Toán 10 [Toán 10]Bất đẳng thức

[anhnd1102]

Tổng hợp bất đẳng thức

Sáng tạo ra các bài toán mới nói chung và bất đẳng thức nói riêng là phần không thể thiếu của các diễn đàn toán học lớn.

Trên HM đã có rất nhiều topic hỏi về BĐT nhưng xem ra quá nhiều bài sưu tầm và người ra đề mập mờ không biết có phải là sáng tác hay sưu tầm. Trên diễn đàn có rất nhiều thành viên đã sáng tạo nhiều bài toán hay :-*:-*

Mình nghĩ rằng cần tạo một topic để các thành viên đề xuất ra các bài toán made in HOCMAI để sau này có thể in thành tài liệu ghi dấu ấn của HOCMAI. Việc nghĩ ra một bài toán hay và mới cũng là điều không dễ nhưng cũng không phải là quá khó. Rất có thể bài bạn nghĩ ra nhưng bài đó đã có từ trước đó.

Nhưng không sao, nếu ai đó phát hiện ra đã có thì cho biết link và đề nghị mod di chuyển bài đó vào topic khác (không cần xoá đi). Tiêu chí của topic này là : Khuyến khích các bạn nghĩ ra đề bài ( hoặc ST ) rồi mọi người cùng giải sau một tuần nếu ko ai có đáp án thì bạn phải đưa ra đáp án. Đề nghị khi giải phải chi tiết (không ghi tắt như : áp dụng AM-GM rồi CS -> done).
Rất mong mọi người ủng hộ. :\">:\">:\">

BẮT ĐẦU NHÉ!


Bài 1:

Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

[TEX]a^6b+b^6c+c^6d+d^6e+e^6a \ge abcde(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)[/TEX]


Bài 2

Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác với bán kính ngoại tiếp R. Chứng minh rằng

[TEX]4(a+b+c)R^2 \ge a^3+b^3+c^3+abc[/TEX]

Bài 3:

Cho a≥b≥c≥0. Chứng minh rằng:

[TEX]2[(a^2+b^2+c^2)^2-3(ab^3+bc^3+ca^3)] \ge (a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4[/TEX]​

 

[anhnd1102]

Bài 2

Ta có

[TEX](a+b+c) \vec {HI} = a\vec{HA}+b\vec{HB}+c\vec{HC}[/TEX]

Bình phương vô hướng hai vế ta có

[TEX](a+b+c)^2= \sum a^2.\vec {HA}^2 +2 \sum ab.\vec{HA}.\vec{HB} =\sum a^2.\vec {HA}^2 + \sum ab.(HA^2+HB^2-c^2)[/TEX]

Bây giờ ta cần tính HA,HB,HC.
Hạ OD vuông góc với BC thì

[TEX]HA^2=4OD^2=4R^2-a^2[/TEX]

Bây giờ ráp vào trên ta có đpcm.
Chịu khó hơn một chút và để ý rằng

[TEX]ab+bc+ca=p^2+4Rr+r^2 a^2+b^2+c^2=2p^2-8Rr-2r^2 abc=4Rrp[/TEX]

Ta thu được bất đẳng thức có nhiều ứng dụng (hình như là Gereten)

[TEX]4R^2+4Rr+3r^2\ge p^2[/TEX]​

 

[bosjeunhan]

[Toán 9] Sáng tạo bất đẳng thức

Hoan nghênh tinh thần của bạn
Tuy nhiên, với mục đích của bạn thì đã có một topic như vậy, điều này sẽ gây ra tình trạng loãng bài trong diễn đàn.

Hãy thuyết phục mình, có thể là 1 mục đich khác, lý do khác,...để mình mở topic này ^^
Thân

 

[myrainbow210]

chứng minh bdt

cho 3 số dương a,b,c. CMR:
$\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1} \ge \frac{1}{4}$
biết a+b+c=1

 

[hn3]

Sao một bạn giải như nầy :

[TEX]\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)+3}=\frac{1}{4}[/TEX]

Giá trị nhỏ nhất là 1/4 , khi a=b=c=1/3 .

 

[hthtb22]

Cách khác:

$\dfrac{a^2}{a+1}=a-\dfrac{a}{a+1}$

Nên $\sum \dfrac{a^2}{a+1}=1-\sum \dfrac{a}{a+1}=1-\sum (1-\dfrac{1}{a+1})=\sum \dfrac{1}{a+1}-2 \ge \dfrac{9}{a+b+c+3}-2 =\dfrac{1}{4}$
Đề sai nhé

 

[buithinhvan77]

Sao một bạn giải như nầy :

[TEX]\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)+3}=\frac{1}{4}[/TEX]

Giá trị nhỏ nhất là 1/4 , khi a=b=c=1/3 .

ÁP dụng bdt này:
[TEX]\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} + \frac{c^2}{z} \geq \frac{(a + b + c)^2}{x + y + z}[/TEX]

 

[luckystudent100]

Ta có thể dùng S.M.V (dồn biến mạnh) để dồn biến !!!

 

[myrainbow210]

tìm gtnn

cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện:
[TEX]x^2+y^2+z^2=1[/TEX]
tìm min của biểu thức
[TEX]P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}[/TEX]

 

[truongduong9083]

Ta có: $P^2 = \dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{z^2x^2}{y^2}+2(x^2+y^2+z^2)$
Bạn chứng minh $\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{z^2x^2}{y^2} \geq (x^2+y^2+z^2)$ là xong (Gợi ý áp dụng cô si cho từng cặp nhé)

 

[nghgh97]

Mình làm thử nhé
\[P = \dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{yz}}{x} + \dfrac{{zx}}{y} \geq 2\sqrt {\dfrac{{xy}}{z}\dfrac{{yz}}{x}\dfrac{{zx}}{y}} = 2\sqrt {xyz} \]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} \geq 2\sqrt {{x^2}{y^2}{z^2}} = 2\sqrt {xyz} \]
\[ \Leftrightarrow 1 \geq 2\sqrt {xyz} \]
\[ \Leftrightarrow {P_{\min }} = 1\]

 

[123tuananh]

[Toán 10] Tìm m để các biểu thức xác định

tìm m để
a) y = $\sqrt{x-m-1} + \sqrt{4x-m}$ xác định với mọi x>0

b) y= $\sqrt{x-m+2}-\frac{x}{\sqrt{-x+2m-1}}$ xác định / [0;1]

hthtb22: Chú ý Latex +Tiêu đề

 

[nguyenbahiep1]

tìm m để a) y = căn bậc 2 của (x-m-1) + căn bậc 2 của (4x-m) xác định với mọi x>0 b) y= căn bậc 2 của (x-m+2)-x:căn bậc 2 của(-x+2m-1) xác định / [0;1]

câu a

[TEX]y = \sqrt{x-m-1} + \sqrt{4x -m } \\ txd: x \geq m + 1 \\ x \geq \frac{m}{4} \\ TH_1 :m + 1 \geq \frac{m}{4} > 1 \Rightarrow m > 4 \\ TH_2 : \frac{m}{4} \geq m+1 > 1 \Rightarrow (vo nghiem)[/TEX]

vậy đáp án m > 4

 

[linh9719]

gtnn-gtln

tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=-2x^2+3
nhỏ nhất y=x^2+4x+7
y=2x^2-4
y=x^4-2x^2+3


giải dùm mình với

 

[linh9719]

gtnn-gtln

tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-2x^2+3$
nhỏ nhất $ y=x^2+4x+7;$
$ y=2x^2-4;$
$y=x^4-2x^2+3$


giải dùm mình với

 

[huytrandinh]

[TEX] -2x^{2}+3\leq 3,(x^{2}\geq 0)=>max=3<=>x=0 [/TEX]
[TEX]x^{2}+4x+7=(x+2)^{2}+3\geq 3=>min=3<=>x=-2[/TEX]
[TEX]x^{4}-2x^{2}+3=(x^{2}-1)^{2}+2\geq 2=>min=2<=>x=\pm 1[/TEX]

 

[bosjeunhan]

tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=-2x^2+3
nhỏ nhất y=x^2+4x+7
y=2x^2-4
y=x^4-2x^2+3


giải dùm mình với

Đây là những bài cơ bản mà bạn!
Hãy thử đưa về một bình phương nào đó cộng thêm với 1 số ^^

 

[anhphuong147]

tìm giá trị nhỏ nhất của y=x^2+4x+7
a) y=x^2 + 2x2 +2^2 +7 - 2^2
y = (x+2)^2 +3 nhỏ hơn hoặc bằng 3
Vậy GTNN là 3 tại x = -2

c) y=x^4-2x^2+3
y= x^4 - 2*x^2*1 +1^2 +3 -1^2
y =(x^2 -1)^2 +2 nhỏ hơn hoặc bằng 2
Vậy GTNN là 2 tại x = 1; x = -1

 

[petun12a2lg3]

Cho các số thực a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:
\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}

 

[huuqui142]

Bất đẳng thức- lớp 10

@-):Cho a, b, c là ba số dương thõa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^3}{(1+a)(1+b)}+\dfrac{b^3}{(1+b)(1+c)}+ \dfrac {c^3}{(1+c)(1+a)}\geq \dfrac{3}{4}$