Lời giải bài 23,25 cho các bạn tham khảo nhé
Bài $23$:
Cho $a,b,c,d$ là các sô thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=4.$
Chứng minh: $2(a^3+b^3+c^3+d^3) \geq 2+\dfrac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{2+ab+ac+ad+bc+bd+dc}$
Bài $23$ như gợi ý ở trên
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$2(a^3+b^3+c^3+d^3) \geq 2+\dfrac{3}{2}(a+b+c+d)$
Tới đây xài phương pháp U.C.T ta tìm được bất đẳng thức phụ cần chứng minh:
$2x^3 \geq \dfrac{3x}{2}+\dfrac{9x^2}{4}-\dfrac{9}{4} \Leftrightarrow (x-1)^2(8x+7) \geq 0$.
Điều này hiển nhiên đúng.
Áp dụng vào ta sẽ có ngay điều phải chứng minh.
Dấu '=' khi $a=b=c=d=1$.
Bài $25$: Dựa theo lời giải của tác giả bài toán( Hoàng Lê Nhật Tùng)
Chứng minh nhận xét $1$:
$\sum_{cyc}\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2} \geq a+b+c
\\\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}+b+c) \geq 3(a+b+c)
\\\Leftrightarrow (a^3+b^3+c^3)(\sum_{cyc}\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}) \geq 3(ab+bc+ca)$
Theo Cauchy-Schawz ta có:
$\sum_{cyc}\dfrac{1}{b^2-bc+c^2} \geq\dfrac{9}{2(a^2+b^2+c^2)-ab-bc-ca}$
Do đó điều phải chứng minh:
$3(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)[2(a^2+b^2+c^2)-ab-bc-ca]$.
Theo schur bậc $3$, ta có
$(a+b+c)[2(a^2+b^2+c^2)-ab-bc-ca]=2(a^3+b^3+c^3)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)-3abc \leq 3(a^3+b^3+c^3)$
Do đó nhận xét được chứng minh.
Tiếp tục chứng minh nhận xét $2$:
Với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa đk : $a^2+b^2+c^2=3$ thì:
$(a+b+c)^5 \geq 243abc$
Thật vậy, ta có:
$(a+b+c)^6
\\=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca)^3
\\\geq 3^3(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
\\=81(ab+bc+ca)^2
\\\geq 243abc(a+b+c)$
Do đó nhận xét $2$ được chứng minh.
Áp dụng vào ta có: (Coi như $P$ là biểu thức ban đầu)
$P \geq a+b+c+\dfrac{729}{5(a+b+c)^5}
\\\geq 5.\dfrac{a+b+c}{5}+\dfrac{729}{5(a+b+c)^5}
\\\geq 6\sqrt[6]{\dfrac{(a+b+c)^5}{5^5}.\dfrac{729}{5(a+b+c)^5}}
\\=\dfrac{18}{5}$
Dấu '=' khi $a=b=c=1$.
@tranvandong08 @chip thit mo @Nữ Thần Mặt Trăng @Tony Time @Baoriven @Quân Nguyễn 209 @W_Echo74 @kingsman(lht 2k2) @huonggiangnb2002 ,.. Các bạn tham khảo nhé.
. Nếu khó quá thì bảo mình chữa nhé.
