[Toán 12]-1 số bài logarit- hàm số mũ

[hoangtrungneo]

Bài này đã giải như đây

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=32694&page=4

Tớ nhớ cậu cũng giải rồi mà

\Rightarrow Bài này tớ chưa giải ra đúng đáp số của sách ra. Vậy nên nhân có bài tập bên trên cũng cùng dạng nên mình muốn nhờ các bạn khác giải chi tiết hộ bài này. Mong nhận đc bài làm chi tiết từ các bạn! Thanks!

 

[hoangtrungneo]

Bài giải trên đoạn suy ra [TEX]m\geq 4[/TEX] là sai vì x chưa lớn 0 để dùng cô-si

Mình giải bài trên như sau:
ĐKXĐ: [TEX]x>-1;mx>0,x\neq 0[/TEX]
pt đã cho tương đương
[TEX]mx=(x+1)^2 \Leftrightarrow x^2+x(2-m)+1=0[/TEX](1)
[TEX]\Delta = m^2-4m[/TEX]
Với [TEX]m<0 \to[/TEX] pt (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
Suy ra [TEX]m.x_1<0;m.x_2<0[/TEX] (loại)
[TEX]m=0\to mx=0[/TEX](Loại)
[TEX]m>4 \to[/TEX] pt(1) có 2 nghiệm âm phân biệt
[TEX]\to m.x_1<0;m.x_2<0[/TEX] (loại)
[TEX]m=4 \to[/TEX] pt(1) có nghiệm duy nhất [TEX]x=1[/TEX]
Thay vào thấy thỏa mãn
Vậy [TEX]m=4[/TEX]

\Rightarrow Tớ thấy bài cậu lập luận thật chặt chẽ
Tuy nhiên chỉ có phần: Đã có điều kiện : [TEX]x>-1;mx>0[/TEX] thì đã lồng luôn vào điều kiện [TEX]x\neq 0[/TEX]

 

[eternal_fire]

\Rightarrow Tớ thấy bài cậu lập luận thật chặt chẽ
Tuy nhiên chỉ có phần: Đã có điều kiện : [TEX]x>-1;mx>0[/TEX] thì đã lồng luôn vào điều kiện [TEX]x\neq 0[/TEX]

Đó là tớ chỉ nên đkxđ chứ chưa giải,nên vẫn phải để [TEX]x\neq 0[/TEX]

 

[yenngocthu]

hôm trước đọc trong 1 quyển sách có 1 bài logarit cũng hay post lên cho mọi ngưòi giải thử nha
[TEX]log_2^{2x}+log_2\frac x4=5log_x8-25(log_x2)^2[/TEX]

hem pác nèo làm bài này sao
hay lém đó các pác thử làm đi
nếu các pác chê bài này dễ quá thì tối mình qua làm vậy^^

 

[giangln.thanglong11a6]

hôm trước đọc trong 1 quyển sách có 1 bài logarit cũng hay post lên cho mọi ngưòi giải thử nha
[TEX]log_2^{2x}+log_2\frac{x}{4}=5log_{x}{8}-25(log_{x}{2})^2[/TEX]

ĐK: [TEX]x>0, x\neq 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (log_2x)^2+log_{2}{x}-2=\frac{15}{log_{2}{x}}-\frac{25}{({log_{2}{x})^2}[/TEX]

Đặt [TEX]log_2x=t[/TEX]. PT [TEX]\Leftrightarrow t^2+t-2=\frac{15}{t}-\frac{25}{t^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t^4+t^3-2t^2-15t+25=0[/TEX].

[TEX]\Leftrightarrow t(t-1)^2+t^4-16t+25=0[/TEX].

Do [TEX]t^4+25=t^4+\frac{25}{3}+\frac{25}{3}+\frac{25}{3} \geq 4 \sqrt[4]{t^4.\frac{25}{3}.\frac{25}{3}.\frac{25}{3}} > 16 \mid t \mid \geq 16t [/TEX]

nên VT của PT>0. PT vô nghiệm.

 

[quang1234554321]

ĐK: [TEX]x>0, x\neq 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (log_2x)^2+log_{2}{x}-2=\frac{15}{log_{2}{x}}-\frac{25}{({log_{2}{x})^2}[/TEX]

Đặt [TEX]log_2x=t[/TEX]. PT [TEX]\Leftrightarrow t^2+t-2=\frac{15}{t}-\frac{25}{t^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t^4+t^3-2t^2-15t+25=0[/TEX].

[TEX]\Leftrightarrow t(t-1)^2+t^4-16t+25=0[/TEX].

Do [TEX]t^4+25=t^4+\frac{25}{3}+\frac{25}{3}+\frac{25}{3} \geq 4 \sqrt[4]{t^4.\frac{25}{3}.\frac{25}{3}.\frac{25}{3}} > 16 \mid t \mid \geq 16t [/TEX]

nên VT của PT>0. PT vô nghiệm.

Ở đây ko có ĐK [TEX]t>0[/TEX] , nên cái chỗ suy ra [TEX]VT > 0[/TEX] là sai
Đặt [TEX]VT=f(t)[/TEX] .Ta tính [TEX]f''(t) =12t^2+6t-4[/TEX]
Dễ thấy [TEX]f''(t)[/TEX] có 2 nghiệm nên [TEX]f'(t)[/TEX] có 3 nghiệm [TEX] \Rightarrow f(t)[/TEX] có 4 nghiệm . Do hàm số liên tục từ [TEX] - \infty -> + \infty [/TEX]

Còn việc tìm nghiệm của PT này có thể Phân tích thành nhần tử ( mệt ) . Hoặc bấm máy tính

 

[giangln.thanglong11a6]

Ở đây ko có ĐK [TEX]t>0[/TEX] , nên cái chỗ suy ra [TEX]VT > 0[/TEX] là sai
Đặt [TEX]VT=f(t)[/TEX] .Ta tính [TEX]f''(t) =12t^2+6t-4[/TEX]
Dễ thấy [TEX]f''(t)[/TEX] có 2 nghiệm nên [TEX]f'(t)[/TEX] có 3 nghiệm [TEX] \Rightarrow f(t)[/TEX] có 4 nghiệm . Do hàm số liên tục từ [TEX] - \infty -> + \infty [/TEX]

Còn việc tìm nghiệm của PT này có thể Phân tích thành nhần tử ( mệt ) . Hoặc bấm máy tính

Đúng là bài của tôi còn xét thiếu TH t<0. Nhưng trong TH này PT vẫn vô nghiệm.

Còn ông cho rằng PT có 4 nghiệm là đã hiểu sai hoàn toàn về định lí Lagrange. Nếu f'(x)=0 có 3 nghiệm thì chỉ có nghĩa là PT f(x)=0 có tối đa 4 nghiệm. Nó hoàn toàn có thể vô nghiệm.

Tôi sẽ viết CM với t<0:

Nếu -1<t<0 thì [TEX]f(t)=t^4+(1+t^3)+2(1-t^2)-16t+22>0[/TEX].

Nếu t<-1 thì [TEX]f(t) = (t-1)(t+1)(t^2+2)-16t+25>0.[/TEX]

Vậy Pt vô nghiệm.

 

[quang1234554321]

ông quang nè với x=0
thì VT= 0
VT= 2 >>>>>>>> nghiệm này sai nhá

có 1 hướng làm ..ông thử cái này coi sao nhá

đặt [tex]u=\sqrt{5^x-2x}[/tex]
[tex]v=\sqrt{2x+1}[/TEX]
[tex] u-v=(u^2-v^2)(u^2+v^2) +2[/tex] .....thử coi sao nhá ...

Hôm nay đọc lại mấy bài này mới thấy potter làm sai :

[TEX] (u^2-v^2)(u^2+v^2) =5^{2x}-4x.5^x-4^x+1[/TEX]

Vì thế chỗ [tex] u-v=(u^2-v^2)(u^2+v^2)+2 [/TEX] là sai .

ông xem lại bài đi nhé

 

[quang1234554321]

Làm lại như sau :

ĐK : [TEX]x \geq - \frac{1}{2} [/TEX] và [TEX] 5^x-2x \geq 0[/TEX]

Đặt [TEX]a = \sqrt[]{5^x-2x} [/TEX] ; [TEX] b= \sqrt[]{2x+1} [/TEX]

Ta có : [TEX]a^2+b^2=5^x+1[/TEX] và [TEX] a^2-b^2=5^x-4x -1[/TEX]

Lại đặt [TEX]m=a^2+b^2[/TEX] ; [TEX]n=a^2-b^2[/TEX] . Ta có :

[TEX]m^2 +n^2 = 2.5^{2x}-8x.5^x +16x^2+8x+2[/TEX]

[TEX]2mn= 2.5^{2x}-8x.5^x-8x-2[/TEX]

Cộng 2 vế : [TEX]m^2+n^2-2mn=16x^2+16x+4[/TEX] [TEX] \Leftrightarrow (m-n)^2=4(x+ \frac{1}{2})^2 [/TEX] .

[TEX] \Leftrightarrow (a^2+b^2 - a^2 + b^2)^2 = 4(x+ \frac{1}{2})^2 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow b^2= x+ \frac{1}{2} [/TEX] ( do [TEX] x \geq -\frac{1}{2} [/TEX] )

[TEX] \Leftrightarrow 2x+1 =x + \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= -\frac{1}{2} [/TEX]

Định hướng thêm cách làm nữa : đánh giá 2 vế với [TEX] x > - \frac{1}{2} [/TEX] và [TEX] x < - \frac{1}{2} [/TEX] xem

 

[ctsp_a1k40sp]

chưa kiểm tra lời giải nhưng đáp số sai rồi Quang ạ

 

[yenngocthu]

ĐK: [TEX]x>0, x\neq 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (log_2x)^2+log_{2}{x}-2=\frac{15}{log_{2}{x}}-\frac{25}{({log_{2}{x})^2}[/TEX]

Đặt [TEX]log_2x=t[/TEX]. PT [TEX]\Leftrightarrow t^2+t-2=\frac{15}{t}-\frac{25}{t^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t^4+t^3-2t^2-15t+25=0[/TEX].

[TEX]\Leftrightarrow t(t-1)^2+t^4-16t+25=0[/TEX].

Do [TEX]t^4+25=t^4+\frac{25}{3}+\frac{25}{3}+\frac{25}{3} \geq 4 \sqrt[4]{t^4.\frac{25}{3}.\frac{25}{3}.\frac{25}{3}} > 16 \mid t \mid \geq 16t [/TEX]

nên VT của PT>0. PT vô nghiệm.

giang thanglong đã đến gần đích nhưng tiếc là..../

ĐK: 0<x#1
đặt [TEX]log_2x=t [/TEX]
ta có pt
[TEX]t^2+t-2=\frac{15}{t} -\frac{25}{t^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t^4+t^3-2t^2-15t-25=0[/TEX]
đặt a=5 ta có pt: [TEX]t^4+t^3-2t^2-3a.t-a^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+3a.t-t^2(t^2-t+2)=0[/TEX]
đén đây coi pt này là pt bậc 2 ản a
giải tiếp ta dược nghiệm [TEX]x=2^{\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/TEX]
và[TEX]x=2^{\frac{1-\sqrt{21}}{2}[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

giang thanglong đã đến gần đích nhưng tiếc là..../

ĐK: 0<x#1
đặt [TEX]log_2x=t [/TEX]
ta có pt
[TEX]t^2+t-2=\frac{15}{t} -\frac{25}{t^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t^4+t^3-2t^2-15t+25=0[/TEX]
đặt a=5 ta có pt: [TEX]t^4+t^3-2t^2-3a.t+a^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+3a.t-t^2(t^2-t+2)=0[/TEX]
đén đây coi pt này là pt bậc 2 ản a
giải tiếp ta dược nghiệm [TEX]x=2^{\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/TEX]
và[TEX]x=2^{\frac{1-\sqrt{21}}{2}[/TEX]

Xem ra cậu cũng bị nhầm rồi. Nếu PT ẩn t có nghiệm [TEX]t=\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/TEX] thì nó phải có dạng [TEX]t^4+t^3-2t^2-15t-25=0[/TEX]. Tức là trước 25 phải là dấu trừ cơ. Không tin kiểm tra lại xem.

 

[yenngocthu]

Xem ra cậu cũng bị nhầm rồi. Nếu PT ẩn t có nghiệm [TEX]t=\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/TEX] thì nó phải có dạng [TEX]t^4+t^3-2t^2-15t-25=0[/TEX]. Tức là trước 25 phải là dấu trừ cơ. Không tin kiểm tra lại xem

sr chắc do enterfile sửa nhầm đề của tớ rồi chính xác thì đó phải là dấu trừ

 

[yenngocthu]

1 bài có từ lâu nhưng giờ mới có lời giải.

[TEX]2.11^x+18^x=4^x(2^x+3^x+5^x)[/TEX], thử làm xem..............................

Chắc tại ko ai lật lại mấy trang trước xem đề đc
Lời giải:
xét [TEX]g(t)=t^x[/TEX]
[TEX]g "(t)=x(x-1).t^{x-2}[/TEX]
nhận thấy [TEX]x \in (0,1)[/TEX] thì [TEX]g" <0[/TEX] nên hàm này là hàm lồi
ta có bdt [TEX]g(a)+g(b) \geq 2g(\frac{a+b}{2})[/TEX]
Áp dụng
[TEX]8^x+14^x \geq 2.11^x[/TEX]
[TEX]14^x+18^x \geq 2.16^x[/TEX]
[TEX]12^x+16^x \geq 2.14^x[/TEX]
[TEX]16^x+20^x \geq 2.18^x[/TEX]
cộng lại đc [TEX]VP \geq VT[/TEX]
dấu = khi [TEX]x=1or x=0[/TEX]
Các th còn lại khi [TEX]x \leq 0[/TEX] hay [TEX]x \geq 1[/TEX]
làm tương tự suy ra [TEX]VT \geq VP[/TEX]
Kết luận pt có nghiệm [TEX]x=1or x=0[/TEX]

xin tiếp mấy con logarit cho box thêm sôi nổi ^^&gt;-
[TEX]1,2^2^x+3^2^x=2^x+3^{x+1}+x+1[/TEX]

[TEX]2,4^{1+x}+4^{1-x}=2^x+2^{-x}+3^{1+x}+3^{1-x}[/TEX]

[TEX]3,3^{sin^2x}+3^{cos^2x}=2^x+2^{-x}+2[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

xin tiếp mấy con logarit cho box thêm sôi nổi ^^&gt;-

3)[TEX]3^{sin^2x}+3^{cos^2x}=2^x+2^{-x}+2[/TEX]

Xét [TEX]VT-4=3^{sin^2x}+3^{cos^2x}-3^{sin^2x+cos^2x}-1=(3^{sin^2x}-1)(1-3^{cos^2x}).[/TEX]
Do [TEX]sin^2x[/TEX] và [TEX]cos^2x \geq 0[/TEX] nên [TEX]\left{3^{sin^2x}-1 \geq0 \\1-3^{cos^2x}\leq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT -4 \leq0[/TEX].

Mà [TEX]VP=2^x+\frac{1}{2^x}+2 \geq 2+2=4[/TEX]

\Rightarrow VT \leq 4 \leq VP. Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow x=0.

Do đó PT có nghiệm x=0.

 

[hoahuongduong237]

Giải BPT:
[tex]a,log_{x sqrt{3}}(5x^2-18x+16)>2[/tex]

[TEX]b,log_{2x}{64}+log_{x^2}{16}>3[/tex]

Các cậu thử làm nhé!

 

[giangln.thanglong11a6]

Giải BPT:
[tex]a,log_{x sqrt{3}}(5x^2-18x+16)>2[/tex]

ĐK: [TEX]\left{x>0\\x \neq \frac{\sqrt3}{3}\\ \left[x>2\\x<\frac85[/TEX]

Xét 2 TH:

-TH1: [TEX]x>\frac{\sqrt3}{3}[/TEX]. BPT [TEX]\Leftrightarrow 5x^2-18x+16>(x sqrt{3})^2 \Leftrightarrow \left[x<1\\x>8[/TEX]

Kết hợp ĐK [TEX]\Rightarrow x \in (\frac{\sqrt3}{3};1) \cup (8;+\infty)[/TEX]

-TH2: [TEX]0<x<\frac{\sqrt3}{3}[/TEX]. BPT [TEX]\Leftrightarrow 5x^2-18x+16<3x^2 \Leftrightarrow 1<x<8[/TEX] không thoả mãn ĐK.

Vậy BPT có nghiệm [TEX]\Rightarrow x \in (\frac{\sqrt3}{3};1) \cup (8;+\infty)[/TEX]

Giải BPT:
[TEX]b,log_{2x}{64}+log_{x^2}{16}>3[/tex]

ĐK:[TEX] \left{x>0\\x \neq \frac12 \\x\neq 1[/TEX]

Đặt [TEX]log_2x=t[/TEX]. BPT [TEX]\Leftrightarrow \frac{6}{t+1}+\frac{2}{t}>3 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[0<t<2\\-1<t<-\frac13[/TEX][TEX]\Leftrightarrow \left[1<x<4\\\frac12<x<\frac{1}{\sqrt[3]2}[/TEX]

 

[a_m]

tớ gớp bài này: TÌm GTNN của h/s

 

[kachia_17]

tớ gớp bài này: TÌm GTNN của h/s

[tex]y=\lef\mid\log_{x^2+1}({3-x^2)}+\log_{3-x^2}{(x^2+1)}\mid\right[/tex]

 

[potter.2008]

[tex]y=\lef\mid\log_{x^2+1}({3-x^2)}+\log_{3-x^2}{(x^2+1)}\mid\right[/tex]

Nhận thấy tích hai logarit là một hằng số ..ta dùng BĐT Cô-Si để làm ..( chỗ này hem có

nháp )