Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[01263812493]

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa 3a+4b+5c =12. Max:
[tex] \blue \frac{ab}{ab+a+b} +\frac{2bc}{bc+b+c}+\frac{3ac}{ac+a+c} [/tex]

Ôi giời lúc đầu ghi sai đề làm muốn khùng luôn, h sửa lại mới thấy là con non :|

 

[01263812493]

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa 3a+4b+5c =12. Max:
[tex] \blue \frac{ab}{ab+a+b} +\frac{2bc}{bc+b+c}+\frac{3ac}{ac+a+c} [/tex]

Ôi giời lúc đầu ghi sai đề làm muốn khùng luôn, h sửa lại mới thấy là con non :|

 

[khanh_ndd]

Cho a,b,c,d là các số thực không âm có tổng bắng 1. Chứng minh:
[TEX]\blue abc+bcd+cda+dab \leq \frac{1}{27}+ \frac{176}{27}abcd[/TEX]

Dùng dồn biến

Đặt [TEX]f(a,b,c,d)=abc+bcd+cda+dab-\frac{176}{27}abcd=bc(a+d)+ad(b+c-\frac{176}{27}bc)[/TEX].
Xét 2 trường hợp:

[TEX]I.b+c-\frac{176}{27}bc\leq 0\Rightarrow f(a,b,c,d) \leq bc(a+d)\leq \frac{1}{27}[/TEX] ( dễ thấy theo AM-GM )

[TEX]II.b+c-\frac{176}{27}bc> 0[/TEX] khi đó ta có
[TEX]f(a,b,c,d) \leq bc(a+d)+(\frac{a+d}{2})^2(b+c-\frac{176}{27}bc) \leq f(\frac{a+d}{2},b,c,\frac{a+d}{2})[/TEX]
[TEX]=f(b,\frac{a+d}{2},\frac{a+d}{2},c) \leq f(\frac{b+c}{2},\frac{a+d}{2},\frac{a+d}{2},\frac{b+c}{2})[/TEX]
[TEX]=(\frac{a+d}{2},\frac{b+c}{2},\frac{a+d}{2},\frac{b+c}{2}) \leq f(\frac{1}{4},\frac{b+c}{2},\frac{a+d}{2},\frac{1}{4}) \leq f(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}[/TEX]

 

[khanh_ndd]

Cho a,b,c,d là các số thực không âm có tổng bắng 1. Chứng minh:
[TEX]\blue abc+bcd+cda+dab \leq \frac{1}{27}+ \frac{176}{27}abcd[/TEX]

Dùng dồn biến

Đặt [TEX]f(a,b,c,d)=abc+bcd+cda+dab-\frac{176}{27}abcd=bc(a+d)+ad(b+c-\frac{176}{27}bc)[/TEX].
Xét 2 trường hợp:

[TEX]I.b+c-\frac{176}{27}bc\leq 0\Rightarrow f(a,b,c,d) \leq bc(a+d)\leq \frac{1}{27}[/TEX] ( dễ thấy theo AM-GM )

[TEX]II.b+c-\frac{176}{27}bc> 0[/TEX] khi đó ta có
[TEX]f(a,b,c,d) \leq bc(a+d)+(\frac{a+d}{2})^2(b+c-\frac{176}{27}bc) \leq f(\frac{a+d}{2},b,c,\frac{a+d}{2})[/TEX]
[TEX]=f(b,\frac{a+d}{2},\frac{a+d}{2},c) \leq f(\frac{b+c}{2},\frac{a+d}{2},\frac{a+d}{2},\frac{b+c}{2})[/TEX]
[TEX]=(\frac{a+d}{2},\frac{b+c}{2},\frac{a+d}{2},\frac{b+c}{2}) \leq f(\frac{1}{4},\frac{b+c}{2},\frac{a+d}{2},\frac{1}{4}) \leq f(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}[/TEX]

 

[huu_thuong]

mọi người ơi, có tìm được max hay min của cái này không?

(giả sử điều kiện cho rồi, ví dụ : a+b+c=3, hay abc=1...)

 

[huu_thuong]

mọi người ơi, có tìm được max hay min của cái này không?

(giả sử điều kiện cho rồi, ví dụ : a+b+c=3, hay abc=1...)

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho:

Chứng minh rằng:

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1561476#post1561476

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho:

Chứng minh rằng:

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1561476#post1561476

 

[conan_edogawa93]

Làm ơn anh hay người khác làm lại cái bài không,Em ngu mấy cái kí hiệu lắm !!

[TEX]\sum[/tex]=Tổng hoán vị em ợ ) . Gớm chắc chú mày biết thừa ấy chứ , cứ đùa )

Cho x,y,z là 3 số thực dương có x+y+z=3.CMR:

Làm lại vậy)
[tex]\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+z)(x+y)}}\le^{C.S}\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\\Tuong-tu-hai-bieu-thuc-kia-cong-lai\\thi\\VT\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1=>\vec{OK}[/tex]

 

[conan_edogawa93]

Làm ơn anh hay người khác làm lại cái bài không,Em ngu mấy cái kí hiệu lắm !!

[TEX]\sum[/tex]=Tổng hoán vị em ợ ) . Gớm chắc chú mày biết thừa ấy chứ , cứ đùa )

Cho x,y,z là 3 số thực dương có x+y+z=3.CMR:

Làm lại vậy)
[tex]\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+z)(x+y)}}\le^{C.S}\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\\Tuong-tu-hai-bieu-thuc-kia-cong-lai\\thi\\VT\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1=>\vec{OK}[/tex]

 

[huu_thuong]

cho a,b,c>0 . chứng minh:

 

[huu_thuong]

cho a,b,c>0 . chứng minh:

 

[quan8d]

cho a,b,c>0 . chứng minh:

[TEX]VT^2 \leq \left(8\sum a^2+\sum ab \right)\left(\sum \frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2) (4a^2+ac+4c^2)} \right) = \frac{\left(8\sum a^2+\sum ab \right)\left(8\sum a^2b^2+abc\sum a \right)}{\left(4a^2+ab+b^2)(4a^2+ac+4c^2)(4b^2+bc+4c^2 \right)}[/TEX]
Cần CM [TEX]:(8\sum a^2+\sum ab)(8\sum a^2b^2+abc\sum a) \leq (4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ca+4a^2)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow 8abc\sum a^3+8\sum a^3b^3+3abc\sum ab(a+b) \geq 66abc ( AM-GM )[/TEX]

 

[quan8d]

cho a,b,c>0 . chứng minh:

[TEX]VT^2 \leq \left(8\sum a^2+\sum ab \right)\left(\sum \frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2) (4a^2+ac+4c^2)} \right) = \frac{\left(8\sum a^2+\sum ab \right)\left(8\sum a^2b^2+abc\sum a \right)}{\left(4a^2+ab+b^2)(4a^2+ac+4c^2)(4b^2+bc+4c^2 \right)}[/TEX]
Cần CM [TEX]:(8\sum a^2+\sum ab)(8\sum a^2b^2+abc\sum a) \leq (4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ca+4a^2)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow 8abc\sum a^3+8\sum a^3b^3+3abc\sum ab(a+b) \geq 66abc ( AM-GM )[/TEX]

 

[huu_thuong]

[TEX]VT^2 \leq \left(8\sum a^2+\sum ab \right)\left(\sum \frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2) (4a^2+ac+4c^2)} \right) = \frac{\left(8\sum a^2+\sum ab \right)\left(8\sum a^2b^2+abc\sum a \right)}{\left(4a^2+ab+b^2)(4a^2+ac+4c^2)(4b^2+bc+4c^2 \right)}[/TEX]
Cần CM [TEX]:(8\sum a^2+\sum ab)(8\sum a^2b^2+abc\sum a) \leq (4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ca+4a^2)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow 8abc\sum a^3+8\sum a^3b^3+3abc\sum ab(a+b) \geq 66abc ( AM-GM )[/TEX]

Cách này hơi khó hiểu, có cách nào dễ hơn không bạn ??????/

 

[huu_thuong]

[TEX]VT^2 \leq \left(8\sum a^2+\sum ab \right)\left(\sum \frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2) (4a^2+ac+4c^2)} \right) = \frac{\left(8\sum a^2+\sum ab \right)\left(8\sum a^2b^2+abc\sum a \right)}{\left(4a^2+ab+b^2)(4a^2+ac+4c^2)(4b^2+bc+4c^2 \right)}[/TEX]
Cần CM [TEX]:(8\sum a^2+\sum ab)(8\sum a^2b^2+abc\sum a) \leq (4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ca+4a^2)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow 8abc\sum a^3+8\sum a^3b^3+3abc\sum ab(a+b) \geq 66abc ( AM-GM )[/TEX]

Cách này hơi khó hiểu, có cách nào dễ hơn không bạn ??????/

 

[thienlong_cuong]

[TEX]\sum[/TEX]=Tổng hoán vị em ợ ) . Gớm chắc chú mày biết thừa ấy chứ , cứ đùa )

Làm lại vậy)
[tex]\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+z)(x+y)}}\le^{C.S}\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\\Tuong-tu-hai-bieu-thuc-kia-cong-lai\\thi\\VT\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1=>\vec{OK}[/tex]

em vân ko hiểu ạ !
Cái chỗ cộng 3 vế
=> [TEX]Vt \geq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1=>\vec{OK} [/TEX]
Ko hiểu !

 

[thienlong_cuong]

[TEX]\sum[/TEX]=Tổng hoán vị em ợ ) . Gớm chắc chú mày biết thừa ấy chứ , cứ đùa )

Làm lại vậy)
[tex]\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+z)(x+y)}}\le^{C.S}\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\\Tuong-tu-hai-bieu-thuc-kia-cong-lai\\thi\\VT\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1=>\vec{OK}[/tex]

em vân ko hiểu ạ !
Cái chỗ cộng 3 vế
=> [TEX]Vt \geq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1=>\vec{OK} [/TEX]
Ko hiểu !

 

[conan_edogawa93]

em vân ko hiểu ạ !
Cái chỗ cộng 3 vế
=> [TEX]Vt \geq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1=>\vec{OK} [/TEX]
Ko hiểu !

đến botay.com luôn
Thế này
[tex]\sqrt{(x+y)(x+z)}\ge^{cauchy-schwarz} \sqrt{xy}+\sqrt{xz}[/tex]
Còn cộng 3 vế . Mẫu giống nhau, tử gộp vào bằng mẫu còn gì nữa

 

[conan_edogawa93]

em vân ko hiểu ạ !
Cái chỗ cộng 3 vế
=> [TEX]Vt \geq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1=>\vec{OK} [/TEX]
Ko hiểu !

đến botay.com luôn
Thế này
[tex]\sqrt{(x+y)(x+z)}\ge^{cauchy-schwarz} \sqrt{xy}+\sqrt{xz}[/tex]
Còn cộng 3 vế . Mẫu giống nhau, tử gộp vào bằng mẫu còn gì nữa