nhiên đúng.
Cộng vế theo vế sẽ có đpcm.

Cách khác:
$\sum \dfrac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}
\\= \sum\dfrac{a(b+c)}{\dfrac{[(b+c)^2}{4}+a^2]+\dfrac{3(b+c)^2}{4}}
\\\leq \sum \dfrac{a(b+c)}{a(b+c)+\dfrac{3(b+c)^2}{4}}
\\=\sum \dfrac{4a(b+c)}{4a(b+c)+3(b+c)^2}
\\=3-3\sum \dfrac{(b+c)^2}{4a(b+c)+3(b+c)^2}$
Sau đó tiến hành Cauchy-Schawz sẽ ra ngay đpcm.

Bài 28:
[tex]\sum \frac{x}{x+\sqrt{x+yz}} = \sum \frac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}} =\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}[/tex]
[tex]=\sum \frac{x}{x+\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}+\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2} }[/tex]

Áp dụng BĐT phụ [tex]\frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
Ta được:
[tex]\frac{x}{x+\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}+ \frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}} \leq \frac{x}{9}(\frac{1}{x}+\frac{4}{\sqrt{(x+y)(x+z)}})=\frac{1}{9} + \sqrt{\frac{4x}{9(x+y)}.\frac{4x}{9(x+z)} } \leq \frac{1}{9}+\frac{1}{2}.(\frac{4x}{9(x+y)}+ \frac{4x}{9(x+z)}) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})[/tex]

Do đó: [tex]Q\leq \frac{3}{9}+\frac{2}{9}.3= 1[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=z = 1

Có thể AM-GM trực tiếp khỏi xài bđt phụ:
$\sum \dfrac{x}{x+\sqrt{x+yz}}
\\=\sum \dfrac{x}{x+\dfrac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}+\dfrac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{2}}
\\\leq \sum \dfrac{x}{3\sqrt[3]{\dfrac{x(x+y)(x+z)}{4}}}
\\=\sum \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)}}
\\=\sum \dfrac{\sqrt[3]{8}}{3}\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}.\dfrac{x}{x+y}.\dfrac{x}{x+z}}
\\\leq \dfrac{2}{9} \sum(\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z})
\\=1$.
Dấu '=' khi $x=y=z=1$
Làm $2$ bài còn lại mà tui đăng xem r109

 

[tranvandong08]

Bài 26:
\[\\x^{2}+1\geq 2x \\y^{2}+1\geq 2y \\z^{2}+1\geq 2z \\x^{2}+y^{2}\geq 2xy \\x^{2}+z^{2}\geq 2xz \\y^{2}+z^{2}\geq 2yz \\\Rightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 2(x+y+z+xy+yz+xz)=12 \\\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3\]
Bài này tui dùng hằng đẳng thức nhé không phải dùng cauchy đâu^^
Bài 28:

\[\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\]
Tương tự cộng lại sẽ có GTLN của Q = 1
Ok làm bài $27$ tiếp nhé bài này khá quen thuộc.

 

[tranvandong08]

Bài 27:
\[\\\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c} \\\Leftrightarrow (a+b+c)\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq 1\]
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:
\[\\(a+b+c)(\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(b+bc+1)^{2}}+\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}) \\\geq (\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1})^{2} \\=(\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1})^{2}=1\]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 27:
\[\\\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c} \\\Leftrightarrow (a+b+c)\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq 1\]
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:
\[\\(a+b+c)(\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(b+bc+1)^{2}}+\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}) \\\geq (\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1})^{2} \\=(\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1})^{2}=1\]

Cách khác:
Đặt $a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y} \rightarrow c=xy$.
Thay vào phương trình ta sẽ được:
$\dfrac{xy^2+y+xy}{(xy+y+1)^2} \geq \dfrac{xy}{x+y+x^2y^2}
\\\Rightarrow (xy^2+y+xy)(x+y+x^2y^2) \geq xy(xy+y+1)^2
\\\Rightarrow x^3y^4+x^2y+y^2 \geq x^2y^3+x^2y^2+xy^2(*)$
Bây giờ ta sẽ chứng minh $(*)$ thật vậy:
$x^3y^4+xy^2 \geq 2x^2y^3
\\x^2y+x^2y^3 \geq 2x^2y^2
\\y^2+x^2y^2 \geq 2xy^2
\\\Rightarrow x^3y^3+x^2y+y^2 \geq x^2y^3+x^2y^2+xy^2(Q.E.D)$
Dấu '=' khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$.
Hehe hôm nay mọi người mệt rồi. Mai mình đăng bài tiếp nhé. Trong lúc đó hãy qua nghiên cứu những bài tập phương trình, hệ phương trình bên topic này nhé. Cảm ơn tất cả mọi người
:r50
P/s: Mình dự định sau khi thi xong sẽ gõ $1$ file pdf tổng hợp tất cả các bài bất đẳng thức từ trước tới giờ trong diễn đàn học mãi (Các topic của các bậc tiền bối ngày xưa, các bài tập do các thành viên thắc mắc,...). Mọi người thấy sao nhỉ :v
https://diendan.hocmai.vn/threads/moi-ngay-3-phuong-trinh-he-phuong-trinh.619677/page-5#post-3123210

 

[huonggiangnb2002]

Mình dự định sau khi thi xong sẽ gõ 111 file pdf tổng hợp tất cả các bài bất đẳng thức từ trước tới giờ trong diễn đàn học mãi (Các topic của các bậc tiền bối ngày xưa, các bài tập do các thành viên thắc mắc,...). Mọi người thấy sao nhỉ :v

Ý tưởng này rất hay đấy, mọi người có thể in ra làm tài liệu học tập lâu dài !

 

[Quân Nguyễn 209]

Cách khác:
Đặt $a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y} \rightarrow c=xy$.
Thay vào phương trình ta sẽ được:
$\dfrac{xy^2+y+xy}{(xy+y+1)^2} \geq \dfrac{xy}{x+y+x^2y^2}
\\\Rightarrow (xy^2+y+xy)(x+y+x^2y^2) \geq xy(xy+y+1)^2
\\\Rightarrow x^3y^4+x^2y+y^2 \geq x^2y^3+x^2y^2+xy^2(*)$
Bây giờ ta sẽ chứng minh $(*)$ thật vậy:
$x^3y^4+xy^2 \geq 2x^2y^3
\\x^2y+x^2y^3 \geq 2x^2y^2
\\y^2+x^2y^2 \geq 2xy^2
\\\Rightarrow x^3y^3+x^2y+y^2 \geq x^2y^3+x^2y^2+xy^2(Q.E.D)$
Dấu '=' khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$.
Hehe hôm nay mọi người mệt rồi. Mai mình đăng bài tiếp nhé. Trong lúc đó hãy qua nghiên cứu những bài tập phương trình, hệ phương trình bên topic này nhé. Cảm ơn tất cả mọi người
:r50
P/s: Mình dự định sau khi thi xong sẽ gõ $1$ file pdf tổng hợp tất cả các bài bất đẳng thức từ trước tới giờ trong diễn đàn học mãi (Các topic của các bậc tiền bối ngày xưa, các bài tập do các thành viên thắc mắc,...). Mọi người thấy sao nhỉ :v
https://diendan.hocmai.vn/threads/moi-ngay-3-phuong-trinh-he-phuong-trinh.619677/page-5#post-3123210

Ý tưởng hay quá, anh nên tổng hợp cả đề và lời giải để đàn em dễ tra cứu

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 29. (Thái Bình TST 2014) Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

Bài 30. Cho a,b,c,d là 4 số thực dương thỏa a+b+c+d=4,chứng minh:
View attachment 12287
Bài 31. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1, chứng minh:
View attachment 12290

Bài 30.

Bài 31

Bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 30.
View attachment 12363
Bài 31
View attachment 12364
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3

Bài 31:
Có một cách khác:
Cũng tách như trên:
DPCM:
$2(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}) \geq \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}+3
\\\Leftrightarrow \dfrac{ac}{b(b+c)}+\dfrac{ab}{c(c+a)}+\dfrac{bc}{a(a+b)} \geq \dfrac{3}{2}$.
Áp dụng Cauchy-Schawz ta có:
$L.H.S=\sum \dfrac{(ac)^2}{abc(b+c)} \geq \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2abc(a+b+c)}\geq\dfrac{3abc(a+b+c)}{2abc(a+bcc)}=\dfrac{3}{2}$.
Dấu '=' như trên.
Một số bài tập đề nghị:
Bài 32: (VQBC)
Cho $a,b,c$ là các số thực chứng minh rằng:
$2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) \geq [ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-2abc]^2$.
Bài 33: (IMO 1995)
Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh:
$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \geq \dfrac{3}{2}$.
P/s: Bài này khuyến khích làm nhiều cách.
Bài 34: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn tích của $3$ số lớn hơn $0$. Chứng minh:
$4(a+\dfrac{1}{a})(b+\dfrac{1}{b})(c+\dfrac{1}{c}) \geq 9(a+b+c)$

 

[tranvandong08]

Bài 33:
\[\\\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(a+c)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)} \\=\frac{\frac{1}{a^{2}}}{a(b+c)}=\frac{\frac{1}{b^{2}}}{b(a+c)}+\frac{\frac{1}{c^{2}}}{c(a+b)}\]
Đặt : \[\\ (a,b,c)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\] ta cần chứng minh:
\[\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{z^{2}}{x+y}\geq \frac{3}{2}\] với đk: $xyz=1$
Theo cauchy ta có:
\[\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq x \\\Rightarrow \frac{x^{2}}{y+z}\geq x-\frac{y+z}{4}\]
Tương tự ta có:
\[\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{z^{2}}{x+y}\geq x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2} \\\geq \frac{3\sqrt{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\]
Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=1$ hay$ a=b=c=1$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 31:
Bài 32: (VQBC)
Cho $a,b,c$ là các số thực chứng minh rằng:
$2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) \geq [ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-2abc]^2$.

Hướng dẫn giải:
Bài 32:
$(a^2+b^2)(a^2+c^2)=(a^2+bc)^2+(ab-ac)^2
\\2(b^2+c^2)=(b+c)^2+(b-c)^2$
Do đó áp dụng bunhia ta có:
$2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
\\\geq [(a^2+bc)(b+c)+(ab-ac)(b-c)]^2
\\=[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-2abc]^2$
Dấu '=' khi 2 trong $3$ số $a,b,c$ bằng nhau.

 

[Tony Time]

Bài 34( Trích đề thi lớp 10 Bắc Giang):
Cho 2 số thực dương a, b thỏa mãn [tex]2a+3b\leq 4[/tex]
Tìm Min Q= [tex]\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b[/tex]

Mọi người giúp mình nhé. Tuàn sau thi rồi

 

[tranvandong08]

Bài 34( Trích đề thi lớp 10 Bắc Giang):
Cho 2 số thực dương a, b thỏa mãn [tex]2a+3b\leq 4[/tex]
Tìm Min Q= [tex]\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b[/tex]

Mọi người giúp mình nhé. Tuàn sau thi rồi

Bài 34:
\[\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b \\=\frac{2002}{a}+8008a+\frac{2017}{b}+2017b-2056(2a+3b) \\\geq 2\sqrt{\frac{2002}{a}.8008a}+2\sqrt{\frac{2017}{b}.2017b}-2056.4 \\=8008+4034-10024=2018\]
Dấu ''='' xảy ra \[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\frac{1}{2} & \\ & b=1 & \end{matrix}\right.\]

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 35
CMR với mọi n nguyên dương thì [tex]2^n[/tex]>n và [tex]2^{n+2}[/tex]>2n+5
Bài 36
Cho 2 số thực a,b thỏa [tex]a^2+4b^2=1[/tex]. CMR |a+b| [tex]\le[/tex] [tex]\sqrt{5}[/tex]/2

 

[tranvandong08]

\[36,\\(\left | a+b \right |)^{2}=(a+b)^{2}=(a.1+2b.\frac{1}{2})^{2}\\\leq (a^2+4b^{2})(1+\frac{1}{4})=\frac{5}{4} \\\Rightarrow \sqrt{(a+b)^{2}}\leq \frac{\sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow \left | a+b \right |\leq \frac{\sqrt{5}}{2}\]
Dấu ''='' xảy ra
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\frac{2\sqrt{5}}{5} & \\ & b=\sqrt{\frac{1}{20}} & \end{matrix}\right.\]
hoặc \[\left\{\begin{matrix} & a=\frac{-2\sqrt{5}}{5} & \\ & b=-\sqrt{\frac{1}{20}} & \end{matrix}\right.\]

 

[Tony Time]

Bài 37:
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn:
[tex]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3[/tex]
Tìm Min:
P= [tex]\frac{y^2z^2}{x(y^2+z^2)}+\frac{x^2z^2}{y(x^2+z^2)}+\frac{y^2x^2}{z(y^2+x^2)}[/tex]