BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ
I) Lời mở đầu:
Kính chào các thành viên thân yêu của diễn đàn học mãi thân mến!! Hiện nay là cuối tháng 3 vậy là chúng ta chỉ còn vài ''ngày'' ngắn ngủi nữa là kết thúc năm học rồi nhỉ!!.Năm vừa rồi các bạn thế rồi?Gặt hái được nhiều kết quả trong học tập chưa nhỉ? Hihi.Và trong thời điểm này cũng là các kỳ thi cam go dành cho các bạn học sinh lớp 9 đó chính là các kỳ thi chuyển cấp:kỳ thi vào các trường cấp 3, và các trường chuyên trên cả nước.Và trong các cấu trúc của đề thi thì bất đẳng thức,cực trị là một phần tương đối khó và thường là những phần để phân loại học sinh.Chính vì điều đó mà hôm nay mình sẽ mở topic ''BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ'' để các bạn có thể có thêm các kinh nghiệm về các dạng bài toán liên quan tới chủ đề này, cũng như sẽ có một tâm lý thật vững chãi để không bối rối khi làm bài thi .Ngoài ra,topic này còn dành cho các đối tượng đam mê toán học,đặc biệt là đam mê Bất Đẳng Thức muốn có một kiến thức sâu rộng hơn về phần này.
II) Nội Quy:
- Các bài toán được đưa ra phải đánh đúng thứ tự.
- " Bài Toán " phải được in đậm để dễ nhận biết.
- Không Spam , đăng những bài viết không liên quan đến Topic
- Lưu ý: Topic được mở ra chỉ để đưa ra các bài toán BĐT - Cực Trị và Lời Giải.
- Những ai không chấp hành nội quy sẽ bị cộng
điểm nhắc nhở
III) Một số bất đẳng thức cơ bản:
Với $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ là các số thực không âm thì:
$\dfrac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a_1=a_2=a_3=...=a_n$
- Bất đẳng thức AM - GM suy rộng :
Cho các số dương ${w_1},{w_2},...,{w_n}$ thoả mãn ${w_1} + {w_2} + ... + {w_n} = 1$ .
Nếu $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ là các số thực không âm thì:
${w_1}{a_1} + {w_2}{a_2} + ... + {w_n}{a_n} \ge a_1^{{w_1}}a_2^{{w_2}}...a_n^{{w_n}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a_1=a_2=a_3=...=a_n$
- Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz :
Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì:
${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \le \left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right)$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = ... = \dfrac{a_n}{b_n}$
- Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức :
Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì:
$\dfrac{{{a_1}^2}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}^2}}{{{b_2}}} + ... + \dfrac{{{a_n}^2}}{{{b_n}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = ... = \dfrac{a_n}{b_n}$
Với m và dãy số dương $\left( {{a_{1,1}},{a_{1,2}},...{a_{1,n}}} \right),\left( {{a_{2,1}},{a_{2,2}},...,{a_{2,n}}} \right)...\left( {{a_{m,1}},{a_{m,2}},...,{a_{m,n}}} \right)$ thì :
$\prod\limits_{i = 1}^m {\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{i,j}}} } \right)} \ge {\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {\sqrt[m]{{\prod\limits_{i = 1}^m {{a_{i,j}}} }}} } \right)^m}$
Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ.
- Bất đẳng thức Minkowski :
Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì:
$\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} + ... + \sqrt {a_n^2 + b_n^2} \ge \sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)}^2}} $
- Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng :
Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì:
$\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}} + \sqrt[n]{{{b_1}{b_2}...{b_n}}} \le \sqrt[n]{{\left( {{a_1} + {b_1}} \right)\left( {{a_2} + {b_2}} \right)...\left( {{a_n} + {b_n}} \right)}}$
- Bất đẳng thức Vonicur Schur :
Cho các số thực không âm $a, b, c$. Nếu $r \ge 0$, thì:
${a^r}\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right) + {b^r}\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right) + {c^r}\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) \ge 0$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$ , hoặc $a = 0, b = c$ và các hoán vị.
- Trong trường hợp $r = 1$, ta có các dạng tương đương sau:
1. ${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)$
2. $4({a^3} + {b^3} + {c^3}) + 15abc \ge {(a + b + c)^3}$
3. ${a^2} + {b^2} + {c^2} + \dfrac{{9abc}}{{a + b + c}} \ge 2(ab + bc + ca)$
4. $\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} + \dfrac{{4abc}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge 2$
- Trong trường hợp $r = 2$, ta có các dạng tương đương sau:
1. $\sum {{a^4} + abc(a + b + c) \ge \sum {ab({a^2} + {b^2})} } $
2. $6abc(a + b + c) \ge \left (2\sum {ab} - \sum {{a^2}} \right ) \left(\sum a^2 + \sum ab \right)$
Với mọi số nguyên $r \ge 0$ và $x >-1$
${\left( {1 + x} \right)^r} \ge 1 + rx$
IV) Bài Tập ứng dụng:
Bài Toán 1: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa $x+y=2$. Chứng minh rằng:
\[x^3y^3(x^3+y^3) \leq 2\]
Bài Toán 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\[\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + a + 1}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + b + 1}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + c + 1}}\]
Bài Toán 3: [Viet Hung 99] Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\[\dfrac{a+3b}{2b+c} + \dfrac{b+3c}{2c+a} + \dfrac{c+3a}{2a+b} \ge 4 \]
Bài Toán 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\]
Bài Toán 5: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $x,y,z$ dương.
\[{x^2} \sqrt{{y^2} + {z^2}} + {y^2}\sqrt {{z^2} + {x^2}} + {z^2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \leq \sqrt 2 \left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\]
BÀI TOÁN CHƯA CÓ LỜI GIẢI:
Bài toán 13:Trích Vietnamese IMO TST 2001
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa
[tex]2x+4y+7z=2xyz[/tex]
Tìm min của biểu thức
P = [tex]x+y+z[/tex]
Bài 15 :cho a,b,c >0 tìm max [tex]p =\frac{ab}{a^{2}+ab+bc}+ \frac{bc}{b^{2}+bc+ac}+\frac{ac}{c^2+ac+ab} [/tex]
