Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[star_lucky_o0o]

Híc,Hình như nó lớn hơn 9 hay sao ấy chứ!! !!
Giải bừa: Giả sử a \geqb\geqc
Ta có :[TEX] a>b-c[/TEX]
[TEX] b>a-c[/TEX]
[TEX] c>a-b[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{a}{b(b-c)}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a(a-b)}>\frac{a}{ab}+\frac{b}{bc}+\frac{c}{ca}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Ta có BDT :
[TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq9[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9[/TEX]
[tex] \Rightarrow \frac{a}{b(b-c)} + \frac{b}{c(c-a)} + \frac{c}{a(a-b)} > 9 [/tex]

[TEX]9>\frac{9}{2}\\\Rightarrow\frac{a}{b(b-c)}+\frac{b}{c(c-a)}+\frac{c}{a(a-b)} > \frac{9}{2}[/TEX]
ok?

 

[star_lucky_o0o]

Híc,Hình như nó lớn hơn 9 hay sao ấy chứ!! !!
Giải bừa: Giả sử a \geqb\geqc
Ta có :[TEX] a>b-c[/TEX]
[TEX] b>a-c[/TEX]
[TEX] c>a-b[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{a}{b(b-c)}+\frac{b}{c(c-a)}+\frac{c}{a(a-b)}>\frac{a}{ab}+\frac{b}{bc}+\frac{c}{ca}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Ta có BDT :
[TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq9[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9[/TEX]
[tex] \Rightarrow \frac{a}{b(b-c)} + \frac{b}{c(c-a)} + \frac{c}{a(a-b)} > 9 [/tex]

Đâu cần phải giả sử như thế này
.Nếu a=b=c thì BĐT đó vô nghĩa.Chỉ cần làm như thế nầy là đủ rồi:

Ta có :[TEX] a>b-c[/TEX]
[TEX] b>a-c[/TEX]
[TEX] c>a-b[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{a}{b(b-c)}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a(a-b)}>\frac{a}{ab}+\frac{b}{bc}+\frac{c}{ca}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Ta có BDT :
[TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq9[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9[/TEX]
[tex] \Rightarrow \frac{a}{b(b-c)} + \frac{b}{c(c-a)} + \frac{c}{a(a-b)} > 9 [/tex]

[TEX]9>\frac{9}{2}\\\Rightarrow\frac{a}{b(b-c)}+\frac{b}{c(c-a)}+\frac{c}{a(a-b)} > \frac{9}{2}[/TEX]

 

[_banglangtim_114_]

Đâu cần phải giả sử như thế này
.Nếu a=b=c thì BĐT đó vô nghĩa.Chỉ cần làm như thế nầy là đủ rồi:

Có vẻ cái cách giải thích này chưa hợp tình hợp lý lắm bởi vì còn một cái quan trọng hơn mà không phải là so sánh như vậy!
Nếu [TEX]a+b+c=2 [/TEX]chứ không phải bằng 1 thì BDT ta cần luôn đúng!!
Dạo này mình cảm thấy cái chuyên đề này và các chuyên đề Toán học khác hơi ảm đạm thiếu sức sống.Vì vậy post mấy bài lên coi!
Bài 1:Tìm[TEX] GTNN[/TEX] của biểu thức
[TEX] \frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{5c}{a+b}[/TEX]
Trong đó [TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực dương tùy ý!!
Bài 2: Cho các số dương [TEX]x,y,z[/TEX] sao cho [TEX]xyz=1[/TEX].CMR:
[TEX] \frac{xy}{x^5+xy+y^5}+\frac{yz}{y^5+yz+z^5}+\frac{zx}{z^5+zx+x^5}\leq 1[/TEX]
P/s: Bài này không khó lắm!!

 

[thienlong_cuong]

Có vẻ cái cách giải thích này chưa hợp tình hợp lý lắm bởi vì còn một cái quan trọng hơn mà không phải là so sánh như vậy!
Nếu [TEX]a+b+c=2 [/TEX]chứ không phải bằng 1 thì BDT ta cần luôn đúng!!
Dạo này mình cảm thấy cái chuyên đề này và các chuyên đề Toán học khác hơi ảm đạm thiếu sức sống.Vì vậy post mấy bài lên coi!
Bài 1:Tìm[TEX] GTNN[/TEX] của biểu thức
[TEX] \frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{5c}{a+b}[/TEX]
Trong đó [TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực dương tùy ý!!
Bài 2: Cho các số dương [TEX]x,y,z[/TEX] sao cho [TEX]xyz=1[/TEX].CMR:
[TEX] \frac{xy}{x^5+xy+y^5}+\frac{yz}{y^5+yz+z^5}+\frac{zx}{z^5+zx+x^5}\leq 1[/TEX]
P/s: Bài này không khó lắm!!

heheh
baif 2
Chỉ cần áp dụng
[TEX]a^{m +n} + b^{m +n} \geq a^nb^m + a^mb^n [/TEX]

[TEX]a^5 + b^5 \geq a^4b + ab^4 = ab(a^3 + b^3)[/TEX]

[TEX]a^3 + b^3 + abc \geq ab(a + b + c)[/TEX]

[TEX]\frac{xy}{x^5+xy+y^5}+\frac{yz}{y^5+yz+z^5}+\frac{zx}{z^5+zx+x^5} \leq \frac{xy}{xy(x^3 + y^3 + 1)} + \frac{yz}{yz(y^3 + z^3 + 1)} + \frac{xz}{xz(x^2 + z^2 +1)} \leq \frac{1}{xy(x + y +z)} + \frac{1}{yz(x + y +z}) + \frac{1}{xz(x + y +z)} = \frac{1}{x + y + z}.\frac{x +y +z}{xyz} = 1[/TEX]


Hướng là thế !

 

[01263812493]

Có vẻ cái cách giải thích này chưa hợp tình hợp lý lắm bởi vì còn một cái quan trọng hơn mà không phải là so sánh như vậy!
Nếu [TEX]a+b+c=2 [/TEX]chứ không phải bằng 1 thì BDT ta cần luôn đúng!!
Dạo này mình cảm thấy cái chuyên đề này và các chuyên đề Toán học khác hơi ảm đạm thiếu sức sống.Vì vậy post mấy bài lên coi!
Bài 1:Tìm[TEX] GTNN[/TEX] của biểu thức
[TEX] Q=\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{5c}{a+b}[/TEX]
Trong đó [TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực dương tùy ý!!

[TEX]\blue Q+ 12=(a+b+c)(\frac{3}{b+c}+ \frac{4}{c+a}+ \frac{5}{a+b})=\frac{1}{2}2.(a+b+c)(\frac{3}{b+c}+ \frac{4}{c+a}+ \frac{5}{a+b}) \geq \frac{(\sqrt{3}+2+sqrt{5})^2}{2} \rightarrow Q \geq \frac{(\sqrt{3}+2+sqrt{5})^2}{2}-12[/TEX]

Rãnh nên làm bậy bạ )

 

[asroma11235]

Cho:

Chứng minh:

 

[0915549009]

Cho:

Chứng minh:

ta có [TEX]\frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2=[(y+\frac{x}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}z+\frac{\sqrt{3}}{2}x(y+\frac{z}{2})]^2[/TEX]
[TEX] \leq [(y+\frac{x}{2})^2+\frac{3}{4}x^2].[\frac{3}{4}z^2+(y+\frac{z}{2})^2][/TEX]
[TEX] \leq (x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)=3.16[/TEX]
suy ra đpcm

Search trước khi post nhaz bạn
Viết nhầm 1 từ mà bị nói ghê thế cơ đấy =)) Bạn hahaha123321 nhể ;

 

[asroma11235]

Cho:

Chứng minh:

"=.="

 

[duynhan1]

Cho:

Chứng minh:

"=.="

Thế [TEX]z= 5 - x - y[/TEX] vào (2) rồi lập delta !

 

[tvxq_97]

Giúp mình với cần gấp lắm :
2(a³ + b³ + c³) ≥ a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b)

 

[quynhnhung81]

Giúp mình với cần gấp lắm :
2(a³ + b³ + c³) ≥ a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b)

Cái bài này phải có điều kiên a,b,c dương chứ nhỉ.
Nếu a,b,c âm thì bdt sai.Vậy với a,b,c, dương thì mik chứng minh thế này nhé
[TEX]2(a^3+b^3+c^3) \geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3) \geq a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2[/TEX]
Ta chứng minh bất đẳng thức [TEX]x^3+y^3 \geq x^2y+xy^2[/TEX]
Thật vậy ta có [TEX]x^3+y^3 - x^2y-xy^2=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x-y)^2(x+y) \geq 0 với x,y >0[/TEX]
Áp dụng bdt trên ta được:
[TEX]a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2[/TEX]
[TEX]b^3+c^3 \geq b^2c+bc^2[/TEX]
[TEX]c^3+a^3 \geq c^2a+ca^2[/TEX]
Cộng vế theo vế ta được dpcm

 

[asroma11235]

Cho:

Chứng minh rằng:

 

[khanh_ndd]

Cho:

Chứng minh rằng:

đầu bài có vấn đề gì không vậy?

hay

 

[locxoaymgk]

Her,ko tin là ko có mọi bài BDt nào mọi người đều có thể giải dc!!
Bài 1: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn [TEX]\ DK\ a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
Tìm GTLN của [TEX]: a^3+b^3+c^3+d^3.[/TEX]
Bài 2:Cm với mọi [TEX]a,b,c \geq 0 [/TEX]và [TEX]a+b+c=3 [/TEX]ta có:
[TEX] \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+c^2}+ \frac{c^3+a^3} {c^2+a^2}\geq 2[/TEX]
P/s:Toàn những bài mình chưa giải dc!!

 

[0915549009]

Bài 2:Cm với mọi [TEX]a,b,c \geq 0 [/TEX]và [TEX]a+b+c=3 [/TEX]ta có:

[TEX] \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+a^2}\geq 2[/TEX]
P/s:Toàn những bài mình chưa giải dc!!

[TEX]\geq 3[/TEX] chứ nhể :-??
[TEX]a \geq b \geq c \Rightarrow a^3+b^3 \geq \frac{1}{2}(a+b)(a^2+b^2) \Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\geq \frac{1}{2}(a+b)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+c^2}+ \frac{c^3+a^3} {c^2+a^2} \geq \frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b+c) + \frac{1}{2}(a+c) = a+b+c=3[/TEX]

 

[vuotlensophan]

1 bài tập đơn giản

a,b,c thuoc [0;1] va a+b+c=2. Tim max[TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]

 

[asroma11235]

Cho:

Chứng minh rằng:

đầu bài có vấn đề gì không vậy?

hay

p/s: Đầu bài chẳng có vấn đề gì cả. :-|

hay

Cả hai )

 

[thienlong_cuong]

a,b,c thuoc [0;1] va a+b+c=2. Tim max[TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]

nhẹ nhàng dễ tính thiệt đó
do 0 \leq a, b , c \leq 1
=> a^2 < a
b^2 < b
c^2 < c
Cộng 3 vế là OK !
đẳng thức xảy ra khi trong 3 số a , b ,c có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0

 

[locxoaymgk]

[TEX]\geq 3[/TEX] chứ nhể :-??
[TEX]a \geq b \geq c \Rightarrow a^3+b^3 \geq \frac{1}{2}(a+b)(a^2+b^2) \Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\geq \frac{1}{2}(a+b)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+c^2}+ \frac{c^3+a^3} {c^2+a^2} \geq \frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b+c) + \frac{1}{2}(a+c) = a+b+c=3[/TEX]

Ê,đề bài nó cho \geq 2 sao cậu lại biến nó thành 3 thế kia ///!!!!!!!!
pó tay!!

 

[0915549009]

Ê,đề bài nó cho \geq 2 sao cậu lại biến nó thành 3 thế kia ///!!!!!!!!
pó tay!!

BĐT này thường xảy ra dấu "=" khi [TEX]a=b=c[/TEX], kiểu bài a, b, c bình đẳng 8->
Bạn bảo \geq 2 thì nói cái dấu = 2 xảy ra khi nào tớ vs ;