Đặt [TEX]m = \frac{1}{{\sqrt 5 }},\;n = \frac{4}{{\sqrt 5 }},\;p = 2,\;k=\frac{\sqrt{5}}{3}.[/TEX]
Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có ngay
[TEX]\[{P^2} = {(a + b)^2}{(1 + c)^2} \le \left( {m + n} \right)\left( {\frac{{{a^2}}}{m} + \frac{{{b^2}}}{n}} \right) \cdot \left( {1 + p} \right)\left( {1 + \frac{{{c^2}}}{p}} \right)=Q.\][/TEX]
Áp dụng AM-GM, ta có
[TEX]\[Q = \frac{{\left( {m + n} \right)\left( {1 + p} \right)}}{k} \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{m} + \frac{{{b^2}}}{n}} \right)\left( {k + \frac{{k{c^2}}}{p}} \right) \le \frac{{\left( {m + n} \right)\left( {1 + p} \right)}}{{4k}} \cdot {\left( {\frac{{{a^2}}}{m} + \frac{{{b^2}}}{n} + k + \frac{{k{c^2}}}{p}} \right)^2}.\][/TEX]
Mà theo cách đặt [TEX]m,\;n,\;p,\;k[/TEX] ở trên, ta sẽ có (chỗ này chỉ là bước thay số)
[TEX]\[\frac{{{a^2}}}{m} + \frac{{{b^2}}}{n} + k + \frac{{k{c^2}}}{p} = \frac{{np{a^2} + pm{b^2} + kmn{c^2}}}{{mnp}} + k = \frac{{\sqrt 5 }}{{12}} \cdot \left( {12{a^2} + 3{b^2} + 2{c^2}} \right) + \frac{{\sqrt 5 }}{3} = 2\sqrt 5 .\][/TEX]
Nên cuối cùng, ta thu được
[TEX]\[{P^2} \le Q \le \frac{{\left( {m + n} \right)\left( {1 + p} \right)}}{{4k}} \cdot {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = 45.\][/TEX]
Suy ra
[TEX]P\le 3\sqrt{5}.[/TEX]
Với [TEX]a=m,\;b=n,\;c=p,[/TEX] ta có ngay [TEX]P=3\sqrt{5}.[/TEX] Từ đó kết luận giá trị lớn nhất của [TEX]P[/TEX] là [TEX]3\sqrt{5}.[/TEX]
Lời giải hoàn tất. [TEX]\hfill \Box[/TEX]
