[toán 12]Một số bài toán chọn lọc

Nhưng anh có thể giải thích tại sao phương trình lại chắc chắn có hai nghiệm ạ ???

 

[TEX]f(x)=ax^2+bx+c=0\ \ \ \ a\ne 0[/TEX]

[TEX]af(x)= \(ax+\frac{b}{2}\)-\frac{\Delta}{4} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow\left{af(m)= \(am+\frac{b}{2}\)^2-\frac{\Delta}{4}\\ af(n)= \(an+\frac{b}{2}\)^2-\frac{\Delta}{4} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(m).f(n)=\[\(am+\frac{b}{2}\)^2 -\frac{\Delta}{4}\]\[\(an+\frac{b}{2}\)^2-\frac{\Delta}{4}\]\ \ (**)[/TEX]

Nếu [TEX]f(m).f(n)<0\Rightarrow_{**} \frac{\Delta}{4}>0\righ \Delta>0 [/TEX]

 

Có ai làm được bài 1 chưa ???:khi (130)::khi (130)::khi (130):

 

+) Với y=0 thì A=0
+) Với [TEX]y \neq 0[/TEX] thì cả x và y đều khác 0 , ta chia cả tử và mẫu cho [TEX]xy^2[/TEX] và đặt [TEX]t=\frac{x}{y} \neq 0 [/TEX] ta có :

[TEX]A= \frac{1}{(t^2+3)(1+\sqrt{1+\frac{12}{t^2}})}[/TEX]

Đến đây có thể đạo hàm ngay cái mẫu số và tìm tập giá trị của A .

Hoặc theo Hùng nói , có thể đặt [TEX]\sqrt{1+\frac{12}{t^2}}=u \Rightarrow t^2=\frac{12}{u^2-1} [/TEX]

Thay vào A ta được [TEX]A = \frac{1}{(\frac{12}{u^2-1}+3)(1+u)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A = \frac{u-1}{3u^2+9}[/TEX]

Khảo sát [TEX]f(u) = \frac{u-1}{3u^2+9}[/TEX] sẽ được [TEX]A \leq \frac{1}{18}[/TEX]

Kết hợp với ĐK bài toán là x > 0 và A=0 khi y=0 thì A nhận tập giá trị là [TEX][0;\frac{1}{18}][/TEX]

p/s : Có một số chỗ biến đổi hơi nhầm hay sao ấy , nhưng cách giải bài này là như thế và kết quả bài toán như trên là đúng

 

CMR [TEX]\forall a,b[/TEX] ta có :

[TEX]\frac{-1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}\leq\frac{1}{2}[/TEX]

 

[TEX]Cho x,y,z >0 . CMR :[/TEX]
[TEX]\frac{x^2}{x^2+xy+y^2}+[/TEX][TEX]\frac{y^2}{y^2+yz+z^2}+[/TEX][TEX]\frac{z^2}{z^2+zx+x^2}\geq 1[/TEX]

 

Em nghĩ bđt Nesbit thì đi thi đại học không được dùng , vậy thì phải làm như thế nào ạ ? Với lại cái bài 1 đăt tanx ,tany anh có thể giải cụ thể hơn được không ???

 

Đặt [TEX]\left{tan x=a\\tany=b[/TEX]

[TEX]S=\frac{\(tan x+tan y\)\(1-tan x.tan y\)}{\(1+tan^2x\)\(1+tan^2y\)}[/TEX]

[TEX]=\frac{\(\frac{sin x}{cosx}+\frac{sin y}{cosy}\)\(1-\frac{sin xsin y}{cosxcosy}\)}{\(1+\frac{sin^2x}{cos^2x}\)\(1+ \frac{sin^2y}{cos^2y}\)}[/TEX]

[TEX]=\[sin (x+y).cos(x+y)\]=\frac{1}{2}sin \(\(\frac{x+y}{2}\)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ \ (dpcm)[/TEX]

[TEX]Note:[/TEX] Cái dạng của [TEX]Nesbit[/TEX] là dễ quá anh ko giải thôi

 

Quang đây !

[TEX]VT = \sum \frac{x^2}{x^2+xy+y^2} \geq \sum \frac{x^2}{x^2+\frac{x^2+y^2}{2}+y^2}= \frac{2}{3} \sum \frac{x^2}{x^2+y^2} [/TEX]

Hay ta viết lại nó trở thành BDT Nesbit [TEX]VT \geq \frac{2}{3}( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}) \geq 1[/TEX] đpcm

Đi thi thì tất nhiên là ko được dùng luôn Nesbit rồi nhưng việc CM bdt này là việc đơn giản , có tới hơn 20 cách CM cho bdt Nesbit . Giang có thể tự CM ngon lành bdt này hoặc lên google.com để search cách CM bdt Nesbit này

 

Bài giải sai rồi, tự sửa nhé bạn
Bài này có một lời giải dồn biến nhưng có lẽ là quá tầm thi đại học

 

Suy đi suy lại thì ko phải [TEX]Nesbit[/TEX]

 

8-} Sai chỗ nào thế . Có gì đâu mà phải dồn biến 8-}

Cái chỗ Nesbit thì ko hẳn lắm thôi chứ sai gì 8-}

 

Chính xác nhất thì BDT Nesbit 3 biến là : [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Nhưng em nghĩ đây là BDT thức 3 biến đối xứng nên vai trò của các biến là như nhau nên cái này

[TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}[/TEX] cũng là 1 dạng của Nesbit 3 biến chứ nhỉ :-?

 

Hình như bđt trên không phải bđt Nesbit . Vậy không biết phải c/m kiểu gì đây ???

 

Muốn biết đúng hay sai thì tốt nhất là thử chứng minh, đừng suy luận linh tinh thế chứ

BDT trên sai hoàn toàn nên c/m sao nổi?

 

CM nè :
[TEX]\frac{a}{b+c} = \frac{a^2}{a.(b+c)}[/TEX]
--> sử dụng BDT [TEX]\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} + \frac{c^2}{z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}[/TEX] ok

 

tai sao không chuẩn hóa về x+y+z=1 hay cái gì đó hay hay mà dùng hàm số nhỉ các cậu?

 

Có thể thấy nó sai nhờ 1 bổ đề dưới đây ? ***********************....

 

Thế cái bđt trên có chứng minh được không :khi (130)::khi (130)::khi (130):

 

Đặt [TEX]\frac{x}{y}=a,\frac{y}{z}=b,\frac{z}{x}=c \to abc=1[/TEX]
[TEX]VT=\sum \frac{1}{a^2+a+1}=f(a,b,c) [/TEX]Ta chứng minh
[TEX]*)f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})[/TEX]
[TEX]*)f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}) =f(a,\sqrt{\frac{1}{a}},\sqrt{\frac{1}{a}})\geq 1[/TEX]