Toán bất đẳng thức -cực trị

[W_Echo74]

Theo nguyên lí [TEX]Dirichlet[/TEX] thì trong 3 số [TEX]a-1,b-1,c-1[/TEX] sẽ có hai số không âm
Giả sử đó là [TEX]a-1[/TEX] và [TEX]b-1[/TEX] [TEX]\implies (a-1)(b-1) \geqslant 0 \iff abc \geqslant ac+bc-c[/TEX]
Do đó, bất đẳng thức đã cho tương đương với: [TEX]a^2+b^2+c^2 +1 \geqslant 2ab-2c \iff (a-b)^2+(c+1)^2 \geqslant 0[/TEX] (luôn đúng)

Nguyên lí Drichlet em hơi kém nên em chọn AM-GM.
$$2abc+1 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \geq \dfrac{9abc}{a+b+c}$$
Khai triển trực tiếp BĐT:
$a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$
Bđt trên luôn đúng theo Schur
Suy ra $a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ac)$
Suy ra Q.E.D

 

[W_Echo74]

Đưa về chứng minh:
[tex]\dfrac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}}\geq (a+b)(b+c)(c+a)[/tex]
Dễ thấy điểm rơi là a=b=c=1
Áp dụng AM-GM nhiều lần sẽ có Q.E.D
Em có chút việc ko onl tiếp các bác giải tiếp đi
Em định sửa cmt trên nhưng nó báo quá 30ph nên đành cmt khác ko có ý chia nhỏ bài viết đâu
Gõ latex hơi ngu bác @Nguyễn Xuân Hiếu sửa giúp ạ

 

[Quân Nguyễn 209]

Đề xuất nào :
Bài 20:
Cho các số thực a,b,c>0 thỏa ab+bc+ac=1. Chứng minh:

P/s: mới lượm trên mạng, chưa có lời giải. Xin các cao nhân thông cảm

 

[Quân Nguyễn 209]

Suýt quên còn nữa :
Bài 21.
Cho các số thực a,b,c không âm và hai trong ba số không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

Bài 22:
Cho 3 số thực dương a,b,c chứng minh:

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Đưa về chứng minh:
[tex]\dfrac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}}\geq (a+b)(b+c)(c+a)[/tex]
Dễ thấy điểm rơi là a=b=c=1
Áp dụng AM-GM nhiều lần sẽ có Q.E.D
Em có chút việc ko onl tiếp các bác giải tiếp đi
Em định sửa cmt trên nhưng nó báo quá 30ph nên đành cmt khác ko có ý chia nhỏ bài viết đâu
Gõ latex hơi ngu bác @Nguyễn Xuân Hiếu sửa giúp ạ

:v hix chắc bác gõ nhầm nhưng về mặt ý tưởng đúng. Em xin trình bày lại lại:
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{2\sqrt[3]{abc}}
\\=\dfrac{c^2}{c^2(a+b)}+\dfrac{a^2}{a^2(b+c)}+\dfrac{b^2}{b^2(c+a)}+\dfrac{(\sqrt[3]{abc})^2}{2\sqrt[3]{abc}}
\\\geq \dfrac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc}
\\=\dfrac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$.
Dấu '=' khi $a=b=c=1$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Suýt quên còn nữa :
Bài 21.
Cho các số thực a,b,c không âm và hai trong ba số không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
View attachment 11855
Bài 22:
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa:
View attachment 11856

Bài $22$ là thỏa mãn điều kiện gì vậy bạn ?

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài $22$ là thỏa mãn điều kiện gì vậy bạn ?

Bài 22 ko phải thỏa mà là chứng minh, e ghi lộn nhờ a Hiếu sửa lại giùm

 

[W_Echo74]

:v hix chắc bác gõ nhầm nhưng về mặt ý tưởng đúng. Em xin trình bày lại lại:
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{2\sqrt[3]{abc}}
\\=\dfrac{c^2}{c^2(a+b)}+\dfrac{a^2}{a^2(b+c)}+\dfrac{b^2}{b^2(c+a)}+\dfrac{(\sqrt[3]{abc})^2}{2\sqrt[3]{abc}}
\\\geq \dfrac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc}
\\=\dfrac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$.
Dấu '=' khi $a=b=c=1$

Chết em gõ nhầm,sao bác không sửa lại đúng luôn cho em)
[p/s:em vội đi tìm đề bài mới để up lên,gõ lộn,bác thứ lỗi,chưa tìm thấy cái đề nào ưng ý]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Đề xuất nào :
Bài 20:
Cho các số thực a,b,c>0 thỏa ab+bc+ac=1. Chứng minh:
View attachment 11852
P/s: mới lượm trên mạng, chưa có lời giải. Xin các cao nhân thông cảm

@W_Echo74 @Baoriven @Thủ Mộ Lão Nhân @Quân Nguyễn 209 vẫn chưa có ý tưởng nào cho bài này ._. :v. Các bạn có ý tưởng gì không?

 

[chip thit mo]

Bài 15 :cho a,b,c >0 tìm max

[TEX]3-P=\sum 1-\frac{ab}{a^{2}+bc+ab}=\sum \frac{a^{2}}{a^{^{2}}+ab+bc} +\sum \frac{bc}{a^{^{2}}+ab+bc}[/TEX]
lại có:[TEX]\sum \frac{a^{2}}{a^{^{2}}+ab+bc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum (a^{2}+bc+ab)}=1[/TEX]
và [TEX]\sum \frac{bc}{a^{^{2}}+ab+bc} \geq \frac{(bc+ca+ab)^{2}}{\sum (b^{2}c^{2}+abc(a+b))}=1[/TEX]
suy ra gtln

 

[chip thit mo]

áp dụng bđt cosi cho 4 số ta có
[TEX]\frac{9a(3b+5c)}{4096}+\frac{9a(3b+5c)}{4096}+\frac{9a(3b+5c)}{4096}+\frac{a}{(3b+5c)^{3}}\geq 4\sqrt[4]{(\frac{9a(3b+5c)}{4096})^{3}.\frac{a}{(3b+5c)^{3}}} = 4\sqrt{\frac{3^{3}}{8^{6}}} .a[/TEX]
kết hợp với[TEX]a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}=\sqrt{3}[/TEX]
suy ra đpcm

 

[Tony Time]

Bài toán 8:
Áp dụng bất đẳng thức phụ dạng 3 số :

.

Mình có được nói đây là hệ quả của BĐT Cauchy-Schwarz không anh?

 

[tranvandong08]

Bài 20 : \[\\VT=\frac{a^{2}}{a(3b+5c)^{3}}+\frac{b^{2}}{b(3c+5a)^{3}}+\frac{c^{2}}{c(3a+5b)^{3}} \\=\frac{\frac{a^{2}}{(3b+5c)^{2}}}{3ab+5ac}+\frac{\frac{b^{2}}{(3c+5a)^{2}}}{3bc+5ab}+\frac{\frac{c^{2}}{(3a+5b)^{2}}}{3ac+5bc}\geq \frac{(\frac{a}{3b+5c}+\frac{b}{3c+5a}+\frac{c}{3a+5b})^{2}}{8(ab+bc+ca)}=\frac{(\frac{a}{3b+5c}+\frac{b}{3c+5a}+\frac{c}{3a+5b})^{2}}{8}\geqslant \frac{(\frac{(a+b+c)^{2}}{8(ab+bc+ca)})^{2}}{8}\\\geq \frac{(\frac{3(ab+bc+ca)}{8(ab+bc+ca)})^{2}}{8}=\frac{9}{512}\]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Mình có được nói đây là hệ quả của BĐT Cauchy-Schwarz không anh?

Cũng được. Nhưng phải chứng minh Cauchy-Schwarz dạng engel 3 số vậy nên đi thi tốt nhất nên chứng minh thẳng bđt phụ này
$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \geq 9$
Nhân bung rồi C-S là ok

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

áp dụng bđt cosi cho 4 số ta có
[TEX]\frac{9a(3b+5c)}{4096}+\frac{9a(3b+5c)}{4096}+\frac{9a(3b+5c)}{4096}+\frac{a}{(3b+5c)^{3}}\geq 4\sqrt[4]{(\frac{9a(3b+5c)}{4096})^{3}.\frac{a}{(3b+5c)^{3}}} = 4\sqrt{\frac{3^{3}}{8^{6}}} .a[/TEX]
kết hợp với[TEX]a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}=\sqrt{3}[/TEX]
suy ra đpcm

Bài 20 : \[\\VT=\frac{a^{2}}{a(3b+5c)^{3}}+\frac{b^{2}}{b(3c+5a)^{3}}+\frac{c^{2}}{c(3a+5b)^{3}} \\=\frac{\frac{a^{2}}{(3b+5c)^{2}}}{3ab+5ac}+\frac{\frac{b^{2}}{(3c+5a)^{2}}}{3bc+5ab}+\frac{\frac{c^{2}}{(3a+5b)^{2}}}{3ac+5bc}\geq \frac{(\frac{a}{3b+5c}+\frac{b}{3c+5a}+\frac{c}{3a+5b})^{2}}{8(ab+bc+ca)}=\frac{(\frac{a}{3b+5c}+\frac{b}{3c+5a}+\frac{c}{3a+5b})^{2}}{8}\geqslant \frac{(\frac{(a+b+c)^{2}}{8(ab+bc+ca)})^{2}}{8}\\\geq \frac{(\frac{3(ab+bc+ca)}{8(ab+bc+ca)})^{2}}{8}=\frac{9}{512}\]

Hay quá :v :r50

Suýt quên còn nữa :

Bài 22:
Cho 3 số thực dương a,b,c chứng minh:
View attachment 11856

Bài $22$ thử vài giá trị thấy sai đề hình như phải là bé hơn.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài $23$:
Cho $a,b,c,d$ là các sô thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=4.$
Chứng minh: $2(a^3+b^3+c^3+d^3) \geq 2+\dfrac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{2+ab+ac+ad+bc+bd+dc}$
Bài $24$:
Cho các số thực dương thỏa: $abc=1$.
Chứng minh rằng: $S=\dfrac{a}{ab+b^3}+\dfrac{b}{bc+c^3}+\dfrac{c}{ca+a^3} \geq \dfrac{3}{2}$
Bài $25$: (Tạp chí Pi)
Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\dfrac{c^3}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{3}{{5abc}} \geq \dfrac{18}{5}$
Hỏi đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 26:
Cho x,y>0, chứng minh

Bài 27:
Cho x,y,z>0 và xyz=1, chứng minh

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 26:
Cho x,y>0, chứng minh

Bài 27:
Cho x,y,z>0 và xyz=1, chứng minh View attachment 12004

Bài 26:
Dễ thấy $VT \geq 2^2$ nên nếu $n \leq 1$ thì ta có điều phải chứng minh.
Xét $n \geq 2$.
Đặt $1+\dfrac{x}{y}=X,1+\dfrac{y}{x}=Y$ Khi đó:$X+Y \geq 4=2^2$.
Ta có: $2(X^2+Y^2) \geq (X+Y)^2 \Rightarrow (\dfrac{X}{X+Y})^2+(\dfrac{Y}{X+Y})^2 \geq \dfrac{1}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có:
$(\dfrac{2X}{X+Y})^n+\dfrac{n}{2}-1 \geq \dfrac{n}{2}(\dfrac{2X}{X+Y})^2$
Tương tự ta cũng có:
$(\dfrac{2Y}{X+Y})^n+\dfrac{n}{2}-1 \geq \dfrac{n}{2}(\dfrac{2Y}{X+Y})^2$
Cộng vế theo vế ta có:
$2^n[(\dfrac{X}{X+Y})^n+(\dfrac{Y}{X+Y})^n]+n-2 \geq 2n[(\dfrac{X}{X+Y})^2+(\dfrac{Y}{X+Y})^2] \geq \dfrac{2n}{2}=n \geq 2$.
Do đó $(\dfrac{X}{X+Y})^n+(\dfrac{Y}{X+Y})^n \geq 2^{1-n} \\\Leftrightarrow X^n+Y^n \geq 2^{1-n}(X+Y)^n \geq 2^{1-n}.2^{2n}=2^{n+1}$(dpcm)

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 26:
Cho x,y>0, chứng minh

Bài 27:
Cho x,y,z>0 và xyz=1, chứng minh View attachment 12004

Bài 27:
$\sum \dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}
\\\sum\geq \dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}
\\=\sum \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}
\\\geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt{3}}{xyz}}
\\=3\sqrt{3}$
Dấu '=' khi $x=y=z=1$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

@tranvandong08 @chip thit mo , @huonggiangnb2002 @Nữ Thần Mặt Trăng ... cùng làm những bài trên nào . Nếu khó quá thì bảo mình chữa nhé.