[toán 12]Một số bài toán chọn lọc

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi giangmanu, 28 Tháng mười hai 2008.

Lượt xem: 13,907

  1. giangmanu

    giangmanu Guest

    Dưới đây là một số bài thi thử đại học trên báo THTT số 380 :

    1) giải phương trình :

    [TEX]3^x[/TEX].2x = [TEX]3^x[/TEX] + 2x + 1

    2) tính tích phân :

    [TEX]\int_{0}^{ \frac{\large\pi}{2}}\frac{1+sinx}{1+cosx}.e^x.dx[/TEX]

    3) gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 . CMR :

    [TEX]\frac{52}{27}[/TEX] [TEX]\leq[/TEX] [TEX]a^2[/TEX] +[TEX]b^2[/TEX] +[TEX]c^2[/TEX] + 2abc < 2
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng hai 2009

  2. Giang xem lời giải sau của 1 bạn bên maths.vn nhé .

    [TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{1+\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x})e^xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{2\cos^2 x}+\tan{\frac{x}{2}})e^xdx\\=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}((\tan{\frac{x}{2}})'e^x+\tan{\frac{x}{2}}(e^x)')dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\tan{\frac{x}{2}}e^x)'dx[/TEX]
     
  3. [TEX]PT \Leftrightarrow 3^x(2x-1)=2x+1 [/TEX]

    Ta thấy [TEX]x= \frac{1}{2}[/TEX] ko phải là nghiệm của PT . Từ đó , ta có [TEX]3^x = \frac{2x+1}{2x-1}[/TEX]

    [TEX]VT=3^x[/TEX] làm hàm đồng biến

    [TEX]VP = \frac{2x+1}{2x-1}[/TEX] là hàm nghịch biến ( xét hàm này sẽ rõ ) .Và VP lại là hàm gián đoạn tại [TEX]x= \frac{1}{2}[/TEX] vì thế đồ thị của nó có 2 nhánh .
    Vậy PT có nhiều nhất 2 nghiệm

    Mặt khác , ta thấy [TEX]x= -1 [/TEX] và [TEX] x=1[/TEX] là nghiệm của PT

    Vậy PT có nghiệm [TEX]x=-1 ;x=1[/TEX]
     
  4. giangmanu

    giangmanu Guest

    Đề thi đại học THTT tháng 3/381 :


    1) Cho ph­ương trình


    [TEX]\frac{3.x^2 - 1}{\sqrt[]{2.x - 1}}[/TEX] = [TEX]\sqrt[]{2.x - 1}[/TEX] +m.x

    Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

    2) Cho Elip (E) có phương trình [TEX]\frac{x^2}{100}[/TEX] + [TEX]\frac{y^2}{24}[/TEX] = 1 . Tìm các điểm M thuộc (E) nhìn 2 tiêu điểm của (E) dưới 1 góc 120 độ .
     
  5. Giang lôi cái này lên mới nhớ , làm tạm bài này

    ĐK: [TEX] x \geq \frac{1}{2} [/TEX]

    [TEX]PT \Leftrightarrow 3x^2-1 = 2x-1+mx\sqrt{2x-1} \Leftrightarrow \left[ x=0 \\ 3x-2=m\sqrt{2x-1} [/TEX]

    Ta thấy x=0 ko phải là nghiệm của PT. Vậy để PT có nghiệm duy nhất thì [TEX] 3x-2=m\sqrt{2x-1} [/TEX](!) có nghiệm duy nhất

    Đặt [TEX]t = \sqrt{2x-1}[/TEX] thì PT ! trở thành [TEX]3t^2-1=2mt [/TEX] với [TEX] t \geq 0[/TEX]

    Đến đây ta chỉ cần tìm đk của m để PT bậc 2 trên có nghiệm duy nhất hoặc có 1 nghiệm âm , 1 nghiệm dương vì mỗi giá trị của t sẽ cho 1 giá trị của x , và công việc này ko có gì khó cả , các bạn tự find a resolution :)

    Hóa ra bài này đã có ở topic này

    http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=39131&page=3
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng tư 2009
  6. giangmanu

    giangmanu Guest

    Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x+y+z-2=0 và điểm A(1;1;1) , B(2;-1;0) , C(2;3;-1) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức :

    T = [TEX]MA^2[/TEX] + [TEX]MB^2[/TEX] + [TEX]MC^2[/TEX] có giá trị nhỏ nhất .

    Các cậu làm hộ mình bài này với ,cần gấp :

    Cho a,b,c không âm và a.b.c=10 . CMR :

    3 ([TEX]\frac{lga}{4^a}[/TEX] +[TEX]\frac{lgb}{4^b}[/TEX] + [TEX]\frac{lgc}{4^c}[/TEX] ) [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{1}{4^a}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{4^b}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{4^c}[/TEX] .
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng tư 2009
  7. Ta luôn có : [TEX](lga-lgb)( \frac{1}{4^a}-\frac{1}{4^b}) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{lga}{4^a} + \frac{lgb}{4^b} \leq \frac{lga}{4^b} + \frac{lgb}{4^a} [/TEX]

    Tương tự ta có : [TEX]\frac{lgb}{4^b} + \frac{lgc}{4^c} \leq \frac{lgb}{4^c} + \frac{lgc}{4^b}[/TEX] và [TEX] \frac{lgc}{4^c} + \frac{lga}{4^a} \leq \frac{lgc}{4^a} + \frac{lga}{4^c}[/TEX]

    Cộng theo vế ta được [TEX]2( \frac{lga}{4^a}+ \frac{lgb}{4^b} +\frac{lgc}{4^c}) \leq \frac{lga+lgb}{4^c} + \frac{lgb+lgc}{4^a} + \frac{lgc+lga}{4^b}[/TEX]

    Cộng tiếp thêm [TEX]\frac{lga}{4^a}+ \frac{lgb}{4^b} +\frac{lgc}{4^c}[/TEX] vào mỗi vế ta được :

    [TEX]3(\frac{lga}{4^a}+ \frac{lgb}{4^b} +\frac{lgc}{4^c}) \leq \frac{lga+lgb+lgc}{lgc} + \frac{lgb+lgc+lga}{lga} + \frac{lgc+lga+lgb}{lgb} = \frac{1}{4^a}+ \frac{1}{4^b} + \frac{1}{4^c}[/TEX]

    (do [TEX]lga+lgb+lgc=lgabc=1[/TEX] )

    Vậy ta có đpcm
     
  8. vodichhocmai

    vodichhocmai Guest

    Đây là phong cách của anh Quang pờ nồ :D.

    không mất tính tổng quát ta giả sử :

    [TEX]lga\ge lg b\ge lgc \Rightarrow 4^a\ge 4^b\ge 4^c[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{lga}{4^a}\le \frac{1}{3}\sum_{cyc}lga.\sum_{cyc}\frac{1}{4^a} [/TEX]

    [TEX]\Rightarrow 3\sum_{cyc}\frac{lga}{4^a}\le 1\sum_{cyc}\frac{1}{4^a} \ \ \ \ \ \ (dpcm)[/TEX]
     
  9. hayhatlen12

    hayhatlen12 Guest

    ..............................có thể giải bài 3 được không,thank nhiều
     
  10. giangmanu

    giangmanu Guest

    Ta có a+b+c=2 . [TEX]\Rightarrow[/TEX] a+b=2-c
    Đặt P = [TEX]a^2[/TEX] + [TEX]b^2[/TEX] +[TEX]c^2[/TEX] +2a.b.c
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] P = [TEX](a+b+c)^2[/TEX] - 2.( a.b + b.c + c.a ) + 2.a.b.c
    = 4 - 2. ( a.b + b.c + c.a - a.b.c )
    Ta CM a.b +b.c +c.a - a.b.c [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{28}{27}[/TEX]
    Thật vậy : a.b + b.c + c.a - a.b.c = c.( 2-c ) + a.b ( 1-c )
    Mặt khác : a.b [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{(a+b)^2}{4}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] c.( 2-c ) +a.b.( 1-c ) [TEX]\leq[/TEX] c.( 2-c ) + [TEX]\frac{(2-c)^2.(1-c)}{4}[/TEX]
    sau đó xét hàm f(c) = c.( 2-c ) + [TEX]\frac{(2-c)^2.(1-c)}{4}[/TEX] với 0 < c <1 .
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] f(c) [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{28}{27}[/TEX] khi c = [TEX]\frac{1}{3}[/TEX] . Vậy P [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{52}{27}[/TEX] .
    Ta có : (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0.
    [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] (2-2.a)(2-2.b)(2-2.c) >0 .
    [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] a.b + b.c + c.a - a.b.c >1
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] P < 4 - 2.1 =2 .
    Vậy [TEX]\frac{52}{27}[/TEX] [TEX]\leq[/TEX] P < 2 (đpcm)
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng tư 2009
  11. giangmanu

    giangmanu Guest

    Cho tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

    P = [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+tan^2\frac{A}{2} )( 1+tan^2\frac{B}{2})}{1+tan^2\frac{C}{2}}}[/TEX] +[TEX]\sqrt[]{\frac{(1+tan^2\frac{B}{2})(1+tan^2\frac{C}{2})}{1+tan^2\frac{A}{2}}}[/TEX] +[TEX]\sqrt[]{\frac{(1+tan^2\frac{C}{2})(1+tan^2\frac{A}{2})}{1+tan^2\frac{B}{2}}}[/TEX]
     
  12. thong1990nd

    thong1990nd Guest

    lời giải ở đây nè
    http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=599144#post599144
     
  13. Cách khác này , các bạn chú ý theo dõi nhé , dài nhưng dễ hiểu thôi

    Ta có :
    [TEX]\left{ \sqrt{1+tan^2{\frac{A}{2}}} = \sqrt{ \frac{1}{cos^2{\frac{A}{2}}}} = \frac{1}{cos{ \frac{A}{2}}} \\ \sqrt{1+tan^2{\frac{B}{2}}} = \sqrt{ \frac{1}{cos^2{\frac{B}{2}}}} = \frac{1}{cos{ \frac{B}{2}}} \\ \sqrt{1+tan^2{\frac{C}{2}}} = \sqrt{ \frac{1}{cos^2{\frac{C}{2}}}} = \frac{1}{cos{ \frac{C}{2}}} [/TEX]

    Thay vào biểu thức trên ta được :

    [TEX]P = \frac{ cos{\frac{A}{2}} }{ cos{\frac{B}{2}} cos{\frac{C}{2}}} + \frac{ cos{\frac{B}{2}} }{ cos{\frac{C}{2}} cos{\frac{A}{2}}} + \frac{ cos{\frac{C}{2}} }{ cos{\frac{A}{2}} cos{\frac{B}{2}}} [/TEX]


    Để cho dễ nhìn , ta đặt [TEX]a=cos{\frac{A}{2}} ; b=cos{\frac{B}{2}} ; c=cos{\frac{C}{2}} [/TEX] với [TEX]a,b,c > 0[/TEX]

    Biểu thức trở thành [TEX]P = \frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ab} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}[/TEX] (theo co-si )

    Mặt khác ta luôn có BDT lượng giác là [TEX]\sqrt[3]{cos{\frac{A}{2}} cos{\frac{B}{2}} cos{\frac{C}{2}}} \leq \frac{1}{3}(cos{\frac{A}{2}} + cos{\frac{B}{2}} +cos{\frac{C}{2}}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX] cái này có thể tự CM bằng BDT Jensen .

    [TEX]\Rightarrow \sqrt[3]{abc} \leq \frac{\sqrt{3}}{2} [/TEX] , tiếp tục [TEX]\Rightarrow P \geq \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}[/TEX]

    Dấu bằng tại các BDT xảy ra khi [TEX]A=B=C=60* [/TEX].

    Vậy [TEX]Pmin= 2\sqrt{3}[/TEX]

    p/s : Cái chỗ mình nói dùng Jensen - ai ko hiểu thì lên tiếng để mình CM nó cho .
    gõ mỏi cả tay , làm ra giấy thì nhanh thôi , nhưng gõ ra đây lâu thật
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tư 2009
  14. nguyenminh44

    nguyenminh44 Guest

    Càng ít nhắc đến Jensen càng tốt bạn ạ, vì đi thi đâu có được dùng. Chỉ vài dòng là xong

    [TEX]cos x+cos y=2cos{\frac{x+y}{2}}cos{\frac{x-y}{2}} \leq 2cos{\frac{x+y}{2}} \ \ \ [/TEX] với [tex](x-y) \in [-\pi;\pi][/tex]

    [TEX]\Rightarrow cos {\frac{A}{2}}+cos {\frac{B}{2}}+cos{\frac{C}{2}} +cos {\frac{\pi}{6}} \leq 2(cos{ \frac{A+B}{4}} +cos {\frac{3C+\pi}{12}}) \leq 4cos{\frac{3A+3B+3C+\pi}{24}=2\sqrt{3}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow cos {\frac{A}{2}}+cos {\frac{B}{2}}+cos{\frac{C}{2}} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tư 2009
  15. giangmanu

    giangmanu Guest

    Đặt [TEX]x=tan\frac{A}{2}[/TEX] , [TEX]y=tan\frac{B}{2}[/TEX] , [TEX]z=tan\frac{C}{2}[/TEX] ( với x, y, z > 0 )
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] x.y + y.z + z.x = 1

    P = [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}[/TEX] + [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}[/TEX] + [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}[/TEX]
    Ta có : [TEX]1+x^2 [/TEX] = [TEX]x.y +y.z +z.x +x^2[/TEX] = (x+y)(x+z)
    Tương tự : [TEX]1+y^2[/TEX] = (y+x)(y+z)
    [TEX]1+z^2[/TEX] = (z+x)(z+y)
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] P = (x+y) + ( y+z) + (z+x) = 2.(x+y+z)
    [TEX]P^2[/TEX] =[TEX]4.(x+y+z)^2[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] 12.(x.y+y.z+z.x) = 12
    [TEX]\Rightarrow[/TEX] P[TEX]\geq[/TEX] 2[TEX]\sqrt[]{3}[/TEX]
    Vậy Pmin = 2[TEX]\sqrt[]{3}[/TEX] khi A=B=C =[TEX]\frac{\pi}{3}[/TEX]
     
  16. Bài của Giang đúng rồi , nhưng để chặt chẽ hơn thì Giang nên chỉ rõ tại sao [TEX]xy+yz+zx=1[/TEX] . Và Giang chú ý là đặt " TEX " vào các số và chữ số khác nữa cho nó đẹp

    Tiện thể có bài này hay cho mọi người thử . Giải PT [TEX]log_3(1+sin^2x-sinx)=\frac{\sqrt{3}}{2}cosxsin2x[/TEX]
     
  17. nguyenminh44

    nguyenminh44 Guest

    [TEX]\Leftrightarrow log_3(1+sin^2x-sinx)=\sqrt{3}sinxcos^2x[/TEX]

    Thêm 1 chú ý:

    [TEX]sin^2x-xinx \left{ \leq 0 \ \ \ \ if \ \ sin x \geq 0 \\ . \\ \geq 0 \ \ \ \ \ if \ \ sinx \leq 0[/TEX]

    Giờ chắc dễ rồi, :D

    -----
    NM44 Version 2
     
  18. thong1990nd

    thong1990nd Guest

    bài loga này đã có ở học mãi từ lâu rùi lời giải ở đây:D
    http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=36626
    tiện thể đưa 1 bài vào đây
    giải hệ PT sau
    [TEX]x^2+y^3=29[/TEX] và [TEX]log_2x.log_3y=1[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tư 2009
  19. giangmanu

    giangmanu Guest

    Mọi người làm hộ tớ bài này :
    GPT : [TEX]\sqrt[]{x+4} = x^2-2x-4[/TEX]
     
  20. huong_dung

    huong_dung Guest

    ĐK x>=-4
    [TEX]\sqrt{x+4} = x^2-2x-4[/TEX]
    [TEX]x^2 - x + \frac{1}{4} = \sqrt{x+4} +x + 4 +\frac{1}{4}[/TEX]
    [TEX](\sqrt{x+4}+\frac{1}{2})^2 =(x- \frac{1}{2})^2[/TEX]
    [TEX]\sqrt{x+4} + \frac{1}{2}= |x- \frac{1}{2}| [/TEX]
    (gõ CT răng mà khó ri)
    [TEX]{\sqrt{x+4}= x - 1 (x>=1)[/tex]
    giải pt đó ta được x= [TEX]\frac{3+\sqrt{15}}{2}[/TEX]

    (không biết vừa làm vừa post bài như ri có sai chỗ mô ko nữa)
     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tư 2009
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->