Toán 10 [Toán 10]Bất đẳng thức

[ket_anh]

nêm cho x, y, z không âm
giả thiết x là số lớn nhất
$x \ge 2$ @o-+@
$y,z \in [0-2]$
suy $(2-y)(2-z) \ge 0$
khai triển
rùi
chuyển đề bài
về sét dấu tam thức bậc 2 , $\Rightarrow$ hjhj

 

[hoang_tu_thien_than198]

[Toán 10] Bất đẳng thức Cauchy


Bài 1:
Cho [TEX]a \geq 10, b \geq 100, c \geq 1000 [/TEX]
Tìm min của [TEX]P = a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}[/TEX]

Bài 2:
Cho a, b, c >0 thỏa a + b + c = 1
CMR: [TEX]\sqrt{a +b} + sqrt{b + c} + sqrt{c + a} \leq sqrt{6}[/TEX]
Bài 3:
Cho [TEX]x \geq 1, y \geq 1[/TEX]. CMR:

[TEX]x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1} \leq xy[/TEX]

Tks.

 

[vuhoang97]

bài 2
ad bđt Cô-si ta có
[TEX](\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{a+c})^2\leq3(a+b+b+c+c+a)=6[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{a+c}[/TEX]\leq[TEX]\sqrt[]{6}[/TEX]
bài 3.chuyển vế bp làm bình thường
bài 1.(a;b;c)=(2;100;1000) từ đó ta dùng phép cô-si điểm rơi để hoàn thành bài toán

 

[hoang_tu_thien_than198]

Mình ghi nhầm đề
Bài 1 a >= 10 mới đúng
Vì vậy a không thể bằng 2 được!
Nhưng cách làm thì cũng thế!

 

[vuhoang97]

Mình ghi nhầm đề
Bài 1 a >= 10 mới đúng
Vì vậy a không thể bằng 2 được!
Nhưng cách làm thì cũng thế!

ừ,tại nếu a\geq0 thì [TEX]a+\frac{1}{a}\geq2[/TEX]
[=] \Leftrightarrow a=2

 

[hoang_tu_thien_than198]

Bạn làm kĩ lại bài 1 giúp mình đi!
Nói là chọn điểm rơi nhưng mình không biết tách loại này!

 

[vuhoang97]

ok

A=[TEX]a+\frac{100}{a}-\frac{99}{a}+b+\frac{10000}{b}-\frac{9999}{b}+c+\frac{1000000}{c}-\frac{999999}{c}[/TEX]
\LeftrightarrowA\geq[TEX]2\sqrt[]{100}-\frac{99}{10}+2\sqrt[]{10000}-\frac{9999}{100}+2\sqrt[]{1000000}-\frac{999999}{1000}[/TEX]
lấy máy tính bấm là ra

 

[hoang_tu_thien_than198]

Bài 3 mình làm thế này, không chuyển vế, nhân thêm thôi, vẫn dùng Cauchy

[TEX]x\sqrt{1(y-1)} \leq \frac{xy}{2} (1)[/TEX]

[TEX]y\sqrt{1(x-1)} \leq \frac{xy}{2} (2)[/TEX]

Cộng vế ta được:
[TEX](1) + (2) \Leftrightarrow x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1} \leq xy[/TEX]


Còn bài 1 trông nản quá!

 

[vuhoang97]

Bài 3 mình làm thế này, không chuyển vế, nhân thêm thôi, vẫn dùng Cauchy

[TEX]x\sqrt{1(y-1)} \leq \frac{xy}{2} (1)[/TEX]

[TEX]y\sqrt{1(x-1)} \leq \frac{xy}{2} (2)[/TEX]

Cộng vế ta được:
[TEX](1) + (2) \Leftrightarrow x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1} \leq xy[/TEX]


Còn bài 1 trông nản quá!

tại vì số to nên trông thế thôi,nhưng khi hiểu rõ thì rất đơn giản mà

 

[vuhoang97]

bài 1 . Dùng pp chứng minh phản chứng:
Giả sử [TEX]a^3+b^3\geq a^4+b^4[/TEX]
Vì [TEX]a+b\geq2[/TEX] nhân các vế tương ứng ta có
[TEX](a+b)(a^3+b^3)\geq2(a^4+b^4)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3b+ab^3\geq a^4+b^4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3(b-a)-b^3(b-a)\geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (b-a)(a-b)(a^2+ab+b^2)\geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a-b)^2(a^2+b^2+ab)\leq0[/TEX] (vô lí)
vậy dẫn đến giả sử là sai \Rightarrow [TEX]a^3+b^3\leq a^4+b^4[/TEX]

mời bạn xem lại câu 3 (ý 1) về cái đề bài khi cho (a;b;c)=(3;4;5) ko thỏa mãn

 

[tuan0297]

Mình đã kiểm tra lại và thấy đề đó đúng với đề cô mình đã ra! Ko biết tại vì sao ko t/m, lúc nào hỏi lại cô đã!

 

[nguyenbahiep1]

Mọi người giải giúp mình hoặc hướng dẫn cũng được! Mình sẽ thanks nhiệt tình!
2. [TEX](a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \leq abc[/TEX]

theo cosi

[TEX]\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)} \leq \frac{a+b-c+b+c-a}{2} =b \\ \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)} \leq \frac{a+b-c+a+c-b}{2} = a \\ \sqrt{(a+c-b)(b+c-a)} \leq \frac{a+c-b+b+c-a}{2} =c[/TEX]

nhân 3 vế ta được điều phải chứng minh

 

[bo_ieu_tho]

Mọi người giải giúp mình hoặc hướng dẫn cũng được! Mình sẽ thanks nhiệt tình!
1) CMR: nếu $a + b \geq 2 $thì $a^3 + b^3 \leq a^4 + b^4$
2) CMR: $\forall a,b$ thuộc R* ta có $(1+ \frac{b}{a})^m + (1+ \frac{a}{b})^m \geq 2^m.2$
3) cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR
1. $a^3 + b^3 + c^3 +2abc < a^2(b+c) +b^2(c+a) + c^2(a+b)$
2. $(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \leq abc$
4) 1. CMR nếu $0\leq x\leq y\leq z$ thì:
$y(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}) + \frac{1}{y}(x+z) \leq(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})(x+z)$
2.CMR: nếu a,b là hai số không âm thì ta có: $3a^3 + 7b^3 \geq 9ab^2$


@minhtuyb: Không nên định dạng size và font khi đánh latex nhé bạn

Gợi ý:
1) Có 3 cách:
+ Biến đổi tương đương, đưa về tổng bình phương (bạn nên thử cái này)
+Dùng BĐT Cauchy
+Dùng BĐT Chebyshev
3)
a) Sử dụng BĐT Cauchy và các BĐT trong $\Delta$
b) BĐT Schur hoặc BĐT cauchy
4)
a) Phân tích thành tổng bình phương, chú ý $(x+z)$
b) Điểm rơi BĐT cauchy

 

[i_am_still_alive]

ở đây là 1 link mình giải theo 1 đề bài mà mình cho là đúng
câu 3.1 ấy
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=228987

mình có bài như thế
đề # bạn chút nhưng có lẽ là bạn chép nhầm hoặc cô giáo bạn nhầm

(a;b;c)=(3;4;5) ko thỏa mãn đâu

 

[l4s.smiledonghae]

[Toán 10] C/m BĐT

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:
$\dfrac{1}{{a\left( {1 + b} \right)}} + \dfrac{1}{{b\left( {1 + c} \right)}} + \dfrac{1}{{c\left( {1 + a} \right)}} \geq \dfrac{3}{{1 + abc}}$

p/s: Cho mình hỏi làm sao đưa BĐT vào tiêu đề bài viết?

 

[th1104]

Do a,b,c>0 nên [TEX]abc+1\geq \sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX](\sqrt[3]{abc}+1)(\sqrt[3]{abc}-1)^2\geq 0[/TEX] (Luôn đúng)

\Rightarrow [TEX]\frac{3}{\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)}\geq \frac{3}{abc+1}[/TEX]

Vì thế nên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn:

[TEX]\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)}[/TEX]

Tồn tại số k, x, y, z sao cho
Đặt [TEX]a=k.\frac{x}{y}[/TEX],[TEX]b=k.\frac{y}{z}[/TEX],[TEX]c=k.\frac{z}{x}[/TEX] \Rightarrow [TEX]k=\sqrt[3]{abc}[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

[TEX]\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)} = \frac{1}{k}. ( \frac{yz}{kxy+zx}+\frac{xz}{kyz+xy}+\frac{xy}{kzx+yz} )[/TEX]

\geq [TEX]\frac{(xy+yz+zx)^2}{k(k+1)(x+y+z)xyz}\geq \frac{3}{k(k+1)}[/TEX]

(Do [TEX](xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)[/TEX])

Vậy ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1

 

[hn3]

[TEX]\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \geq \frac{3}{1+abc}[/TEX]

[TEX]<=> \frac{1+abc}{a+ab}+\frac{1+abc}{b+bc}+\frac{1+abc}{c+ca} \geq 3[/TEX]

[TEX]<=> \frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+c+ca}{c(1+a)} \geq 6[/TEX]

[TEX]<=> \frac{ab(1+c)+1+a}{a(1+b)}+\frac{bc(1+a)+1+b}{b(1+c)}+\frac{ca(1+b)+1+c}{c(1+a)} \geq 6 (1)[/TEX]

Theo AM-GM :

Vế trái (1) [TEX]\geq \frac{2\sqrt{ab(1+c)(1+a)}}{a(1+b)}+\frac{2\sqrt{bc(1+a)(1+b)}}{b(1+c)}+\frac{2\sqrt{ca(1+b)(1+c)}}{c(1+a)}[/TEX]

Ở biểu thức đấy , em đem 2 ra , đưa các mẫu số vào căn , AM-GM lần nữa là OK! (ngại gõ :-SS)

 

[l4s.smiledonghae]

[Toán 10] C/m BĐT

mn giúp mình bài này nữa nhé
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:
$ \dfrac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{a^2}}} \geq \dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} $

 

[hthtb22]

By AM-GM; We have:
$\sum \frac{a^3}{b^2}+\sum a \ge 2.\sum \frac{a^2}{b}$(1)

Otherwise
By AM-GM:
$\sum \frac{a^2}{b} +\sum b \ge 2\sum a$

\Rightarrow $\sum \frac{a^2}{b} \ge \sum a$(2)

From (1) and (2);We have Q.E.D
P/S;Thứ lỗi cho mình ;mình đang học giải toán bằng Tiếng Anh

 

[l4s.smiledonghae]

Cám ơn các bạn vì đã giúp mình thầy Toán gợi ý là còn cách khác nữa để C/m các BĐT trên chỉ bằng phương pháp biến đổi tương đương và sử dụng AM-GM chỉ một lần. Các bạn giúp mình C/m theo cách thầy gợi ý với!