Toán 10 [Toán 10]Bất đẳng thức

[th1104]

mn giúp mình bài này nữa nhé
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:
$\dfrac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{a^2}}} \geq \dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a}$

Có lẽ là thế này. Mình thử nhé


Áp dụng bổ đề: [TEX]x^3 + y^3 \geq xy(x+y)[/TEX]

Ta có:

[TEX]\frac{a^3}{b^2} + b[/TEX] = [TEX]\frac{a^3 + b^3}{b^2}[/TEX] \geq [TEX]\frac{ab(a+b)}{b^2}[/TEX] = [TEX]\frac{a^2}{b} + a[/TEX]

tương tự với cái kia nhá. hic hic.

Cộng các vế \Rightarrow ĐPCM

 

[kalangtu]

Bất Đẳng Thức Khó

Cho a,b,c > 0 tm: abc \geq 1
CMR:

 

[mitd]

Áp dụng BDT này nhá :

[TEX]\frac{1}{a+b+c} \leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

Có :

[TEX]\frac{1}{a(b+3c+2a)}+\frac{1}{b(c+3a+2b)}+\frac{1}{c(a+3b+2c)}[/TEX]

[TEX]\leq \frac{bc}{(b+a)+(a+c)+2c}+\frac{ac}{(c+b)+(a+b)+2a}+\frac{ab}{(a+c)+(b+c)+2b}[/TEX]

[TEX]\leq \frac{1}{9}(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{2c})+\frac{1}{9}(\frac{ac}{c+b}+\frac{ac}{a+b}+ \frac{ac}{2a})+\frac{1}{9}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{2b})[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{9}(\frac{a+b+c}{2}+\frac{c(a+b)}{a+b}+ \frac{b(a+c)}{a+c}+ \frac{a(b+c)}{b+c}) =\frac{a+b+c}{6} \Rightarrow dpcm[/TEX]

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=c

 

[kalangtu]

Thêm 1 bài nữa: Cho 3 số ko âm a,b,c thỏa mãn ĐK : a+b+c = 1. CMR:
a^2 + b^2 + c^2 + căn(12abc) \leq 1

 

[pheo56]

Thêm 1 bài nữa: Cho 3 số ko âm a,b,c thỏa mãn ĐK : a+b+c = 1. CMR:
a^2 + b^2 + c^2 + căn(12abc) \leq 1

$$a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3abc} \leq 1 \leftrightarrow(a+b+c)^2+2.\sqrt{3abc} \leq 1 +2ab+2bc+2ca$$
suy ra: $$\sqrt{3abc} \leq ab+bc+ca$$
$$=> 3(a+b+c).abc \leq (ab+bc+ca)^2$$
trừ vế thấy 1 đẳng thức >=0 luôn đúng => đpcm

 

[l4s.smiledonghae]

[Toán 10] C/m BĐT

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:
$$\sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{a + b}}} \geq 2$$

 

[pheo56]

ĐK: a, b, c dương. Áp dụng BĐT Cô-si:
√(1. (b+c)/a)<=(1+(b+c)/a):2=(b+c+a)/2a
=> √(a/(b+c)) >= 2a/(a+b+c)
tương tự: √(b/(a+c)) >= 2b/(a+b+c)
√(c/(a+b)) >= 2c/(a+b+c)
Cộng theo vế ta được: VT >= (2(a+b+c)/(a+b+c) = 2
Dấu bằng xảy ra <=> a=b+c; b= a+c; c= a+b
Khi đó VT = 3 > 2. Vậy dấu bằng không xảy ra.

 

[l4s.smiledonghae]

ĐK: a, b, c dương. Áp dụng BĐT Cô-si:
√(1. (b+c)/a)<=(1+(b+c)/a):2=(b+c+a)/2a
=> √(a/(b+c)) >= 2a/(a+b+c)
tương tự: √(b/(a+c)) >= 2b/(a+b+c)
√(c/(a+b)) >= 2c/(a+b+c)
Cộng theo vế ta được: VT >= 2(a+b+c)/(a+b+c) = 2

Mình làm giống bạn đến chỗ này rồi kết luận luôn!

Dấu bằng xảy ra <=> a=b+c; b= a+c; c= a+b
Khi đó VT = 3 > 2. Vậy dấu bằng không xảy ra.

Chỗ này mình không hiểu, tại sao lại có điều kiện này chứ? Bạn giải thích đi, mình thấy dấu bằng vẫn có thể xảy ra được mà

 

[pheo56]

Có điều kiện ấy bởi vì đấy là điều kiện xảy ra dấu bằng của 2 số khi ta áp dụng AM-GM cho 2 số mà bạn

 

[toanthayha]

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng Bunhiaskopki

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sau bằng phương pháp Bunhiaskopki
[TEX] y=sqrt{2-x}+sqrt{2+x} [/TEX]

 

[nguyenbahiep1]

[TEX]y^2 = ( 1.\sqrt{2-x} + 1.\sqrt{x+2}) ^2 \leq ( 1^2+1^2)( 2-x + x+2) = 8 \\ y^2 \leq 8 \Rightarrow 2 \leq y \leq 2.\sqrt{2} \\ Max y =2.\sqrt{2} , x = 0 \\ Min y = 2 , x = \pm 2 [/TEX]

 

[linkinpark_lp]

Bất đẳng thức

Cho [TEX]\ \frac{1}{3} < x \le \frac{1}{2}\ [/TEX] và [TEX]\ y \ge 1\ [/TEX]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [TEX]\ P = {x^2} + {y^2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{{{\rm{[}}(4x - 1)y - x{\rm{]}}}^2}}}\ [/TEX]

 

[l4s.smiledonghae]

[Toán 10] C/m BĐT

Giúp mình bài này nữa nha mn:
Cho a, b, c, d là các số dương, chứng minh:
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}}}{4}} \geq \root 3 \of {\dfrac{{abc + abd + bcd + cda}}{4}} $$

 

[hungpronguyen]

ok

áp dụng bất đẳng thức schwarz la ok.chung minh ve dau ay

 

[l4s.smiledonghae]

áp dụng bất đẳng thức schwarz la ok.chung minh ve dau ay

Bạn có thể làm rõ ra hơn được không?
Mình chưa học BĐT Schwarz nên chưa thể hình dung được!
BĐT Schwarz có phải là BĐT Cauchy không bạn?

 

[theducdung]

cmr với a,b > 0 thì ab+1>=a+b

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

 

[vodichhocmai]

ĐK: a, b, c dương. Áp dụng BĐT Cô-si:
√(1. (b+c)/a)<=(1+(b+c)/a):2=(b+c+a)/2a
=> √(a/(b+c)) >= 2a/(a+b+c)
tương tự: √(b/(a+c)) >= 2b/(a+b+c)
√(c/(a+b)) >= 2c/(a+b+c)
Cộng theo vế ta được: VT >= (2(a+b+c)/(a+b+c) = 2
Dấu bằng xảy ra <=> a=b+c; b= a+c; c= a+b
Khi đó VT = 3 > 2. Vậy dấu bằng không xảy ra.

[TEX]\huge \left{ Cyclic\{0;x;x\} \\ x \>0[/TEX]

[TEX] \ \ [/TEX]
Nếu có thể khi đề chỉnh tí

 

[vodichhocmai]

Giúp mình bài này nữa nha mn:
Cho a, b, c, d là các số dương, chứng minh:
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}}}{4}} \geq \root 3 \of {\dfrac{{abc + abd + bcd + cda}}{4}} $$

No thì luôn đúng do ta luôn có:

[TEX]\huge \left{\sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} \geq \sqrt[3] {\frac{abc + abd + bcd + cda}{4}}\\ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2 \ge 0 [/TEX]

 

[kalangtu]

[Toán 10] Bất đẳng thức

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: x+ y + z = 3/2. CMR:

hthtb22:Chú ý tiêu đề

 

[vodichhocmai]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: x+ y + z = 3/2. CMR:

[TEX]\huge \blue Cauchy-Schwart[/TEX]

[TEX]\huge \blue \sqrt{x^2+xy+y^2} \ge \frac{\sqrt{3}$x+y$}{2}[/TEX]

Do đó ta cần chứng minh bdt mạnh hơn là

[TEX]\huge \blue \righ \sum_{cyclyc}\frac{x+y}{2z+1} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

Hay

[TEX]\huge \blue \righ \sum_{cyclic}\frac{(2x-1)^2}{2(2x+1)} -(x+y+z)+3 \ge \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\huge \blue \righ \sum_{cyclic}$$\frac{(2x-1)^2}{2(2x+1)}$$ \ge 0[/TEX]

Nó thì luôn đúng . Vậy bài toán chứng minh xong​

​

​