[Toán 12]-1 số bài logarit- hàm số mũ

Thảo luận trong 'HS lũy thừa, mũ và lôgarit' bắt đầu bởi yenngocthu, 1 Tháng mười 2008.

Lượt xem: 42,620

  1. Bài 1: Xét [TEX]x \in (-\infty;0] \cup [1;+\infty)[/TEX]

    Theo BĐT Bernoulli ta có [TEX]2^x \geq x+1[/TEX](có thể chứng minh bằng cách khảo sát hàm số).

    Do đó [TEX]2^2^x \geq 2^{x+1} =2^x+2^x \geq 2^x+x+1[/TEX].
    [TEX]3^2^x\geq3^{x+1}.[/TEX]
    \Rightarrow VT \geq VP. Đẳng thức xảy ra khi [TEX]\left[x=0\\x=1[/TEX].
    Lại xét với [TEX]x \in (0;1)[/TEX]. Theo BĐT Bernoulli ta có [TEX]2^x< x+1[/TEX] và do đó VT<VP.
    Do đó PT chỉ có 2 nghiệm 0 và 1.

    Bài 2: PT [TEX]\Leftrightarrow 4(4^x+\frac{1}{4^x})=2^x+\frac{1}{2^x}+3(3^x+\frac{1}{3^x})[/TEX]

    Dễ thấy nếu PT có nghiệm [TEX]x_0[/TEX] thì nó cũng có nghiệm [TEX]{-x_0}[/TEX]. Do đó ta có thể giả sử x\geq 0.
    Từ đó PT [TEX]\Leftrightarrow (4^x-2^x)(1-\frac{1}{4^x.2^x})+3(4^x-3^x)(1-\frac{1}{4^x.3^x})=0[/TEX]

    Với ĐK x \geq 0 thì VT \geq 0. Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow x=0. Đây là nghiệm duy nhất của PT.
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng một 2009
  2. thong1990nd

    thong1990nd Guest

    cách 2 bài 1 của bạn yenngocthu ,
    [TEX]x.2^x=x(3-x)+2(2^x-1)[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]x.2^x=3x-x^2+2.2^x-2[/TEX]
    \Leftrightarrow [TEX]x^2+(2^x-3)x+2-2.2^x=0[/TEX]
    có delta = [TEX](2^x+1)^2[/TEX]\Rightarrow x= 2 và [TEX]x= 1-2^x[/TEX] (2)
    nhận thấy x=0 là nghiệm duy nhất của (2)
    Vậy PT có 2 nghiệm x=0,x=2
    tớ làm đúng để rôi mà bạn đây là bài 1 ở trang 1 cơ mà:D
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng một 2009
  3. Nhân đây tớ muốn hỏi 2 bài GPT:

    Bài 1: GPT[TEX] \red 8.27^x-38.18^x+57.12^x-27=0[/TEX]

    Bài 2: GPT [TEX]\red ln(cotx)=\frac{cos2x}{2}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng một 2009
  4. Giải phương trình:
    a.[tex]2x^2-6x+2=log_2\frac{2x+1}{(x-1)^2[/tex]
    b.[tex]\frac{3}{log_2(x+1)}>\frac{2}{log_3(x+1)[/tex]
     
  5. a) ĐK: [TEX]x>-\frac{1}{2}[/TEX] và [TEX]x \neq 1[/TEX].

    BPT [TEX]\Leftrightarrow 2x^2-6x+2=log_2[\frac{2x+1}{2(x-1)^2}]+1[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow 2(x-1)^2-(2x+1)=log_2[\frac{2x+1}{2(x-1)^2}][/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow 2(x-1)^2+log_2[2(x-1)^2]=2x+1+log_2(2x+1)[/TEX]

    Xét hàm số [TEX]f(t)=t+log_2t[/TEX] với t>0. Ta có f(t) đồng biến trên[TEX] (0;+\infty)[/TEX]
    Mà [TEX]f(2(x-1)^2)=f(2x+1) \Leftrightarrow 2(x-1)^2=2x+1 [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt7}{2}[/TEX]

    b) ĐK:[TEX]x \neq 0[/TEX] và x>-1

    Ta có [TEX]log_2(x+1)=\frac{log_3(x+1)}{log_32}[/TEX]

    Do đó BPT [TEX]\Leftrightarrow \frac{3log_32}{log_3(x+1)}>\frac{2}{log_3(x+1)}[/TEX]

    Nếu x>0 thì [TEX]log_3(x+1)>0[/TEX]. BPT [TEX]\Leftrightarrow 3log_32>2[/TEX] vô nghiệm

    Nếu x<0 thì [TEX]log_3(x+1)<0[/TEX]. BPT [TEX]\Leftrightarrow 3log_32<2[/TEX] đúng \forall x.

    Vậy BPT có nghiệm -1<x<0.
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng một 2009
  6. PT\Leftrightarrow[TEX]\frac{2x+1}{(x-1)^2}=2^{2x^2-6x+2}[/tex]
    Đặt [tex]f(x)=\frac{2x+1}{(x-1)^2};g(x)=2^{2x^2-6x+2}[/tex]
    Đạo hàm xét khoảng được :
    [tex]f(x)\geq f(0),g(x)\geq g(3)[/tex]-->x=0(sai rùi)
    không biết tớ sai ở đâu?Tớ tin hướng làm là đúng.
     
  7. Cậu sai ở chỗ này. f(x) không liên tục trên R mà nó bị gián đoạn tại x=1. Do đó viết [TEX]f(x) \geq f(0)[/TEX] là sai.
     
  8. ờ ....sai rùi nhưng trong bài của cậu mình không hiểu lắm chỗ này:
    [tex]f(2(x-1)^2)=f(2x+1)[/tex]??

    P/S:trong bài làm của mình phải sửa sao cho đúng hả cậu?
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng một 2009
  9. Xét [TEX]f(t)=t+log_2t[/TEX] là hàm đồng biến.
    Theo PT ta có [TEX]2(x-1)^2+log_2[2(x-1)^2]=(2x+1)+log_2(2x+1)[/TEX]. Tức là [TEX]f(2(x-1)^2)=f(2x+1)[/TEX].
    Do tính chất của hàm đồng biến suy ra [TEX]2(x-1)^2=2x+1[/TEX]

    PS: Tớ không biết cách sửa chỗ đó... cách làm của cậu tớ vẫn chưa xem kĩ.
     
  10. Trời ơi công nhận lú lẫn thật rồi,đơn giản vậy mà không thấy.Cám ơn nhiều nha
    Đồng thời kiểm tra giúp lỗi sai của bài sau luôn:
    [TEX]\left\{\begin x.y=16 \\ log_4x-log_xy=7/6\right.[/TEX]
    \Leftrightarrow[TEX]\left\{\begin x=\frac{16 }{y}\\ 2-log_4y-\frac{log_4y}{2-log_4y}=\frac{7}{6}\right.[/TEX]
    \Leftrightarrow[tex]\left{\begin x=\frac{16}{y}\\ 6log^2_4y-23log_4y+10=0\right.[/tex]
    \Leftrightarrow[TEX]\left\{\begin x=\frac{16 }{y}\\ log_4y=\frac{10}{3} V log_4y= \frac{1}{2}\right.[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng một 2009
  11. kachia_17

    kachia_17 Guest

    Điều kiện
    [tex]\left {\begin{array} 1\not = x> 0 \\ y>0 \end{array}\right. \\ \ \\ \ \\ \left {\begin{array} x=\frac {16}{y} \\ log_4x-\frac {log_4y}{log_4x}=\frac 76 \end{array} \right. \\ \ \\ \ \\ \Leftrightarrow \left {\begin{array} x=\frac{16}{y} \\ log_4{\frac {16}{y}}-\frac{log_4y}{log_4{\frac {16}{y}}}=\frac 76 \end{\array} \right. \\ \ \\ \ \\ \Leftrightarrow \left{\begin{array} x=\frac{16}{y} \\ 2-log_4y-\frac{log_4y}{2-log_4y}=\frac 76 \end{array} \right. \\ \ \\ \ \\ \Leftrightarrow \lef{\begin{array} x=\frac{16}{y} \\ (2-log_4y)^2-log_4y=\frac 76(2-log_4y) \end{array}\right. \\ \ \\ \ \\ \Leftrightarrow \left[\begin{array} \left{\begin{array} y=4^{\frac{10}{3}} \\ x=\frac{1}{4\sqrt[3]{4}} \end{array}\right. \\ \left{\begin{array} y=4^{\frac 12} \\ x=8 \end{array}\right. \end{array}\right. [/tex]

    Đáp số đúng rồi nhé ( không sai đâu ), anh đã thử lại .
     
  12. kachia_17

    kachia_17 Guest


    Phương trình đã cho tương đương với:
    [tex](20+14\sqrt 2)^x + (20-14\sqrt 2)^x =[(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)] ^x +1 \\ \Leftrightarrow (20+14\sqrt 2)^x - [(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)] ^x + (20-14\sqrt 2)^x -1 =0 \\ \Leftrightarrow (20+14\sqrt 2)^x [1- (20-14\sqrt2)^x] -[1- (20-14\sqrt2)^x] \\ \Leftrightarrow [1- (20-14\sqrt2)^x][(20+14\sqrt 2)^x-1]=0 \\ \Leftrightarrow \lef[\begin{(20-14\sqrt2)^x =1}\\{(20+14\sqrt 2)^x -1}[/tex]
    Tới đây là phương trình cơ bản , em giải tiếp nhé :)
     
  13. nguyenminh44

    nguyenminh44 Guest

    @ giangln.thanglong11a6 : Thì ra hôm trước em nói bài này à ? ^^

    TXĐ [TEX]cotx>0[/TEX]

    [TEX]PT \Leftrightarrow ln(cot^2x) =1-2sin^2x[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow ln(\frac{1}{sin^2x}-1)=1-2sin^2x[/TEX]

    Đặt[TEX] t=\frac{1}{sin^2x} \ \geq 1[/TEX] ta có

    [TEX]f(t)=ln(t-1)+\frac{2}{t}-1=0[/TEX]

    [TEX]f'(t)=\frac{1}{t-1}-\frac{2}{t^2}=\frac{t^2-2t+2}{t^2(t-1)} > 0[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow f(t)[/TEX] đồng biến [TEX]\Rightarrow[/TEX] phương trình có nghiệm duy nhất [TEX]t=2[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow sin^2x=\frac{1}{2}[/TEX]
     
  14. thong1990nd

    thong1990nd Guest

    bạn làm đúng rồi mình đã xem rất kĩ , bạn chỉ nhầm ở chỗ [TEX](log_4x)^2=log_4x [/TEX]thôi:D
     
  15. thong1990nd

    thong1990nd Guest

    eternal sai ở chõ nào bạn thử chỉ xem@-)fgggggggggggggggggggggg
     
  16. thong1990nd

    thong1990nd Guest

    bạn cũng làm sai rồi đặt ẩn như vậy khi khai triển về PT ẩn x như cũ sẽ ko giống như PT đầu [TEX]\sqrt[]{5^x-2x}-\sqrt[]{2x+1}=1+4x+4x.5^x+5^(2x)[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng một 2009
  17. à bài này hả cậu. Potter giải sai hoàn toàn rồi :p . Cái sai này tớ đã lôi ra từ lâu rồi còn gì . Bạn lật lại mấy trang trước xem nhé
     
  18. thong1990nd

    thong1990nd Guest

    bạn potter sai bài 5 nha phần biến đổi thì đúng nhưng PT này vẫn có nghiệm đấy nhưng tôi ko mò đc thôi
    từ phần cuối đặt [TEX]t=log_2(\frac{2sinx}{\sqrt[]{3}})[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{2sinx}{\sqrt[]{3}}=2^t[/TEX]\Rightarrow [TEX]sinx=\frac{2^t\sqrt[]{3}}{2}[/TEX] [TEX](1)[/TEX]
    [TEX]t=log_3(12+6cos2x)[/TEX]\Rightarrow [TEX]12+6(1-2sin^2x)=3^t[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]18-12sin^2x=3^t[/TEX] [TEX](2)[/TEX]
    thay [TEX](1)[/TEX] vào [TEX](2)[/TEX] có [TEX]18-9.4^t=3^t[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]9.4^t+3^t-18=0[/TEX]
    có [TEX]f(0)<0 [/TEX]và [TEX]f(1)>0[/TEX] \Rightarrow [TEX]f(0).f(1)<0[/TEX]\Rightarrow PT luôn có nghiệm thuộc [TEX](0;1)[/TEX]
    còn bài 4 tôi cũng nghi ông giải sai nốt:):p:D
     
    Last edited by a moderator: 16 Tháng một 2009
  19. 1.GPT:
    [tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{y}+2logx=3 \\ y-3logx^2=1 \ \end{array} \right.[/tex]
    [tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{l} y=(3-logx)^2 \\ (3-2logx)^2-3logx^2=1\ \end{array} \right.[/tex]
    [tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{ y=(3-logx)^2 \\ \left[\begin{logx=4}\\{logx=\frac{1}{2} \right.[/tex]
    [tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\[\begin{x=10^4,y=25}\\{x=10,y=4 \right.[/tex]
    C2:
    [tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{l} logx=\frac{3-\sqrt{y}}{2} \\ y+3\sqrt{y}-10=0\ \end{array} \right.[/tex]
    [tex]\leftrightarrow[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{l} x=10\\y=4\ \end{array} \right.[/tex]
    -->2 cách làm ra 2 kết quả,không biết cách (1) sai ở đâu??
     
  20. kachia_17

    kachia_17 Guest

    Xin lỗi nhé, giờ mới trả lời bạn được.
    Cách 1 của bạn đã sai.
    Lý do : khi chuyển vế phương trình thứ nhất cậu bình phương nhưng không kèm điều kiện : hai vế phải dương, dẫn tới nghiệm không chính xác, có thể thay lại nghiệm sẽ thấy.Ok nhé.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->