Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

[Dương Bii]

$191$.
$(2) \Leftrightarrow 3.2.\frac{\sqrt{y-4}.4}{y} +2.2 \frac{\sqrt{x-2}.2}{x}\leq 5$
Dau $''=''$ $ \Leftrightarrow y=8 ; x=4$
Thế xg pt dưới.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Một vài bài trong các đề thi học sinh giỏi THPT các bạn làm thử nhé
[TEX]\boxed{192}[/TEX](Khánh Hòa) Giải phương trình:
$\dfrac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\dfrac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$
[TEX]\boxed{193}[/TEX](Thái Nguyên) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x} \\
& \sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{194}[/TEX](Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&2x^2+7x+3+\sqrt{x+1}=y^2+2y-xy+\sqrt{y-x} \\
&3\sqrt{6+x-y}+3\sqrt{3x+y-5}=y+6
\end{matrix}\right.$
@Dương Bii @kingsman(lht 2k2) @Tony Time @lengoctutb @KwangDat ,...
P/s: Mọi người tiếp tục ủng hộ topic nhé ^^

 

[KwangDat]

Một vài bài trong các đề thi học sinh giỏi THPT các bạn làm thử nhé
[TEX]\boxed{192}[/TEX](Khánh Hòa) Giải phương trình:
$\dfrac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\dfrac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$
[TEX]\boxed{193}[/TEX](Thái Nguyên) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x} \\
& \sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{194}[/TEX](Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&2x^2+7x+3+\sqrt{x+1}=y^2+2y-xy+\sqrt{y-x} \\
&3\sqrt{6+x-y}+3\sqrt{3x+y-5}=y+6
\end{matrix}\right.$
@Dương Bii @kingsman(lht 2k2) @Tony Time @lengoctutb @KwangDat ,...
P/s: Mọi người tiếp tục ủng hộ topic nhé ^^

Lâu chưa vào topic, nhiều bài hay quá

Lời giải bài 193:
ĐKXĐ: [tex]-\frac{2}{3}\le y\le \frac{2}{3}[/tex]
[tex](1)\Leftrightarrow 2y^3+y=2(\sqrt{1-x})^3+\sqrt{1-x}[/tex]
Ta dễ chứng minh hàm [tex]f(t)=2t^3+t[/tex] đồng biến trên tập thưc
Do đó:
[tex]y=\sqrt{1-x} \Rightarrow y^2=1-x(3)[/tex]
Thế (3) vào (2) ta được:
[tex]\sqrt{4x+5}=2x^2-6x-1 \\ \Leftrightarrow (2x-3-\sqrt{4x+5})(2x-1+\sqrt{4x-5}) \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-3=\sqrt{4x+5}\\1-2x=\sqrt{4x+5} \end{matrix}\right \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2+\sqrt{3}\\x=1-\sqrt{2} \end{matrix}\right[/tex]
Thế ngược lại (3) và thử lại, ta thấy HPT có nghiệm duy nhất là [tex](1-\sqrt{2};\sqrt[4]{2})[/tex]

Lời giải bài 194:
Lười ghi ĐKXĐ
[tex](1)\Leftrightarrow 2(x+1)^2-(x+1)(y-x)-(x-y)^2+(x+y+1)(2x-y+1)+2x-y+1+\sqrt{x+1}-\sqrt{y-x}=0[/tex]
Sau khi đặt ẩn phụ và mất một hồi biến đổi nho nhỏ, ta đươc:
[tex]\sqrt{x+1}=\sqrt{y-x}\Leftrightarrow y=2x+1(3)[/tex]
Thế (3) vào (2) ta được:
[tex]3\sqrt{5-x}+3\sqrt{5x-4}=2x+7[/tex]
Đến đây dễ rồi

Huhu mình gõ lỗi, cho mình xin phép được gõ lại, mình không có ý spam đâu

Bài tập chưa có lời giải:
[TEX]\boxed{192}[/TEX](Khánh Hòa) Giải phương trình:
$\dfrac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\dfrac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$

Bài tập đề nghị:
[TEX]\boxed{193}[/TEX] Giải hệ phương trình:
[tex]$\left\{\begin{matrix} &2x^3+3x^2-18=y^3+y \\ &2y^3+3y^2-18=z^3+z \\ &2z^3+3z^2-18=x^3+x \end{matrix}\right.$[/tex]
[TEX]\boxed{194}[/TEX](k2pi.net) Giải hệ phương trình:
[tex]$\left\{\begin{matrix} &10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0 \\ &\sqrt{x^3+xy+6y}-\sqrt{y^3+x^2+1}=2 \end{matrix}\right.$[/tex]

@Nguyễn Xuân Hiếu @Dương Bii @Quân Nguyễn 209 @Tony Time @lengoctutb @kingsman(lht 2k2) vào cày nào

 

[Cao Khánh Tân]

Bài 194:
Ta có:

Thế vào phương trình dưới ta thấy không thỏa mãn suy ra hệ vô nghiệm.
P/s: Hình như trong cái căn thứ 2 là -1

 

[Hoàng Vũ Nghị]

195: Giải phương trình
[tex](2x-1)\sqrt{x+3}=x^{2}+3[/tex]
196:tìm x,y nguyên thỏa mãn :
(x+y0(x+2y)=x+5

 

[Tony Time]

Lâu rồi k vào đây ^^

[TEX]\boxed{193}[/TEX] Giải hệ phương trình:
[tex]$\left\{\begin{matrix} &2x^3+3x^2-18=y^3+y \\ &2y^3+3y^2-18=z^3+z \\ &2z^3+3z^2-18=x^3+x \end{matrix}\right.$[/tex]

196:tìm x,y nguyên thỏa mãn :
(x+y)(x+2y)=x+5

Spoiler: Bài làm

 

[Cao Khánh Tân]

Bài 197:

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Đứa nào rảnh thì đăng bài làm nhé kaka

 

[lengoctutb]

195: Giải phương trình
[tex](2x-1)\sqrt{x+3}=x^{2}+3[/tex]
196:tìm x,y nguyên thỏa mãn :
(x+y0(x+2y)=x+5

$\boxed{195}$ $(2x-1)\sqrt{x+3}=x^{2}+3$ $(1)$ $ĐKXĐ:x \geq -3$
$(1) \Rightarrow (2x-1)^{2}(x+3)=(x^{2}+3)^{2} \Leftrightarrow x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+11x+6=0 \Leftrightarrow (x^{2}-3x-2)(x^{2}-x-3)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x^{2}-3x-2=0 & \\ x^{2}-x-3=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{3+\sqrt{17}}{2} (nhận) & \\ x=\frac{3-\sqrt{17}}{2} (loại) & \\ x=\frac{1+\sqrt{13}}{2} (nhận) & \\ x=\frac{1-\sqrt{13}}{2} (loại) & \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình $(1)$ có tập nghiệm $S=\{\frac{3+\sqrt{17}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2}\}$

 

[lengoctutb]

Vài bài thi $Olympic$ nha $!$
$\boxed{198}$ $\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2 & \\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y & \end{matrix}\right.$
$\boxed{199}$ $(2x+3)\sqrt{2+x}+(2x+1)\sqrt{2-x}=5x+4+\sqrt{4-x^{2}}$
$\boxed{200}$ $\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+y-x-9=\sqrt{3x+1}+\sqrt{x^{2}+5x+y-8} & \\ x\sqrt{12-y}+\sqrt{12y-x^{2}y}=12 & \end{matrix}\right.$

$P/s:$ @Nguyễn Minh Hiếu với tag mấy người vào làm cho vui $!$

 

[lengoctutb]

Mình xin gợi ý $!$

$\boxed{198}$ $\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2 (1) & \\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y (2) & \end{matrix}\right.$
Điều kiện $:$ $y \geq 1$$.$
$(2) \Rightarrow 2016\sqrt{y-1}+(y-1)^{2}=x-1 \Rightarrow x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$.$
Vế trái $(1) = 3\sqrt[3]{2.2x(x+1)}+2\sqrt{y(2y-1)} \leq 2+2x+x+1+y+2y-1=3(x+y)+2$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2x=x+1 & \\ y=2y-1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$
Thử lại ta thấy $x=1$ và $y=1$ là nghiệm của hệ$.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(1;1)$$.$

 

[lengoctutb]

Vài bài thi $Olympic$ nha $!$
$\boxed{198}$ $\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2 & \\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y & \end{matrix}\right.$
$\boxed{199}$ $(2x+3)\sqrt{2+x}+(2x+1)\sqrt{2-x}=5x+4+\sqrt{4-x^{2}}$
$\boxed{200}$ $\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+y-x-9=\sqrt{3x+1}+\sqrt{x^{2}+5x+y-8} & \\ x\sqrt{12-y}+\sqrt{12y-x^{2}y}=12 & \end{matrix}\right.$

$P/s:$ @Nguyễn Minh Hiếu với tag mấy người vào làm cho vui $!$

$\boxed{199}$ $(2x+3)\sqrt{2+x}+(2x+1)\sqrt{2-x}=5x+4+\sqrt{4-x^{2}}$
Đặt $a=\sqrt{2+x}$$,$ $b=\sqrt{2-x}$ $(a,b \geq 0)$$,$ ta có $:$
$a=\sqrt{2+x} \Leftrightarrow a^{2}=2+x \Leftrightarrow 2x+3=2a^{2}-1 \Leftrightarrow 2x+1=2a^{2}-3 \Leftrightarrow 5x+4=5a^{2}-6$$.$
Phương trình $\Leftrightarrow (2a^{2}-1)a+(2a^{2}-3)b= 5a^{2}-6+ab \Leftrightarrow (a+1)(a-\frac{3}{2})(2a+2b-4)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=-1 & \\ a=\frac{3}{2} & \\ a+b=2 & \end{matrix}\right.$
So với điều kiện$,$ ta chỉ có $a=\frac{3}{2}$ hoặc $a+b=2$$.$
$a=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{a+2}= \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{4}$$.$
$a+b=2$$,$ ta có hệ $:$ $\left\{\begin{matrix} a+b=2 & \\ a^{2}+b^{2}=4 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=2 & \\ ab=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} (a;b)=(0;2) & \\ (a;b)=(2;0) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=-2 & \\ x=2 & \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có tập nghiệm là $:$ $S=\{\frac{1}{4};2;-2\}$

 

[kingsman(lht 2k2)]

các bạn rất tâm huyết với topic, rất phục các bạn
chúng ta bắt đầu phục hưng topic sôi nỗi trở lại
201 giải hệ phương trình với x;y thuộc R
[tex]\begin{cases} 3(x^{2}+y^{2})+\frac{1}{(x-y)^{2}}=2(10-xy) & \color{blue}{(1)} \\ 2x+\frac{1}{x-y}=5 & \color{blue}{(2)} \\ \end{cases}[/tex]

 

[lengoctutb]

các bạn rất tâm huyết với topic, rất phục các bạn
chúng ta bắt đầu phục hưng topic sôi nỗi trở lại
201 giải hệ phương trình với x;y thuộc R
[tex]\begin{cases} 3(x^{2}+y^{2})+\frac{1}{(x-y)^{2}}=2(10-xy) & \color{blue}{(1)} \\ 2x+\frac{1}{x-y}=5 & \color{blue}{(2)} \\ \end{cases}[/tex]

$\boxed{201}$ $(I) \left\{\begin{matrix} 3(x^{2}+y^{2})+\frac{1}{(x-y)^{2}}=2(10-xy) & \\ 2x+\frac{1}{x-y}=5 & \end{matrix}\right.$
Điều kiện xác định $:$ $x \neq y$
$(I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{2}+(x-y)^{2}+\frac{1}{(x-y)^{2}}=20 & \\ x+y+x-y+\frac{1}{x-y}=5 & \end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=x+y & \\ b=x-y+\frac{1}{x-y} & \end{matrix}\right.$$.$ Khi đó hệ phương trình $(I)$ trở thành $:$
$\left\{\begin{matrix} 2a^{2}+b^{2}-2=20 & \\ a+b=5 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^{2}+(5-a)^{2}=22 & \\ b=5-a & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a=3 & \\ b=2 & \end{matrix}\right. (II) & \\ \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3} & \\ b=\frac{14}{3} & \end{matrix}\right. (III) & \end{matrix}\right.$
$(II) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=3 & \\ x-y+\frac{1}{x-y}=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=3 & \\ x-y=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. (nhận) $
$(III) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y= \frac{1}{3} & \\ x-y+\frac{1}{x-y}= \frac{14}{3} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x+y= \frac{1}{3} & \\ x-y=\frac{7-2\sqrt{10}}{3} & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x+y= \frac{1}{3} & \\ x-y=\frac{7+2\sqrt{10}}{3} & \end{matrix}\right. & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x= \frac{4+\sqrt{10}}{3} & \\ y=\frac{-3-\sqrt{10}}{3} & \end{matrix}\right. (nhận) & \\ \left\{\begin{matrix} x= \frac{4-\sqrt{10}}{3} & \\ y=\frac{-3+\sqrt{10}}{3} & \end{matrix}\right. (nhận) & \end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình $(I)$ có tập nghiệm $S=\{(2;1);(\frac{4+\sqrt{10}}{3}; \frac{-3-\sqrt{10}}{3});( \frac{4-\sqrt{10}}{3}; \frac{-3+\sqrt{10}}{3} )\}$

 

[Quân Nguyễn 209]

[tex]\boxed{200}[/tex]
* Để ý pt2 thực chất là bất đẳng thức trá hình
* Pt2: [tex]x\sqrt{12-y}+\sqrt{y}.\sqrt{12-x^2} \leq |x|\sqrt{12-y}+\sqrt{y}.\sqrt{12-x^2} \leq \frac{x^2+12-y}{2}+\frac{y+12-x^2}{2}=12[/tex]
Nhận xét [tex]"=" <=> y=12-x^2[/tex]
=>Thế vào pt1 ta có :
[tex]3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}[/tex] (1)
* Tư tưởng tiếp theo là liên hợp, sau khi bấm máy ra nghiệm [tex]x=1[/tex] và [tex]x=0[/tex] ta dự đoán nhân tử là [tex](x-0)(x-1)=x^2-x[/tex] nên ta cần ghép [tex]-\sqrt{3x+1}[/tex] với [tex]mx+n[/tex] để tạo nhân tử, dễ thấy [tex]x^2-x=(1.x+1)^2-3x+1[/tex] nên [tex]m=1;n=1[/tex]
Tương tự [tex]-\sqrt{5x+4}[/tex] ghép với [tex]x+2[/tex], ta có lời giải :
[tex](1)<=> (x^2-x)(\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}}+3)=0 <=>...[/tex]

 

[Bonechimte]

[tex]\boxed{202}[/tex] Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}27y^3-3x^2+9y=1 & \\ \sqrt{x}+\sqrt{3y}=\sqrt[4]{72.(\frac{x^2}{9}+y^2)} & \end{matrix}\right.$

 

[Ann Lee]

[tex]\boxed{202}[/tex] Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}27y^3-3x^2+9y=1 & \\ \sqrt{x}+\sqrt{3y}=\sqrt[4]{72.(\frac{x^2}{9}+y^2)} & \end{matrix}\right.$

202.
ĐKXĐ: [tex]x;y\geq 0[/tex]
Pt (2) [tex]\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{3y})^{4}=72(\frac{x^{2}}{9}+y^{2})=8x^{2}+72y^{2}[/tex]
Áp dụng BĐT Bunyakovsky

• [tex]2x+6y=(1+1)(x+3y)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{3y})^{2}\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{3y})^{4}\leq (2x+6y)^{2}[/tex]
• [tex]8x^{2}+72y^{2}=(1+1)(4x^{2}+36y^{2})\geq (2x+6y)^{2}[/tex]

Suy ra [tex](\sqrt{x}+\sqrt{3y})^{4}\leq 8x^{2}+72y^{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=3y[/tex]
Thay vào pt (1) được
[tex]27y^{3}-3(3y)^{2}+9y=1\Leftrightarrow 27y^{3}-27y^{2}+9y-1=0\Leftrightarrow (3y-1)^{3}=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}[/tex] (t/m) [tex]\Rightarrow x=1[/tex] (t/m)
Vậy...

 

[baogiang0304]

Bài 197:

=>[tex](8x+1)(3x+2).\sqrt{5x^{2}+4x+2}-(7x^{2}+3x+5).\sqrt{8x+1}=0[/tex]
=>[tex]\sqrt{8x+1}.(\sqrt{(8x+1)(5x^{2}+4x+2)}.(3x+2)-(7x^{2}+3x+5))=0[/tex]
vậy x=[tex]\frac{-1}{8}[/tex] hoặc bt còn lại bằng 0

 

[Hoàng Vũ Nghị]

giải pt
[tex]x^{3}+2\sqrt{7}x^{2}+7x+\sqrt{7}-1=0[/tex]

 

[iceghost]

giải pt
[tex]x^{3}+2\sqrt{7}x^{2}+7x+\sqrt{7}-1=0[/tex]

pt $\iff x(x+\sqrt{7})^2 = 1 - \sqrt{7}$
$\iff x[(x+\sqrt{7})^2 - 1] = 1 - \sqrt{7} - x$
$\iff x(x + \sqrt{7} - 1)(x + \sqrt{7} + 1) = -x - \sqrt{7} + 1$
Hai vế có nhân tử chung, bạn tự làm tiếp nhé