Toán bất đẳng thức -cực trị

Thảo luận trong 'Bất đẳng thức. Bất phương trình' bắt đầu bởi Viet Hung 99, 29 Tháng ba 2017.

Lượt xem: 10,616

  1. Viet Hung 99

    Viet Hung 99 Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    107
    Điểm thành tích:
    171
    Nơi ở:
    Quảng Trị
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ

    I) Lời mở đầu:

    Kính chào các thành viên thân yêu của diễn đàn học mãi thân mến!! Hiện nay là cuối tháng 3 vậy là chúng ta chỉ còn vài ''ngày'' ngắn ngủi nữa là kết thúc năm học rồi nhỉ!!.Năm vừa rồi các bạn thế rồi?Gặt hái được nhiều kết quả trong học tập chưa nhỉ? Hihi.Và trong thời điểm này cũng là các kỳ thi cam go dành cho các bạn học sinh lớp 9 đó chính là các kỳ thi chuyển cấp:kỳ thi vào các trường cấp 3, và các trường chuyên trên cả nước.Và trong các cấu trúc của đề thi thì bất đẳng thức,cực trị là một phần tương đối khó và thường là những phần để phân loại học sinh.Chính vì điều đó mà hôm nay mình sẽ mở topic ''BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ'' để các bạn có thể có thêm các kinh nghiệm về các dạng bài toán liên quan tới chủ đề này, cũng như sẽ có một tâm lý thật vững chãi để không bối rối khi làm bài thi .Ngoài ra,topic này còn dành cho các đối tượng đam mê toán học,đặc biệt là đam mê Bất Đẳng Thức muốn có một kiến thức sâu rộng hơn về phần này.

    II) Nội Quy:
    - Các bài toán được đưa ra phải đánh đúng thứ tự.
    - " Bài Toán " phải được in đậm để dễ nhận biết.
    - Không Spam , đăng những bài viết không liên quan đến Topic
    - Lưu ý: Topic được mở ra chỉ để đưa ra các bài toán BĐT - Cực Trị và Lời Giải.
    - Những ai không chấp hành nội quy sẽ bị cộng điểm nhắc nhở

    III) Một số bất đẳng thức cơ bản:
    • Bất đẳng thức AM - GM :
    Với $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ là các số thực không âm thì:
    $\dfrac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a_1=a_2=a_3=...=a_n$
    • Bất đẳng thức AM - GM suy rộng :
    Cho các số dương ${w_1},{w_2},...,{w_n}$ thoả mãn ${w_1} + {w_2} + ... + {w_n} = 1$ .
    Nếu $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ là các số thực không âm thì:
    ${w_1}{a_1} + {w_2}{a_2} + ... + {w_n}{a_n} \ge a_1^{{w_1}}a_2^{{w_2}}...a_n^{{w_n}}$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a_1=a_2=a_3=...=a_n$
    • Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz :
    Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì:
    ${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \le \left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right)$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = ... = \dfrac{a_n}{b_n}$
    • Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức :
    Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì:
    $\dfrac{{{a_1}^2}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}^2}}{{{b_2}}} + ... + \dfrac{{{a_n}^2}}{{{b_n}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = ... = \dfrac{a_n}{b_n}$
    • Bất đẳng thức Holder :
    Với m và dãy số dương $\left( {{a_{1,1}},{a_{1,2}},...{a_{1,n}}} \right),\left( {{a_{2,1}},{a_{2,2}},...,{a_{2,n}}} \right)...\left( {{a_{m,1}},{a_{m,2}},...,{a_{m,n}}} \right)$ thì :
    $\prod\limits_{i = 1}^m {\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{i,j}}} } \right)} \ge {\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {\sqrt[m]{{\prod\limits_{i = 1}^m {{a_{i,j}}} }}} } \right)^m}$
    Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ.
    • Bất đẳng thức Minkowski :
    Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì:
    $\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} + ... + \sqrt {a_n^2 + b_n^2} \ge \sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)}^2}} $
    • Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng :
    Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì:
    $\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}} + \sqrt[n]{{{b_1}{b_2}...{b_n}}} \le \sqrt[n]{{\left( {{a_1} + {b_1}} \right)\left( {{a_2} + {b_2}} \right)...\left( {{a_n} + {b_n}} \right)}}$
    • Bất đẳng thức Vonicur Schur :
    Cho các số thực không âm $a, b, c$. Nếu $r \ge 0$, thì:
    ${a^r}\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right) + {b^r}\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right) + {c^r}\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) \ge 0$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$ , hoặc $a = 0, b = c$ và các hoán vị.
    - Trong trường hợp $r = 1$, ta có các dạng tương đương sau:
    1. ${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)$
    2. $4({a^3} + {b^3} + {c^3}) + 15abc \ge {(a + b + c)^3}$
    3. ${a^2} + {b^2} + {c^2} + \dfrac{{9abc}}{{a + b + c}} \ge 2(ab + bc + ca)$
    4. $\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} + \dfrac{{4abc}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge 2$
    - Trong trường hợp $r = 2$, ta có các dạng tương đương sau:
    1. $\sum {{a^4} + abc(a + b + c) \ge \sum {ab({a^2} + {b^2})} } $
    2. $6abc(a + b + c) \ge \left (2\sum {ab} - \sum {{a^2}} \right ) \left(\sum a^2 + \sum ab \right)$
    • Bất đẳng thức Bernolli :
    Với mọi số nguyên $r \ge 0$ và $x >-1$
    ${\left( {1 + x} \right)^r} \ge 1 + rx$

    IV) Bài Tập ứng dụng:

    Bài Toán 1:
    Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa $x+y=2$. Chứng minh rằng:
    \[x^3y^3(x^3+y^3) \leq 2\]

    Bài Toán 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
    \[\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + a + 1}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + b + 1}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + c + 1}}\]

    Bài Toán 3: [Viet Hung 99] Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
    \[\dfrac{a+3b}{2b+c} + \dfrac{b+3c}{2c+a} + \dfrac{c+3a}{2a+b} \ge 4 \]

    Bài Toán 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
    \[\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\]

    Bài Toán 5:
    Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $x,y,z$ dương.
    \[{x^2} \sqrt{{y^2} + {z^2}} + {y^2}\sqrt {{z^2} + {x^2}} + {z^2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \leq \sqrt 2 \left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\]
    BÀI TOÁN CHƯA CÓ LỜI GIẢI:
    Bài toán 13:Trích Vietnamese IMO TST 2001

    Cho x,y,z là các số thực dương thỏa
    [tex]2x+4y+7z=2xyz[/tex]
    Tìm min của biểu thức
    P = [tex]x+y+z[/tex]

    Bài 15 :cho a,b,c >0 tìm max [tex]p =\frac{ab}{a^{2}+ab+bc}+ \frac{bc}{b^{2}+bc+ac}+\frac{ac}{c^2+ac+ab} [/tex]
     
    Last edited by a moderator: 21 Tháng sáu 2017
  2. batman1907

    batman1907 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    62
    Điểm thành tích:
    130

    Mở hàng :))
    Ta có:

    $x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})=x^{3}y^{3}(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=2x^{3}y^{3}(4-3xy)$
    Ta chứng minh:
    $x^{3}y^{3}(4-3xy)\leq 1$
    $\Leftrightarrow 3x^{4}y^{4}-4x^{3}y^{3}+1\geq 0$
    $\Leftrightarrow (xy-1)^{2}(3x^{2}y^{2}+2xy+1)\geq 0$
    Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Vậy ta có đpcm.
    Dấu "=" xảy ra
    $\Leftrightarrow x=y=1$
     
    minh24010, tôi là ai?, orangery1 other person thích bài này.
  3. batman1907

    batman1907 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    62
    Điểm thành tích:
    130

    Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
    $a-\dfrac{a^{3}}{a^{2}+a+1}=\dfrac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}\leq \dfrac{a^{2}+1}{3a}=\dfrac{a}{3}+\dfrac{1}{3}$
    $\Rightarrow \sum \dfrac{a^{3}}{a^{2}+a+1}\geq \dfrac{2}{3}\sum a-1\geq \dfrac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}-1=1$
    Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

    P/s: Một lời góp ý nhỏ dành cho chủ pic này: Với trình độ của các thành viên ở diễn đàn ta hiện nay thì những bài này có vẻ hơi quá tầm. Vì vậy anh nghĩ ta nên ra nhiều bài "dễ thở" hơn và 1 tuần thì chỉ nên ra từ 1 đến 2 bài khó như thế này sẽ hợp lí hơn.

    Ok anh @batman1907 , Em sẽ giảm bớt độ khó của từng bài , thay vào đó là những bài Toán dễ hơn
    -> @Viet Hung 99
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng ba 2017
    Trang_7124119Viet Hung 99 thích bài này.
  4. Viet Hung 99

    Viet Hung 99 Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    107
    Điểm thành tích:
    171
    Nơi ở:
    Quảng Trị

    $\dfrac{a+3b}{2b+c} + \dfrac{b+3c}{2c+a} + \dfrac{c+3a}{2a+b} \ge 4$
    $\Longleftrightarrow \left (\dfrac{a+3b}{2b+c}-1 \right ) + \left (\dfrac{b+3c}{2c+a}-1 \right ) + \left (\dfrac{c+3a}{2a+b}-1 \right ) \ge 1$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{a+b-c}{2b+c} + \dfrac{b+c-a}{2c+a} + \dfrac{c+a-b}{2a+b} \ge 1$
    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
    $\dfrac{a+b-c}{2b+c} + \dfrac{b+c-a}{2c+a} + \dfrac{c+a-b}{2a+b} = \\\dfrac{(a+b-c)^2}{(2b+c)(a+b-c)} + \dfrac{(b+c-a)^2}{(2c+a)(b+c-a)} + \dfrac{(c+a-b)^2}{(2a+b)(c+a-b)}$
    $ \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{(2b+c)(a+b-c)+(2c+a)(b+c-a)+(2a+b)(c+a-b)} $
    $= \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c$
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng ba 2017
    quanhunter123Ray Kevin thích bài này.
  5. Viet Hung 99

    Viet Hung 99 Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    107
    Điểm thành tích:
    171
    Nơi ở:
    Quảng Trị

    Theo AM - GM ta có:
    \[\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right){\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \le {\left[ {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{3}} \right]^3} = \dfrac{{{{(a + b + c)}^6}}}{{27}}\]
    \[ \Rightarrow ab + bc + ca \le \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{3\sqrt 3 }}\]
    Sử dụng bổ đề $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z} \ge \dfrac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$ ta có:
    \[\sum {\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}}} = \sum {\dfrac{{{a^3}}}{{ab + ca}}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{6\left( {ab + bc + ca} \right)}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{6.\dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{3\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\]
     
  6. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Đề xuất một vài bài nhẹ nhàng hơn!!
    Bài toán 6:Cho $a$ là số thực dương.Tìm min của :[tex]A=a^2+\frac{1}{a}-2\sqrt{a}[/tex]
    Bài toán 7:Cho $x>1$.Tìm min của biểu thức:
    [tex]B=\dfrac{2x}{3}+\dfrac{4}{x-1}+1[/tex]
    Bài toán 8:Cho $a+b+c \leq 3 $.Tìm min :
    [tex]\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}[/tex]
    Bài toán 9 :Cho $a,b,c$ là các số thực dương.CMR:
    [tex]\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \geq \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}[/tex]
     
    Last edited: 13 Tháng năm 2017
    Ph ThủyViet Hung 99 thích bài này.
  7. Viet Hung 99

    Viet Hung 99 Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    107
    Điểm thành tích:
    171
    Nơi ở:
    Quảng Trị

    Ta đi chứng minh bổ đề sau:
    \[{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \sum {\dfrac{{x\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{y + z}}} \]
    \[\sum {\frac{{ab\left( {a - b} \right) + ca\left( {a - c} \right)}}{{b + c}}} \ge 0 \Longleftrightarrow \sum {\left[ {\frac{{ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {b + c} \right)}} + \frac{{ca\left( {a - c} \right)}}{{b + c}}} \right] \ge 0} \]
    \[\Longleftrightarrow\sum {\left[ {\frac{{ab\left( {a - b} \right)}}{{b + c}} + \frac{{ba\left( {b - a} \right)}}{{c + a}}} \right]} \ge 0 \Longleftrightarrow \sum {\frac{{ab{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}} \ge 0\]
    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
    \[\Longleftrightarrow {\left( {{x^2}\sqrt {{y^2} + {z^2}} + {y^2}\sqrt {{z^2} + {x^2}} + {z^2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)^2} \le 2{\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)^2}\]
    Áp dụng bất đẳng thức C-B-S ta có:
    \[2{\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)^2} \ge \frac{2}{3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\]
    \[ \ge \frac{2}{3}\left[ {\sum {{x^4}} + \sum {{x^3}\left( {y + z} \right)} } \right]\left[ {\sum {\frac{{x\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{y + z}}} } \right]\]
    \[ \ge \frac{2}{3}\left[ {\frac{1}{2}\sum {{x^3}\left( {y + z} \right)} + \sum {{x^3}\left( {y + z} \right)} } \right]\left[ {\sum {\frac{{x\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{y + z}}} } \right]\]
    \[ = \left[ {\sum {{x^3}\left( {y + z} \right)} } \right]\left[ {\sum {\frac{{x\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{y + z}}} } \right] \ge \sum {{x^2}\sqrt {{y^2} + {z^2}} } \]
    Đẳng thức xảy ra khi: $x=y=z$
     
  8. Viet Hung 99

    Viet Hung 99 Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    107
    Điểm thành tích:
    171
    Nơi ở:
    Quảng Trị

    $\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \geq \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
    $\Longleftrightarrow (a^4+b^4+c^4)(a+b+c) \ge 3abc(a^2+b^2+c^2)$
    Ta có: $a^4+b^4+c^4 \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3} \Longleftrightarrow (a^2-b^2)^2+(b^2+c^2)^2 + (c^2-a^2)^2 \ge 0$
    $\Longrightarrow (a^4+b^4+c^4)(a+b+c) \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}(a+b+c)$
    $ \ge (a^2+b^2+c^2)\dfrac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{3}3 \sqrt[3]{abc} = 3abc(a^2+b^2+c^2)$
    Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c$
     
    Last edited: 30 Tháng ba 2017
    quanhunter123 thích bài này.
  9. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Bài toán 6:
    [tex]A=a^2+\frac{1}{a}-2\sqrt{a} \\\geq 2a-1+\frac{1}{a}-2\sqrt{a} \\=a-2\sqrt{a}+1+a+\frac{1}{a}-2 \\\geq(\sqrt{a}-1)^2+2.\sqrt{a.\frac{1}{a}}-2 \\\geq 0+2-2=0[/tex]
    Dấu '=' khi $x=1$.
    Bài toán 7:
    [tex]B=\dfrac{2x}{3}+\dfrac{4}{x-1}+1 \\B=\dfrac{2x-2+2}{3}+\dfrac{4}{x-1}+1 \\B=\dfrac{2(x-1)}{3}+\dfrac{4}{x-1}+\dfrac{5}{3} \\\geq 2.\sqrt{\dfrac{2(x-1)}{3}.\dfrac{4}{x-1}}+\dfrac{5}{3} \\=\frac{5+4\sqrt{6}}{3}[/tex]
    Dấu '=' khi $x=\sqrt{6}+1$.
    Bài toán 8:
    Áp dụng bất đẳng thức phụ dạng 3 số :
    [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}[/tex].
    Muốn chứng minh cái này thì ta sẽ chứng minh:[tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9[/tex].Sau đó nhân vào áp dụng AM-GM 3 số là sẽ ra điều phải chứng minh .
    Áp dụng điều trên vào ta có:
    [tex]\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab} \\\geq \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca} \\=\dfrac{9}{(a+b+c)^2} \\\geq \dfrac{9}{3^2}=1[/tex]
    Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$.




     
    Fighting_2k3_ thích bài này.
  10. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Sau đây mình sẽ post các bài bất đẳng thức của các trường của cả nước theo mức độ tăng dần.Và khi giải bài thì các bạn nên có vài dòng định hướng lời giải để khi người khác nhìn vào sẽ có hiểu được cách tư duy của bạn .Từ đó có thể có thêm kinh nghiệm hơn!!
    Bài toán 10:(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Khoa học Tự nhiên 2002-2003)
    Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thõa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 3$.Tìm min của biểu thức:
    [tex]P=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+zx}[/tex].
    Bài toán 11:(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh thái bình năm 2005-2006)
    Cho các số thực dương $x,y,z$ thõa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:
    [tex]\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2} \geq \sqrt{5}[/tex]
    Bài toán 12 :(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán THPT Trần Đại Nghĩa năm 2003-2004)
    Cho các số thực dương $x,y,z$ thõa $x^3+y^3+z^3=1$.Chứng minh:
    [tex]\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}[/tex]
     
    Last edited: 13 Tháng năm 2017
    quanhunter123Viet Hung 99 thích bài này.
  11. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Bài toán 10:
    Dễ thấy điểm rơi của bài sẽ xảy ra khi $x=y=z$..
    Ở dưới mẫu xuất hiện $xy,yz,xz$ và đề bài cho giá trị của biểu thức $x^2+y^2+z^2=3$ nên ta sẽ nghĩ ngay tới việc sẽ áp dụng $xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2=3$...
    Nhưng $xy,yz,xz$ xuất hiện riêng ở từng mẫu nên chúng ta cần phải tìm kiếm một bất đẳng thức có thể liên kết $xy,yz,xz$ lại với nhau.Nghĩ ngay tới bất đẳng thức phụ ba số $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{a+b+c}$....Và khi kiểm tra lại chiều của bất đẳng thức chứng minh thì thấy hoàn toàn hợp lý.Do đó ta có lời giải như sau:
    [tex]\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+zx} \\\geq \dfrac{9}{3+xy+yz+zx} \\\geq \dfrac{9}{3+x^2+y^2+z^2}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}[/tex].
    Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=1$.
    Bài toán 11:
    Dễ thấy $\sqrt{2x^2+xy+2y^2}$ là một cái căn có chứa đa thức bậc 2 trong căn và đề bài cho $x+y+z=1$ vậy nếu chúng ta có thể đưa về dạng:[tex]\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\sqrt{m(x+y)^2}=\sqrt{m}(x+y)[/tex] thì khi đó t chỉ cần đặt nhân tử sẽ hoàn thành..
    Nhưng rõ ràng khi nhìn vào biểu thức thì sẽ khó đưa được về dạng như trên .Nghĩ ngay tới hướng khác đưa về dạng : [tex]\sqrt{2x^2+xy+2y^2} \\=\sqrt{m(x+y)^2+n(x-y)^2} \\\geq \sqrt{m(x+y)^2}=\sqrt{m}(x+y)[/tex].Thì khi đó cũng như trên bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn...
    Việc bây giờ ta sẽ đi tìm xem có cặp m,n nào thõa mã không?.Giả sử:
    [tex]\sqrt{2x^2+xy+2y^2} =\sqrt{m(x+y)^2+n(x-y)^2} \\\Rightarrow 2x^2+xy+2y^2=x^2(m+n)+2xy(m-n)+y^2(m+n)[/tex].
    Tới đây bằng việc cân bằng hệ số thì cần tìm m,n sao cho :
    [tex]\left\{\begin{matrix} &m+n=2 \\ &2(m-n)=1 \end{matrix}\right. \\\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &m=\dfrac{5}{4} \\ &n=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right.[/tex].
    Từ đó ta có cách tách sau:
    [tex]\sqrt{2x^2+xy+2y^2} \\=\sqrt{\dfrac{5}{4}(x+y)^2+\dfrac{3}{4}(x-y)^2} \\\geq \sqrt{\dfrac{5}{4}(x+y)^2} \\=\dfrac{\sqrt{5}}{2}(x+y) \\\Rightarrow \sum\sqrt{2x^2+xy+2y^2} \geq \sqrt{5}(x+y+z)=\sqrt{5}(dpcm)[/tex].
    Dấu '=' khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$.
    Bài toán 12:
    Để ý ở dưới mẫu :có $\sqrt{1-x^2}$ và để ý rằng :
    [tex]x\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2(1-x^2)}\leq \frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex].
    Từ đó ta có:[tex]\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}} \\=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2(1-x^2)}}+\dfrac{y^3}{\sqrt{y^2(1-y^2)}}+\dfrac{z^3}{\sqrt{z^2(1-z^2)}} \\\geq 2x^3+2y^3+2z^3=2(x^3+y^3+z^3)=2[/tex].
    Dấu '=' khi :$2x^2=1 \Rightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.Nhưng khi thay vào thì $x^3+y^3+z^3 \neq 1$.Do đó không xảy ra dấu '='.




     
  12. hieu030103

    hieu030103 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    74
    Điểm thành tích:
    121
    Nơi ở:
    Lâm Đồng
    Trường học/Cơ quan:
    Thpt Da Huoai

    Bài toán 13:Trích Vietnamese IMO TST 2001
    Cho x,y,z là các số thực dương thỏa
    [tex]2x+4y+7z=2xyz[/tex]
    Tìm min của biểu thức
    P = [tex]x+y+z[/tex]
     
    Last edited: 14 Tháng tư 2017
    Cao Khánh TânNguyễn Xuân Hiếu thích bài này.
  13. Ray Kevin

    Ray Kevin Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    462
    Điểm thành tích:
    81
    Nơi ở:
    Quảng Trị
    Trường học/Cơ quan:
    ...

    Bài 14: [TEX]x^2 +y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz \geq 8 [/TEX] với x+y+z=6
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng năm 2017
  14. mailima1701

    mailima1701 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    40
    Điểm thành tích:
    26

    Bài 15 :cho a,b,c >0 tìm max [tex]p =\frac{ab}{a^{2}+ab+bc}+ \frac{bc}{b^{2}+bc+ac}+\frac{ac}{c^2+ac+ab} [/tex]
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng năm 2017
  15. Nữ Thần Mặt Trăng

    Nữ Thần Mặt Trăng Cựu Mod Toán Thành viên TV BQT tích cực 2017

    Bài viết:
    4,472
    Điểm thành tích:
    779
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Đồng Quan

    Bài toán 14:
    Ta có HĐT: $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
    => $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z}=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{6}$
    => $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{6}+xyz=\dfrac{x^3+y^3+z^3+3xyz}{6}$
    Cần cm $x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 48$
    Ta có: $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)=216-3(6-x)(6-y)(6-z)=216-18(xy+yz+zx)+3xyz$
    Do đó $x^3+y^3+z^3+3xyz=216-18(xy+yz+zx)+6xyz$ (1)
    Ta có BĐT phụ vs $x,y,z$ là 3 cạnh của tam giác: $xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$
    Áp dụng BĐT AM-GM ta có $(x+y-z)(y+z-x)\leq \dfrac{[(x+y-z)+(y+z-x)]^2}{4}=y^2$.
    Tương tự rồi nhân vs nhau ta đc BĐT trên
    Áp dụng BĐT trên vào ta có:
    $xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=(6-2x)(6-2y)(6-2z)$
    $\iff xyz\geq 24(xy+yz+zx)-8xyz-216$
    $\iff 9xyz\geq 24(xy+yz+zx)-216$
    $\iff 6xyz\geq 16(xy+yz+zx)-144$ (2)
    Từ (1) và (2)
    => $x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 72-2(xy+yz+zx)\geq 72-2.\dfrac{1}{3}(x+y+z)^2$ (áp dụng BĐT $xy+yz+zx\leq \dfrac{1}{3}(x+y+z)^2$
    $\iff x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 48$ (đpcm)
    Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
     
    Last edited: 13 Tháng năm 2017
    Ray KevinNguyễn Xuân Hiếu thích bài này.
  16. Conan Nguyễn

    Conan Nguyễn Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    131
    Điểm thành tích:
    126

    Bài 16: Cho ba số thức a,b,c thỏa mãn [​IMG]
    C/mr:[​IMG]
     
    Last edited by a moderator: 21 Tháng sáu 2017
    Tony Time thích bài này.
  17. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Hôm trước chả để ý ._. Cứ ngồi làm mà không thử vài giá trị. Đề sai rồi nhé phải là $ \leq \dfrac{1}{2}$ mới đúng.
    $\sum \dfrac{a}{a^2+2b+3}
    \\\leq \sum \dfrac{a}{2(a+b+1)}
    \\DPCM \sum \dfrac{a}{a+b+1} \leq 1
    \\\Rightarrow 3- \sum \dfrac{a}{a+b+1} \geq 2
    \\\Rightarrow \sum \dfrac{b+1}{a+b+1} \geq 2$
    Ta có:
    $\sum \dfrac{b+1}{a+b+1}
    \\=\sum \dfrac{(b+1)^2}{(a+b+1)(b+1)}
    \\\geq \sum \dfrac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3a+3b+3c+3}
    \\ \sum \dfrac{2(a+b+c+3)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca+6a+6b+6c+6}
    \\=\sum \dfrac{2(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+6a+6b+6c+9}
    \\=\sum \dfrac{2(a+b+c+3)^2}{(a+b+c+3)^2}
    \\=2$
    Do đó có điều phải chứng minh.
    Dấu '=' khi $a=b=c=1$.
    P/s: Lâu không vào topic. Khởi động lại topic nào ^^. @Hoàng Quốc Khánh @Viet Hung 99 @kingsman(lht 2k2) @Nữ Thần Mặt Trăng @Thủ Mộ Lão Nhân @hieu030103 @Ray Kevin ,@huonggiangnb2002 ,@Eddie225 ,@Hoàng Đình Nhật
     
    Last edited: 21 Tháng sáu 2017
  18. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    Bài 17: (Sưu tầm)
    Cho $x \geq 1,y \geq 1$ và $z \geq 1$. Chứng minh rằng:
    $\dfrac{1}{1+x^3}+\dfrac{1}{1+y^3}+\dfrac{1}{1+z^3} \geq \dfrac{3}{1+xyz}$
    Bài 18: (Bài tồn đọng của diễn đàn)
    Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
    $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \dfrac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
    Bài 19: (Sưu tầm)
    Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
    $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$
    Quất ngay thôi :v :p:p
     
  19. Hoàng Quốc Khánh

    Hoàng Quốc Khánh Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    48
    Điểm thành tích:
    16

    Theo nguyên lí [TEX]Dirichlet[/TEX] thì trong 3 số [TEX]a-1,b-1,c-1[/TEX] sẽ có hai số không âm
    Giả sử đó là [TEX]a-1[/TEX] và [TEX]b-1[/TEX] [TEX]\implies (a-1)(b-1) \geqslant 0 \iff abc \geqslant ac+bc-c[/TEX]
    Do đó, bất đẳng thức đã cho tương đương với: [TEX]a^2+b^2+c^2 +1 \geqslant 2ab-2c \iff (a-b)^2+(c+1)^2 \geqslant 0[/TEX] (luôn đúng)
     
    Nguyễn Xuân Hiếu thích bài này.
  20. Nguyễn Xuân Hiếu

    Nguyễn Xuân Hiếu Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,123
    Điểm thành tích:
    319
    Nơi ở:
    Đắk Nông

    @W_Echo74 làm thử mấy bài này xem :v
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->