Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[bboy114crew]

Nếu bài này là \geq 1 thì dùng CBS và schur là ra!

 

[bboy114crew]

Nếu bài này là \geq 1 thì dùng CBS và schur là ra!

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho a,b,c là các số thực dương t/m [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=5[/TEX]

Cmr [TEX]\frac{17}{4} \leq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \leq 1+4\sqrt{2}[/TEX]



Chú ý latex

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1489643#post1489643

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho a,b,c là các số thực dương t/m [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=5[/TEX]

Cmr [TEX]\frac{17}{4} \leq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \leq 1+4\sqrt{2}[/TEX]



Chú ý latex

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1489643#post1489643

 

[azuredragonzx]

Bác nào thử CM BDT Cauchy bằng hình học cho em coi nào

 

[azuredragonzx]

Bác nào thử CM BDT Cauchy bằng hình học cho em coi nào

 

[huu_thuong]

Nếu bài này là \geq 1 thì dùng CBS và schur là ra!

Nhưng mà học bắt chứng minh nhỏ hơn hoặc bằng 1 mà bạn /
Nếu mà lớn hơn hoặc bằng 1 thì làm gì có giá trị của x, y, z ?

 

[huu_thuong]

Nếu bài này là \geq 1 thì dùng CBS và schur là ra!

Nhưng mà học bắt chứng minh nhỏ hơn hoặc bằng 1 mà bạn /
Nếu mà lớn hơn hoặc bằng 1 thì làm gì có giá trị của x, y, z ?

 

[01263812493]

[TEX]\blue x,y,z \in [1;4]; \ x \geq y, \ x \geq z. \ Min:[/TEX]
[TEX]\blue P=\frac{x}{2x+3y}+ \frac{y}{y+z}+ \frac{z}{z+x}[/TEX]

 

[01263812493]

[TEX]\blue x,y,z \in [1;4]; \ x \geq y, \ x \geq z. \ Min:[/TEX]
[TEX]\blue P=\frac{x}{2x+3y}+ \frac{y}{y+z}+ \frac{z}{z+x}[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

[TEX]\blue x,y,z \in [1;4]; \ x \geq y, \ x \geq z. \ Min:[/TEX]
[TEX]\blue P=\frac{x}{2x+3y}+ \frac{y}{y+z}+ \frac{z}{z+x}[/TEX]

trong đề ĐH khối A năm nay

chủ yếu các đáp án bài này thường dùng đạo hàm , nhưng lớp 9 chưa học đến , nên mình có cách này :

Đặt [TEX]x=4a, y=b, z=2c (a,b,c>0)[/TEX]. Đưa BDT đã cho về [TEX]\frac{4a}{8a+3b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}[/TEX]

Đầu tiên xét BDT phụ [TEX]\frac{4a}{8a+3b} \geq \frac{a}{a+2b}+\frac1{33} \leftrightarrow \frac4{8+3\frac{b}{a}} \geq \frac1{1+2\frac{b}{a}}+\frac1{33}[/TEX]. Đặt [TEX]\frac{b}{a}=t[/TEX] với [TEX]1 \leq t \leq 16[/TEX] (do đề bài), rút gọn lại về [TEX]3t^2-73t+70 \leq 0 \Leftrightarrow (t-1)(3t-70) \leq 0[/TEX] đúng.

Đến đây chỉ còn lại tìm min của [TEX]\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a} [/TEX]
[TEX]=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{b^2+2bc}+\frac{c^2}{c^2+2ca} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca} =1.[/TEX]

Min của biểu thức bằng 34/33 đạt được khi x=4, y=1, z=2.

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

[TEX]\blue x,y,z \in [1;4]; \ x \geq y, \ x \geq z. \ Min:[/TEX]
[TEX]\blue P=\frac{x}{2x+3y}+ \frac{y}{y+z}+ \frac{z}{z+x}[/TEX]

trong đề ĐH khối A năm nay

chủ yếu các đáp án bài này thường dùng đạo hàm , nhưng lớp 9 chưa học đến , nên mình có cách này :

Đặt [TEX]x=4a, y=b, z=2c (a,b,c>0)[/TEX]. Đưa BDT đã cho về [TEX]\frac{4a}{8a+3b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}[/TEX]

Đầu tiên xét BDT phụ [TEX]\frac{4a}{8a+3b} \geq \frac{a}{a+2b}+\frac1{33} \leftrightarrow \frac4{8+3\frac{b}{a}} \geq \frac1{1+2\frac{b}{a}}+\frac1{33}[/TEX]. Đặt [TEX]\frac{b}{a}=t[/TEX] với [TEX]1 \leq t \leq 16[/TEX] (do đề bài), rút gọn lại về [TEX]3t^2-73t+70 \leq 0 \Leftrightarrow (t-1)(3t-70) \leq 0[/TEX] đúng.

Đến đây chỉ còn lại tìm min của [TEX]\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a} [/TEX]
[TEX]=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{b^2+2bc}+\frac{c^2}{c^2+2ca} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca} =1.[/TEX]

Min của biểu thức bằng 34/33 đạt được khi x=4, y=1, z=2.

 

[pipi2]

[TEX]\blue x,y,z \in [1;4]; \ x \geq y, \ x \geq z. \ Min:[/TEX]
[TEX]\blue P=\frac{x}{2x+3y}+ \frac{y}{y+z}+ \frac{z}{z+x}[/TEX]

ơ đây là đề đại học khối A vừa mới thi mà ,
t chỉ biết bài này dùng dồn biến biểu thức chứ chưa làm bao h ) ),
không thì lên mạng tìm đáp án của Bộ GD cũng ok )

 

[pipi2]

[TEX]\blue x,y,z \in [1;4]; \ x \geq y, \ x \geq z. \ Min:[/TEX]
[TEX]\blue P=\frac{x}{2x+3y}+ \frac{y}{y+z}+ \frac{z}{z+x}[/TEX]

ơ đây là đề đại học khối A vừa mới thi mà ,
t chỉ biết bài này dùng dồn biến biểu thức chứ chưa làm bao h ) ),
không thì lên mạng tìm đáp án của Bộ GD cũng ok )

 

[khanh_ndd]

cho a,b,c>0 . chứng minh:

Đặt [TEX]x=\frac{b}{a},....[/TEX]

BĐT trở thành [TEX]\sum \frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}\le 1[/TEX] với [TEX]xyz=1[/TEX]

Chú ý [TEX]\frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}\le \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1)}[/TEX]

nên ta cần chứng minh: [TEX]\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\sum \frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1}\le 1[/TEX]
hay [TEX]\sum \frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1}\ge 1[/TEX]
nhưng đây là 1 BĐT quen thuộc và có nhiều ứng dụng.

 

[khanh_ndd]

cho a,b,c>0 . chứng minh:

Đặt [TEX]x=\frac{b}{a},....[/TEX]

BĐT trở thành [TEX]\sum \frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}\le 1[/TEX] với [TEX]xyz=1[/TEX]

Chú ý [TEX]\frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}\le \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1)}[/TEX]

nên ta cần chứng minh: [TEX]\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\sum \frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1}\le 1[/TEX]
hay [TEX]\sum \frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1}\ge 1[/TEX]
nhưng đây là 1 BĐT quen thuộc và có nhiều ứng dụng.

 

[khanh_ndd]

Mấy bài giải trí

1. Cho [TEX]a,b,c>0, a+b+c=1[/TEX]. Tìm max của biểu thức:
[TEX]A=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+ \sqrt{9abc}[/TEX]

2. Cho [TEX]a,b,c,d[/TEX] là các số thực dương thỏa mãn [TEX]a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
Chứng minh: [TEX]2(a^3+b^3+c^3+d^3)+a+b+c+d\le 12[/TEX]

bài thứ 2 đơn giản hơn nhiều so với bài này

Bài 1: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn [TEX]\ DK\ a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
Tìm GTLN của [TEX]: a^3+b^3+c^3+d^3[/TEX]

Max nó là [TEX]2+\frac{7}{2\sqrt{3}[/TEX] @-)

 

[khanh_ndd]

Mấy bài giải trí

1. Cho [TEX]a,b,c>0, a+b+c=1[/TEX]. Tìm max của biểu thức:
[TEX]A=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+ \sqrt{9abc}[/TEX]

2. Cho [TEX]a,b,c,d[/TEX] là các số thực dương thỏa mãn [TEX]a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
Chứng minh: [TEX]2(a^3+b^3+c^3+d^3)+a+b+c+d\le 12[/TEX]

bài thứ 2 đơn giản hơn nhiều so với bài này

Bài 1: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn [TEX]\ DK\ a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
Tìm GTLN của [TEX]: a^3+b^3+c^3+d^3[/TEX]

Max nó là [TEX]2+\frac{7}{2\sqrt{3}[/TEX] @-)

 

[thienlong_cuong]

1. Cho [TEX]a,b,c>0, a+b+c=1[/TEX]. Tìm max của biểu thức:
[TEX]A=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+ \sqrt{9abc}[/TEX]

2. Cho [TEX]a,b,c,d[/TEX] là các số thực dương thỏa mãn [TEX]a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]

Chứng minh: [TEX]2(a^3+b^3+c^3+d^3)+a+b+c+d\le 12[/TEX]

bài thứ 2 đơn giản hơn nhiều so với bài này


Max nó là [TEX]2+\frac{7}{2\sqrt{3}[/TEX] @-)

tia câu a mà chém 1 Thấy có ý tưởng !

[TEX]abc \leq \frac{1}{27} \Rightarrow \sqrt{\frac{4}{3}.9abc} \leq \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} [/TEX]

Xét :

[TEX]\sqrt{\frac{4}{3}.(a^2 + abc)} = \sqrt{\frac{4}{3}.a(a + bc)} \leq \frac{\frac{4}{3}a + a + bc}{2} = \frac{7}{6}a + \frac{bc}{2} [/TEX]

Xây dựng tương tự \Rightarrow Ta có :


[TEX]\sqrt{\frac{4}{3}}A \leq \frac{2}{3} + \frac{7}{6}(a + b + c) + \frac{ab + bc + ac}{2} \leq \frac{2}{3} + \frac{7}{6} + \frac{1}{6} = 2[/TEX]


[TEX]\Rightarrow A \leq \sqrt{3}[/TEX]

:-SS:-SS:-SS=((=((=()>-

 

[thienlong_cuong]

1. Cho [TEX]a,b,c>0, a+b+c=1[/TEX]. Tìm max của biểu thức:
[TEX]A=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+ \sqrt{9abc}[/TEX]

2. Cho [TEX]a,b,c,d[/TEX] là các số thực dương thỏa mãn [TEX]a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]

Chứng minh: [TEX]2(a^3+b^3+c^3+d^3)+a+b+c+d\le 12[/TEX]

bài thứ 2 đơn giản hơn nhiều so với bài này


Max nó là [TEX]2+\frac{7}{2\sqrt{3}[/TEX] @-)

tia câu a mà chém 1 Thấy có ý tưởng !

[TEX]abc \leq \frac{1}{27} \Rightarrow \sqrt{\frac{4}{3}.9abc} \leq \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} [/TEX]

Xét :

[TEX]\sqrt{\frac{4}{3}.(a^2 + abc)} = \sqrt{\frac{4}{3}.a(a + bc)} \leq \frac{\frac{4}{3}a + a + bc}{2} = \frac{7}{6}a + \frac{bc}{2} [/TEX]

Xây dựng tương tự \Rightarrow Ta có :


[TEX]\sqrt{\frac{4}{3}}A \leq \frac{2}{3} + \frac{7}{6}(a + b + c) + \frac{ab + bc + ac}{2} \leq \frac{2}{3} + \frac{7}{6} + \frac{1}{6} = 2[/TEX]


[TEX]\Rightarrow A \leq \sqrt{3}[/TEX]

:-SS:-SS:-SS=((=((=()>-