[Toán 12]-1 số bài logarit- hàm số mũ

[giangln.thanglong11a6]

xin tiếp mấy con logarit cho box thêm sôi nổi ^^>-
[TEX]1,2^2^x+3^2^x=2^x+3^{x+1}+x+1[/TEX]

[TEX]2,4^{1+x}+4^{1-x}=2^x+2^{-x}+3^{1+x}+3^{1-x}[/TEX]

Bài 1: Xét [TEX]x \in (-\infty;0] \cup [1;+\infty)[/TEX]

Theo BĐT Bernoulli ta có [TEX]2^x \geq x+1[/TEX](có thể chứng minh bằng cách khảo sát hàm số).

Do đó [TEX]2^2^x \geq 2^{x+1} =2^x+2^x \geq 2^x+x+1[/TEX].
[TEX]3^2^x\geq3^{x+1}.[/TEX]
\Rightarrow VT \geq VP. Đẳng thức xảy ra khi [TEX]\left[x=0\\x=1[/TEX].
Lại xét với [TEX]x \in (0;1)[/TEX]. Theo BĐT Bernoulli ta có [TEX]2^x< x+1[/TEX] và do đó VT<VP.
Do đó PT chỉ có 2 nghiệm 0 và 1.

Bài 2: PT [TEX]\Leftrightarrow 4(4^x+\frac{1}{4^x})=2^x+\frac{1}{2^x}+3(3^x+\frac{1}{3^x})[/TEX]

Dễ thấy nếu PT có nghiệm [TEX]x_0[/TEX] thì nó cũng có nghiệm [TEX]{-x_0}[/TEX]. Do đó ta có thể giả sử x\geq 0.
Từ đó PT [TEX]\Leftrightarrow (4^x-2^x)(1-\frac{1}{4^x.2^x})+3(4^x-3^x)(1-\frac{1}{4^x.3^x})=0[/TEX]

Với ĐK x \geq 0 thì VT \geq 0. Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow x=0. Đây là nghiệm duy nhất của PT.

 

[thong1990nd]

cách 2 bài 1 của bạn yenngocthu ,
[TEX]x.2^x=x(3-x)+2(2^x-1)[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]x.2^x=3x-x^2+2.2^x-2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^2+(2^x-3)x+2-2.2^x=0[/TEX]
có delta = [TEX](2^x+1)^2[/TEX]\Rightarrow x= 2 và [TEX]x= 1-2^x[/TEX] (2)
nhận thấy x=0 là nghiệm duy nhất của (2)
Vậy PT có 2 nghiệm x=0,x=2
tớ làm đúng để rôi mà bạn đây là bài 1 ở trang 1 cơ mà

 

[giangln.thanglong11a6]

Nhân đây tớ muốn hỏi 2 bài GPT:

Bài 1: GPT[TEX] \red 8.27^x-38.18^x+57.12^x-27=0[/TEX]

Bài 2: GPT [TEX]\red ln(cotx)=\frac{cos2x}{2}[/TEX]

 

[hoahuongduong237]

Giải phương trình:
a.[tex]2x^2-6x+2=log_2\frac{2x+1}{(x-1)^2[/tex]
b.[tex]\frac{3}{log_2(x+1)}>\frac{2}{log_3(x+1)[/tex]

 

[giangln.thanglong11a6]

Giải phương trình:
a.[tex]2x^2-6x+2=log_2[\frac{2x+1}{(x-1)^2}][/tex]
b.[tex]\frac{3}{log_2(x+1)}>\frac{2}{log_3(x+1)}[/tex]

a) ĐK: [TEX]x>-\frac{1}{2}[/TEX] và [TEX]x \neq 1[/TEX].

BPT [TEX]\Leftrightarrow 2x^2-6x+2=log_2[\frac{2x+1}{2(x-1)^2}]+1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2(x-1)^2-(2x+1)=log_2[\frac{2x+1}{2(x-1)^2}][/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2(x-1)^2+log_2[2(x-1)^2]=2x+1+log_2(2x+1)[/TEX]

Xét hàm số [TEX]f(t)=t+log_2t[/TEX] với t>0. Ta có f(t) đồng biến trên[TEX] (0;+\infty)[/TEX]
Mà [TEX]f(2(x-1)^2)=f(2x+1) \Leftrightarrow 2(x-1)^2=2x+1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt7}{2}[/TEX]

b) ĐK:[TEX]x \neq 0[/TEX] và x>-1

Ta có [TEX]log_2(x+1)=\frac{log_3(x+1)}{log_32}[/TEX]

Do đó BPT [TEX]\Leftrightarrow \frac{3log_32}{log_3(x+1)}>\frac{2}{log_3(x+1)}[/TEX]

Nếu x>0 thì [TEX]log_3(x+1)>0[/TEX]. BPT [TEX]\Leftrightarrow 3log_32>2[/TEX] vô nghiệm

Nếu x<0 thì [TEX]log_3(x+1)<0[/TEX]. BPT [TEX]\Leftrightarrow 3log_32<2[/TEX] đúng \forall x.

Vậy BPT có nghiệm -1<x<0.

 

[hoahuongduong237]

Giải phương trình:
a.[tex]2x^2-6x+2=log_2\frac{2x+1}{(x-1)^2[/tex]
b.[tex]\frac{3}{log_2(x+1)}>\frac{2}{log_3(x+1)[/tex]

PT\Leftrightarrow[TEX]\frac{2x+1}{(x-1)^2}=2^{2x^2-6x+2}[/tex]
Đặt [tex]f(x)=\frac{2x+1}{(x-1)^2};g(x)=2^{2x^2-6x+2}[/tex]
Đạo hàm xét khoảng được :
[tex]f(x)\geq f(0),g(x)\geq g(3)[/tex]-->x=0(sai rùi)
không biết tớ sai ở đâu?Tớ tin hướng làm là đúng.

 

[giangln.thanglong11a6]

Đặt [tex]f(x)=\frac{2x+1}{(x-1)^2}[/tex]
Đạo hàm xét khoảng được :
[tex]f(x)\geq f(0)[/tex]

Cậu sai ở chỗ này. f(x) không liên tục trên R mà nó bị gián đoạn tại x=1. Do đó viết [TEX]f(x) \geq f(0)[/TEX] là sai.

 

[hoahuongduong237]

ờ ....sai rùi nhưng trong bài của cậu mình không hiểu lắm chỗ này:
[tex]f(2(x-1)^2)=f(2x+1)[/tex]??

P/S:trong bài làm của mình phải sửa sao cho đúng hả cậu?

 

[giangln.thanglong11a6]

ờ ....sai rùi nhưng trong bài của cậu mình không hiểu lắm chỗ này:
[tex]f(2(x-1)^2)=f(2x+1)[/tex]??

P/S:trong bài làm của mình phải sửa sao cho đúng hả cậu?

Xét [TEX]f(t)=t+log_2t[/TEX] là hàm đồng biến.
Theo PT ta có [TEX]2(x-1)^2+log_2[2(x-1)^2]=(2x+1)+log_2(2x+1)[/TEX]. Tức là [TEX]f(2(x-1)^2)=f(2x+1)[/TEX].
Do tính chất của hàm đồng biến suy ra [TEX]2(x-1)^2=2x+1[/TEX]

PS: Tớ không biết cách sửa chỗ đó... cách làm của cậu tớ vẫn chưa xem kĩ.

 

[hoahuongduong237]

Xét [TEX]f(t)=t+log_2t[/TEX] là hàm đồng biến.
Theo PT ta có [TEX]2(x-1)^2+log_2[2(x-1)^2]=(2x+1)+log_2(2x+1)[/TEX]. Tức là [TEX]f(2(x-1)^2)=f(2x+1)[/TEX].
Do tính chất của hàm đồng biến suy ra [TEX]2(x-1)^2=2x+1[/TEX]

PS: Tớ không biết cách sửa chỗ đó... cách làm của cậu tớ vẫn chưa xem kĩ.

Trời ơi công nhận lú lẫn thật rồi,đơn giản vậy mà không thấy.Cám ơn nhiều nha
Đồng thời kiểm tra giúp lỗi sai của bài sau luôn:
[TEX]\left\{\begin x.y=16 \\ log_4x-log_xy=7/6\right.[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left\{\begin x=\frac{16 }{y}\\ 2-log_4y-\frac{log_4y}{2-log_4y}=\frac{7}{6}\right.[/TEX]
\Leftrightarrow[tex]\left{\begin x=\frac{16}{y}\\ 6log^2_4y-23log_4y+10=0\right.[/tex]
\Leftrightarrow[TEX]\left\{\begin x=\frac{16 }{y}\\ log_4y=\frac{10}{3} V log_4y= \frac{1}{2}\right.[/TEX]

 

[kachia_17]

[TEX]\left\{\begin x.y=16 \\ log_4x-log_xy=7/6\right.[/TEX]

Điều kiện
[tex]\left {\begin{array} 1\not = x> 0 \\ y>0 \end{array}\right. \\ \ \\ \ \\ \left {\begin{array} x=\frac {16}{y} \\ log_4x-\frac {log_4y}{log_4x}=\frac 76 \end{array} \right. \\ \ \\ \ \\ \Leftrightarrow \left {\begin{array} x=\frac{16}{y} \\ log_4{\frac {16}{y}}-\frac{log_4y}{log_4{\frac {16}{y}}}=\frac 76 \end{\array} \right. \\ \ \\ \ \\ \Leftrightarrow \left{\begin{array} x=\frac{16}{y} \\ 2-log_4y-\frac{log_4y}{2-log_4y}=\frac 76 \end{array} \right. \\ \ \\ \ \\ \Leftrightarrow \lef{\begin{array} x=\frac{16}{y} \\ (2-log_4y)^2-log_4y=\frac 76(2-log_4y) \end{array}\right. \\ \ \\ \ \\ \Leftrightarrow \left[\begin{array} \left{\begin{array} y=4^{\frac{10}{3}} \\ x=\frac{1}{4\sqrt[3]{4}} \end{array}\right. \\ \left{\begin{array} y=4^{\frac 12} \\ x=8 \end{array}\right. \end{array}\right. [/tex]

Đáp số đúng rồi nhé ( không sai đâu ), anh đã thử lại .

 

[kachia_17]

Giúp mình với
Giải pt : [tex](20+14\sqrt 2)^x + (20-14\sqrt 2)^x = 8^x +1[/tex]

Phương trình đã cho tương đương với:
[tex](20+14\sqrt 2)^x + (20-14\sqrt 2)^x =[(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)] ^x +1 \\ \Leftrightarrow (20+14\sqrt 2)^x - [(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)] ^x + (20-14\sqrt 2)^x -1 =0 \\ \Leftrightarrow (20+14\sqrt 2)^x [1- (20-14\sqrt2)^x] -[1- (20-14\sqrt2)^x] \\ \Leftrightarrow [1- (20-14\sqrt2)^x][(20+14\sqrt 2)^x-1]=0 \\ \Leftrightarrow \lef[\begin{(20-14\sqrt2)^x =1}\\{(20+14\sqrt 2)^x -1}[/tex]
Tới đây là phương trình cơ bản , em giải tiếp nhé

 

[nguyenminh44]

Nhân đây tớ muốn hỏi 2 bài GPT:


Bài 2: GPT [TEX]\red ln(cotx)=\frac{cos2x}{2}[/TEX]

@ giangln.thanglong11a6 : Thì ra hôm trước em nói bài này à ? ^^

TXĐ [TEX]cotx>0[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow ln(cot^2x) =1-2sin^2x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ln(\frac{1}{sin^2x}-1)=1-2sin^2x[/TEX]

Đặt[TEX] t=\frac{1}{sin^2x} \ \geq 1[/TEX] ta có

[TEX]f(t)=ln(t-1)+\frac{2}{t}-1=0[/TEX]

[TEX]f'(t)=\frac{1}{t-1}-\frac{2}{t^2}=\frac{t^2-2t+2}{t^2(t-1)} > 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(t)[/TEX] đồng biến [TEX]\Rightarrow[/TEX] phương trình có nghiệm duy nhất [TEX]t=2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow sin^2x=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[thong1990nd]

Đoạn đó biến đổi sai chỗ nảo nhỉ :-? :-? :-? :-? :-? :-?

bạn làm đúng rồi mình đã xem rất kĩ , bạn chỉ nhầm ở chỗ [TEX](log_4x)^2=log_4x [/TEX]thôi

 

[thong1990nd]

Đoạn biến đổi này sai


Đặt [TEX]log_4x=a[/TEX] thì tao có [TEX]log_2x=2a[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow (log_3a)^2=log_3 2a[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow(log_3a)^2=log_3a+log_32[/TEX]

đến dây giải pt bậc 2 ẩn [TEX]log_3a[/TEX]

eternal sai ở chõ nào bạn thử chỉ xem@-)fgggggggggggggggggggggg

 

[thong1990nd]

ông quang nè với x=0
thì VT= 0
VT= 2 >>>>>>>> nghiệm này sai nhá

có 1 hướng làm ..ông thử cái này coi sao nhá

đặt [tex]u=\sqrt{5^x-2x}[/tex]
[tex]v=\sqrt{2x+1}[/TEX]
[tex] u-v=(u^2-v^2)(u^2+v^2) +2[/tex] .....thử coi sao nhá ...

bạn cũng làm sai rồi đặt ẩn như vậy khi khai triển về PT ẩn x như cũ sẽ ko giống như PT đầu [TEX]\sqrt[]{5^x-2x}-\sqrt[]{2x+1}=1+4x+4x.5^x+5^(2x)[/TEX]

 

[quang1234554321]

bạn cũng làm sai rồi đặt ẩn như vậy khi khai triển về PT ẩn x như cũ sẽ ko giống như PT đầu [TEX]\sqrt[]{5^x-2x}-\sqrt[]{2x+1}=1+4x+4x.5^x+5^(2x)[/TEX]

à bài này hả cậu. Potter giải sai hoàn toàn rồi . Cái sai này tớ đã lôi ra từ lâu rồi còn gì . Bạn lật lại mấy trang trước xem nhé

 

[thong1990nd]

5,[TeX]\large\frac{\log_2(2\sin{x})-\frac{1}{2}\log_2{3}}{\log_3(6+3\cos{2x})+\log_3{2}}=1[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow \large\frac{\log_2(2\sin{x})-\log_2{3}^{\frac{1}{2}}}{\log_3(6+3\cos{2x})+\log_3{2}}=1[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow \large\frac{\log_2(\frac{2\sin{x}}{{3}^{\frac{1}{2}}})}{\log_3(12+6\cos{2x})}=1[/TeX]
[tex]\Leftrightarrow \large\log_2(\frac{2\sin{x}}{3^{\frac{1}{2}}}) = \large\log_3(12+6\cos{2x}) [/tex]

đánh giá hai vế với cos2x>-1 và sinx<1 cho từng vế >>>>>>>Pt vô nghiệm


Hoàn thành nốt bài cuối cùng :
4,[TeX]\large\frac{1}{4}+\log_2(\cos{x}).\log_2(2\cos{x})=\log_3(\text{tg}x).\log_2(2\cos^2{x})[/TeX]
[TeX]\Rightarrow VT = \large\frac{1}{4}+\log_2(\cos{x}).+ \log_2{(\cos{x})}^2[/tex]
[TeX]\Leftrightarrow VT = {(\frac{1}{2}+\log_2(\cos{x}))}^2[/tex]
[TeX]\Rightarrow VP = \large \log_3(\text{tg}x)(1+ 2\log_2(\cos{x}))[/TeX]

VT= VP ta thấy có nhân tử chung [tex]1+ 2\log_2(\cos{x})[/tex] sau đó giải ..còn một TH nữa :
[TeX]\Rightarrow \large \log_3(\text{tg}x)=(\frac{1}{2}+\log_2(\cos{x}))[/tex]
cái này chuyển đổi cơ số để giải ...cái này các bạn tự làm nhá

bạn potter sai bài 5 nha phần biến đổi thì đúng nhưng PT này vẫn có nghiệm đấy nhưng tôi ko mò đc thôi
từ phần cuối đặt [TEX]t=log_2(\frac{2sinx}{\sqrt[]{3}})[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{2sinx}{\sqrt[]{3}}=2^t[/TEX]\Rightarrow [TEX]sinx=\frac{2^t\sqrt[]{3}}{2}[/TEX] [TEX](1)[/TEX]
[TEX]t=log_3(12+6cos2x)[/TEX]\Rightarrow [TEX]12+6(1-2sin^2x)=3^t[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]18-12sin^2x=3^t[/TEX] [TEX](2)[/TEX]
thay [TEX](1)[/TEX] vào [TEX](2)[/TEX] có [TEX]18-9.4^t=3^t[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]9.4^t+3^t-18=0[/TEX]
có [TEX]f(0)<0 [/TEX]và [TEX]f(1)>0[/TEX] \Rightarrow [TEX]f(0).f(1)<0[/TEX]\Rightarrow PT luôn có nghiệm thuộc [TEX](0;1)[/TEX]
còn bài 4 tôi cũng nghi ông giải sai nốt

 

[hoahuongduong237]

1.GPT:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{y}+2logx=3 \\ y-3logx^2=1 \ \end{array} \right.[/tex]
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{l} y=(3-logx)^2 \\ (3-2logx)^2-3logx^2=1\ \end{array} \right.[/tex]
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{ y=(3-logx)^2 \\ \left[\begin{logx=4}\\{logx=\frac{1}{2} \right.[/tex]
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\[\begin{x=10^4,y=25}\\{x=10,y=4 \right.[/tex]
C2:
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{l} logx=\frac{3-\sqrt{y}}{2} \\ y+3\sqrt{y}-10=0\ \end{array} \right.[/tex]
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{l} x=10\\y=4\ \end{array} \right.[/tex]
-->2 cách làm ra 2 kết quả,không biết cách (1) sai ở đâu??

 

[kachia_17]

1.GPT:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{y}+2logx=3 \\ y-3logx^2=1 \ \end{array} \right.[/tex]
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{l} y=(3-logx)^2 \\ (3-2logx)^2-3logx^2=1\ \end{array} \right.[/tex]
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{ y=(3-logx)^2 \\ \left[\begin{logx=4}\\{logx=\frac{1}{2} \right.[/tex]
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\[\begin{x=10^4,y=25}\\{x=10,y=4 \right.[/tex]
C2:
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{l} logx=\frac{3-\sqrt{y}}{2} \\ y+3\sqrt{y}-10=0\ \end{array} \right.[/tex]
[tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{l} x=10\\y=4\ \end{array} \right.[/tex]
-->2 cách làm ra 2 kết quả,không biết cách (1) sai ở đâu??

Xin lỗi nhé, giờ mới trả lời bạn được.
Cách 1 của bạn đã sai.
Lý do : khi chuyển vế phương trình thứ nhất cậu bình phương nhưng không kèm điều kiện : hai vế phải dương, dẫn tới nghiệm không chính xác, có thể thay lại nghiệm sẽ thấy.Ok nhé.