[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[duynhan1]

90,
[TEX]\left{\begin{xy - \sqrt{xy} = 3y-1}\\{\sqrt{(x+1)y} + \sqrt{y+1} = 4\sqrt y} [/TEX]

Tạm xử câu này đã

[TEX]y=0[/TEX], hệ vô nghiệm.

[TEX]y \not= 0 [/TEX], ta có hệ tương đương với:
[TEX]\left{ x - \sqrt{x} . \frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{y} = 3 \\ \sqrt{x+1} + \sqrt{1+\frac{1}{y}} = 4 [/TEX]

[TEX]Dat \ \ \left{ a= \sqrt{x} \\ b = \sqrt{y} \right. \ \ Ta\ co:[/TEX]

[TEX]\left{ a^2 - ab + b^2= 3 (1)\\ \sqrt{a^2+1} + \sqrt{b^2+1} = 4 (2) [/TEX]

[TEX]Tu\ (1) \ \Rightarrow 3 \ge a^2 + b^2 - \frac12(a^2+b^2) =\frac12(a^2+b^2) \Rightarrow a^2 + b^2 \le 6 [/TEX]

[TEX]VT(2) \le \sqrt{2( a^2 + b^2 + 2)} = 4[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow a= b \Rightarrow a=b=\pm \sqrt{3} [/TEX]

 

[duynhan1]

96, Tìm m để hệ có nghiệm x>0, y>0

[TEX]\left{\begin{\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{m}{\sqrt{xy} + 1}\\{x\sqrt{xy} + y\sqrt{yx} = m} [/TEX]

Bài 97 thì chịu rồi!!!

Bài 96:
[TEX]DK : x,y>0[/TEX]
[TEX](hpt) \Rightarrow \frac{x+y}{\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{xy} ( x + y)}{\sqrt{xy}+1} \\ ...\\ \Leftrightarrow xy =( \frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}[/TEX]

Hệ phương trình đã cho tương đương với :
[TEX]\left{ xy = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ x+y = \frac{2m}{1+\sqrt{5}}[/TEX]

x,y là nghiệm của phương trình :
[TEX]X^2 - ( \frac{2m}{1+\sqrt{5}}) X + \frac{3+\sqrt{5}}{2} = 0 (1)[/TEX]

Hệ đã cho có nghiệm x, y>0 khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm dương.
[TEX]\Leftrightarrow \left{ \Delta' \ge 0 \\ S>0 \\ P >0 \right. \Leftrightarrow \left{ \frac{m^2}{6+2 \sqrt{5}} - \frac{3+\sqrt{5}}{2} \ge 0 \\ m>0 \right. \Leftrightarrow m \ge 4( 7 + 3 \sqrt{5}) [/TEX]

 

[kiburkid]

98. Tìm m để bpt sau đúng

99. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

100. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

 

[duynhan1]

98, Tìm m để bpt sau đúng [TEX] \forall x \in (0,1)[/TEX]
[TEX]5.25^x + (m-6).5^{1-x} > 5(m-5)[/TEX]

[TEX]t=5^x, \ x \in (0,1) \Rightarrow t \in (1;5)[/TEX]
[TEX](pt) \Leftrightarrow 5t^2 + \frac{5(m-6)}{t} > 5(m-5) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 5t^2 - \frac{5}{t} > 5(m-5)( 1 - \frac{1}{t} ) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{5t^3 - 5}{t-1} > 5(m-5) (do\ t >1\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{t} > 0 )[/TEX]

Lập bảng biến thiên hàm [TEX]f(t)[/TEX] trong khoảng [TEX](1;5)[/TEX] rồi suy ra giá trị m.

99, Tìm m để phương trình sau có nghiệm
[TEX]\sqrt{x+4\sqrt{x-4}} + \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} = m\sqrt[4]{x-4} - 8[/TEX]

[TEX]t = \sqrt[4]{x-4}. DK : t \ge 0 [/TEX]. Ta có :

[TEX]t^2 + 2 + | t^2 -2 | = mt - 8[/TEX].
Xét khoảng phá trị rồi giải bình thường.

100, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
[TEX]\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} + m\sqrt{1-x^2} - 2\sqrt[4]{1-x^2} = m^3[/TEX]

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ.
Nhận thấy nếu [TEX]x_o[/TEX] là 1 nghiệm của phương trình thì [TEX]{-x_o[/TEX] cũng là 1 nghiệm của phương trình, nên ta có :
Điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là :
[TEX]x_o=-x_o \Leftrightarrow x_o = 0 \Rightarrow 2+m - 2 = m^3 \Leftrightarrow \left[ m=0 \\ m = \pm 1[/TEX]
Điều kiện đủ:
Với m=0 ta có :
[TEX](pt) \Leftrightarrow \sqrt[4]{1+x} - \sqrt[4]{1-x} = 0 \Leftrightarrow x = 0 (thoa)[/TEX]
Với m=1 ta có :
[TEX](pt) \Leftrightarrow (\sqrt[4]{1+x} - \sqrt[4]{1-x})^2 +\sqrt{1-x^2} - 1= 0 [/TEX]
Đặt :
[TEX]\left{ a = \sqrt[4]{1+x} \\b= \sqrt[4]{1-x} [/TEX]. Ta có hệ phương trình:
[TEX]\left{ ( a-b)^2 = 1- a^2 b^2 \\ a^4 + b^4 = 2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ (a-b)^2 = 1-a^2b^2 \\ ( a-b)^4 = - 4ab( (a-b)^2 + 2ab) + 6a^2b^2 + 2[/TEX]

Thế (1) vào (2) giải ra ab sau đó thay vào tìm a-b.
...
Giải ra TH này không thỏa.
Với m=-1 dễ dàng thấy thỏa.

Vậy m=0 và m=-1.

Nhận xét 1: Bài này với TH m=1 giải hơi dài, có thể áp dụng hàm liên tục để chứng minh ngoài nghiệm x =0 nó còn 2 nghiệm nữa thuộc (0;1) và (-1;0) nhưng phải dùng máy tính.
Nhận xét 2: Khi giải TH m=1 như ở trên, ta tìm được a, b cũng phải dùng máy tính để so sánh với số 1.
Kết luận: Ai giải bằng cách khác hay hơn đi!!

 

[kiburkid]

Nhận xét 1: Bài này với TH m=1 giải hơi dài, có thể áp dụng hàm liên tục để chứng minh ngoài nghiệm x =0 nó còn 2 nghiệm nữa thuộc (0;1) và (-1;0) nhưng phải dùng máy tính.
Nhận xét 2: Khi giải TH m=1 như ở trên, ta tìm được a, b cũng phải dùng máy tính để so sánh với số 1.
Kết luận: Ai giải bằng cách khác hay hơn đi!!

Anh nói rõ cái phần chứng minh còn 2 nghiệm nữa thuộc (0;1) và (-1;0) đi
Mà phải dùng máy tính là sao hả anh

Với sự trợ giúp của máy tính ta có :
[tex] f(\frac12)<0 \\ f(1)>0 \\ f(-\frac12)<0 \\ f(-1) >0 [/tex]
nên từ đó suy ra còn 2 nghiệm nữa tính chất hàm liên tục

Bài ni chả còn cách nào khác ngoài xét m = 0, 1, -1 đâu

 

[nhocngo976]

38.[TEX] \ \ \[/TEX]

Đặt
[TEX]\sqrt[3]{x-2}=2y-5 \\\\ ta \ co : \left{\begin{ 2y-5=8x^3-60x^2+151x-128 \\ (2y-5)^3=x-2 \right. \\\\ \Leftrightarrow \left{\begin{ (2x-5)^3=-x+2y -2 \\ (2y-5)^3=x-2 \right. \\\\ \Leftrightarrow (2x-5)^3- (2y-5)^3 =-2(x+y) \\\\ \Leftrightarrow 2(x-y)[(2x-5)^2+(2x-5)(2y-5)+(2y-5)^2+2]=0 \ (VN )\\\\ \Leftrightarrow \left[\begin{ x=y \\ (2x-5)^2+(2x-5)(2y-5)+(2y-5)^2+2=0 (*) \right. \\\\ * \ voi \ x=y \ ta \ co : \ \sqrt[3]{x-2}=2x-5 \Leftrightarrow 8x^3- 60x^2 +149x-123=0 \Leftrightarrow (x-3)(8x^2-36x+41)=0 \Leftrightarrow x=3[/TEX]

phù!!!, nghiệm đẹp )

 

[nhocngo976]

39. [TEX]\ \ \ [/TEX]

đặt :
[TEX]2y= \sqrt[3]{4-6x} \\\\ ta \ co: \ \left{\begin{ 2y=8x^3+8x-4 \\ 4-6x=8y^3 \right. \\\\ \Leftrightarrow 8(x^3-y^3)= -2(x-y) \\\\ \Leftrightarrow2 (x-y)[4(x^2+xy+y^2)+1]=0 \\\\ \Leftrightarrow \left[\begin{ x=y \\ 4(x^2+xy+y^2)+1=0 \ (VN) \right. \\\\ voi \ x=y \ ta \ co: 8x^3+6x-4=0 \Leftrightarrow 4x^3+3x=2 (*)[/TEX]

xét hs [TEX]g(x)=4x^3+3x \ co \ g'(x)=12x^2+3 >0 \ voi \ moi \ x \in R [/TEX]

[TEX]\Rightarrow (*) [/TEX] không có quá 1 nghiệm

xét [TEX]2=\frac{1}{2}( a^3-\frac{1}{a^3}) \Leftrightarrow (a^3)^2 -4a^3-1=0 \Leftrightarrow \left[\begin{ a^3=2+\sqrt{5} \\ a^3=2-\sqrt{5}[/TEX]

nếu đặt
[TEX]a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} \ ta \ co: \\\\ \frac{1}{2}(a^3-\frac{1}{a^3})=3[\frac{1}{2}(a-\frac{1}{a})]+4[\frac{1}{2}(a-\frac{1}{a})]^3[/TEX]

vậy [TEX]x=\frac{1}{2}(a-\frac{1}{a})=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} )[/TEX] là nghiệm duy nhất của pt

trích ): STPT- nguyễn Tài Chung

 

[nhocngo976]

40.[TEX] \ \ \ [/TEX]

đặt:
[TEX]2y-3=\sqrt[3]{3x-5} \\\\ ta \ co \ : \left{\begin{ 2y-3= (2x-3)^3 -x+2 \\ 3x-5= (2y-3)^3 \right. \\\\ \Leftrightarrow \left{\begin{ 2y+x-5=(2x-3)^3 \\ (3x-5)=(2y-3)^3 \right. \\\\ \Leftrightarrow 2(x-y)[(2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2]= -2(x-y) \\\\ \Leftrightarrow 2(x-y)[(2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2+1]=0 \\\\ \Leftrightarrow \left[\begin{ x=y \\ (2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2+1=0 \ (VN) \right. \\\\ voi \ x=y \ ta \ co : (2x-3)^3=3x-5 \Leftrightarrow (x-2)(8x^2-20x+11)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{ x=2 \\ x= \frac{5+\sqrt{3}}{4} \\ x= \frac{5-\sqrt{3}}{4}[/TEX]

:-s

 

[duynhan1]

29. Cho [TEX]x,y,z \in [0; \frac{\pi}{2} ][/TEX]. Giải phương trình:
[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

Không mất tính tổng quát giả sử: [TEX]x = max \{x;y;z \}[/TEX]
Từ (1) và (2) : [TEX]\Rightarrow y \ge z[/TEX]
Từ (2) và (3) : [TEX]\Rightarrow z \ge x[/TEX]
Từ giả thiết suy ra : [TEX]x=y=z[/TEX]
[TEX](hpt) \Leftrightarrow \left{ x=y=z \\ x - tan x = 0 [/TEX]
Xét hàm :
[TEX]f(t) =t- tan t \forall t \in [0;\frac{\pi}{2}) \\ f'(x) = 1 - \frac{1}{cos^2x} \le 0 \\ \Rightarrow Ham\ so\ f(t)\ nghich\ bien\ \forall t \in [0; \frac{\pi}{2}) \\hay: \ \ t - tan t \le 0 - tan0 = 0 \forall t \in [0;\frac{\pi}{2})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0[/TEX]
Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình :
[TEX]x=y=z=0[/TEX]

30. [TEX]\ \ \ [/TEX]

[TEX]Dat\ t= 4x^2[/TEX]
[TEX](pt) \Leftrightarrow t^3 + 6t^2 + 9t -3 = 0 \\ \Leftrightarrow (t+2)^3 - 3(t+2) - 5 = 0 (2)[/TEX]

[TEX]Dat\ y= t+2[/TEX]
[TEX](2) \Leftrightarrow y^3 - 3y - 5 = 0 [/TEX]

Xét hàm :
[TEX]f(y) = y^3 - 3y - 5 \\ \Rightarrow f'(y) = 3y^2 - 3 \\ f'(y) = 0 \Leftrightarrow y = \pm 1\\ \Rightarrow f_{CD}.f_{CT} = f(1).f(-1) = (-7).(-3)=21>0 \\ \Rightarrow Phuong\ trinh\ co\ duy\ nhat\ 1 \ nghiem.[/TEX]

Đặt [TEX]y = u+ v[/TEX], khi đó ta có :
[TEX]u^3 + v^3 + 3 ( uv-1) (u+v) - 5 = 0 [/TEX]

Chọn u, v sao cho : [TEX]uv = 1 \Rightarrow u^3+v^3 = 5[/TEX]. Khi đó [TEX]u^3[/TEX] và [TEX]v^3[/TEX] là nghiệm của phương trình :

[TEX]X^2 - 5X + 1 = 0 \Leftrightarrow X = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y = u+v = \sqrt[3]{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t = \sqrt[3]{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{5-\sqrt{21}}{2}} - 2 [/TEX]
[tex]\huge \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{ \frac{ \sqrt[3]{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{5-\sqrt{21}}{2}} - 2 }{4} } [/tex]

 

[hoadkbp]

mọi người giải giúp mih bài này nha.thank!!!
[TEX]\text{101}\\(x^2+1)^2=5-x\sqrt{2x^2+4}[/TEX]

 

[bananamiss]

mọi người giải giúp mih bài này nha.thank!!!
[TEX]\text{101}\\(x^2+1)^2=5-x\sqrt{2x^2+4}[/TEX]

[TEX]voi \ x \ \geq 0 , \ pt \Leftrightarrow x^4+2x^2+1=5-\sqrt{2x^4+4x^2} \ (*)[/TEX]

[TEX]x^4+2x^2=a \ \geq 0 [/TEX]

[TEX](*) \Leftrightarrow a+1=5-\sqrt{2a} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ a=2 \\ a=8 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ...[/TEX]

[TEX]voi \ x \ < 0 , \ pt \Leftrightarrow x^4+2x^2+1=5+\sqrt{2x^4+4x^2 [/TEX]

tương tự .

Bài này đặt [TEX]t=x\sqrt{2x^2+4} \Rightarrow t^2=2x^4+4x^2[/TEX] rồi thế vào cho đỡ xét TH^^

 

[silvery21]

đặt :
[TEX]2y= \sqrt[3]{4-6x} \\\\ ta \ co: \ \left{\begin{ 2y=8x^3+8x-4 \\ 4-6x=8y^3 \right. \\\\ \Leftrightarrow 8(x^3-y^3)= -2(x-y) \\\\ \Leftrightarrow2 (x-y)[4(x^2+xy+y^2)+1]=0 \\\\ \Leftrightarrow \left[\begin{ x=y \\ 4(x^2+xy+y^2)+1=0 \ (VN) \right. \\\\ voi \ x=y \ ta \ co: 8x^3+6x-4=0 \Leftrightarrow 4x^3+3x=2 (*)[/TEX]

neu giai nhu vay rat lau

em chu y . cac bai` # tuong tu

[TEX]8x^3+8x-4=\sqrt[3]{4-6x} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](2x)^3 + 2x = \sqrt[3]{4-6x} + (4-6x)[/TEX]

xet' h/s [TEX]f(t) =t^3 +t[/TEX] .....ham dong bien


bai` moi :

 

[nhocngo976]

[TEX]12,\\\\ \left{\begin{ 3(x+y+\frac{1}{x+y })^2+(x-y)^2=\frac{85}{3} \\ (x+y+\frac{1}{x+y})+x-y =\frac{13}{3} \right.\\\\ dat: \ \left{\begin{ x+y+\frac{1}{x+y}=a \\ x-y =b[/TEX]


[TEX]15, \ \Leftrightarrow (x^3+y^3-xy^2)(4x+y)=4x^4+y^4 [/TEX]


[TEX]9, \ dat: \left{ \begin{ x+\frac{1}{y}=a \\ \frac{x}{y}=b \right.\\\\ \left{\begin{ a^2+3b=3 \\ a+b=3[/TEX]

 

[duynhan1]

13,
[tex] (hpt) \Rightarrow (x^2+y^2)^2 = (3x^3-y^3)(x+y) \\ \Leftrightarrow (x-y)(x+2y)(2x^2+xy+y^2)=0 [/tex]
Thế vào (1) là OK

Chị Sil sửa giúp em bài 50. Link đề bài ở #2

 

[duynhan1]

15. [TEX]\ \ \ [/TEX]

[TEX]Dieu\ kien: x \ge - \frac32[/TEX]
[TEX](bpt) \Leftrightarrow \( \sqrt{4x+6} -(x+2) \) + \( (x+2)- \sqrt[3]{x^3+7x^2+12x+6} \) \ge x^2-2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{2-x^2}{\sqrt{4x+6} + x+2} + \frac{2-x^2}{(x+2)^2 + (\sqrt[3]{x^3+7x^2+12x+6})^2 + (x+2)(\sqrt[3]{x^3+7x^2+12x+6} ) } \ge x^2 - 2[/TEX] ( nhân lượng liên hợp)

[TEX]\Leftrightarrow (2-x^2) \( \frac{1}{\sqrt{4x+6} + x+2} + \frac{1}{(x+2)^2 + (\sqrt[3]{x^3+7x^2+12x+6})^2 + (x+2)(\sqrt[3]{x^3+7x^2+12x+6} ) } + 1 \) \ge 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2- x^2 \ge 0 \\ \Leftrightarrow -\sqrt2 \le x \le \sqrt2[/TEX]

 

[duynhan1]

23.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

[TEX]\left{ x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y} (1) \\ 2y = x^3 + 1 (2) [/TEX]
[TEX]Dieu\ kien: x,y \not= 0 [/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow x- y = \frac{y-x}{xy} \\ \Leftrightarrow \left[ x- y = 0 \\ xy = - 1[/TEX]

Trường hợp 1: [TEX]x=y[/TEX]. Ta có:
[TEX](2) \Leftrightarrow x^3 - 2x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow(x-1)(x^2+x-1) = 0 [/TEX]

Trường hợp 2: [TEX]xy = - 1 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{x}[/TEX]. Thay vào (2) ta có :

[TEX]\frac{-2}{x} = x^3 + 1 \\ \Leftrightarrow x^4 + x + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow (x^2-1)^2 + (2x^2+x+1) = 0(Vo\ nghiem\ do\ VT >0 \forall x ) [/TEX]

Kết luận: [TEX]S= \{ (1;1) ; ( \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2} ; \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}) \}[/TEX]

 

[silvery21]

duynhan : y' em la` bai` 50 sai de ah
nhockngo: yahoo cua chi : kenzyzizi22_silvery

Em định tổng hợp thành ebook, chưa ai giải mà em chưa học đến nên chịu ạ

[TEX]\frac{4}{x} +\sqrt{x-\frac{1}{x}} = x+ \sqrt{2x-\frac{5}{x} }[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]\frac{4}{x} +\sqrt{x-\frac{1}{x}} = x+ \sqrt{2x-\frac{5}{x} }[/TEX]

[TEX]DK: \left{ x- \frac{1}{x} \ge 0 \\ 2x - \frac{5}{x} \ge 0 \\ x \not= 0 \right. (*)[/TEX]
[TEX](pt) \Leftrightarrow \frac{4}{x} - x = \sqrt{2x-\frac{5}{x}} - \sqrt{x-\frac{1}{x}} (1) [/TEX]

Do [TEX] \sqrt{2x-\frac{5}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}> 0 \forall x [/TEX] nên ta có :

[TEX](1) \Leftrightarrow \frac{4}{x} - x = \frac{x- \frac{4}{x}}{\sqrt{2x-\frac{5}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}} } \\ \Leftrightarrow x - \frac{4}{x} = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ x = 2 (thoa\ (*)\ )\\ x = -2 (khong\ thoa\ dieu\ kien\ (*)\ ) [/TEX]

 

[silvery21]

.. ...

 

[silvery21]

102.
[TEX]2(x-2)(\sqrt[3]{4x-4} + \sqrt{2x-2})=3x-1[/TEX]

...... .