Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

Thảo luận trong 'Phương trình. Hệ phương trình' bắt đầu bởi Hoàng Quốc Khánh, 21 Tháng sáu 2017.

Lượt xem: 21,162

  1. Tony Time

    Tony Time Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    691
    Điểm thành tích:
    189
    Nơi ở:
    Bà Rịa - Vũng Tàu
    Trường học/Cơ quan:
    Taylors College

    Cho thêm 1 bài pt nhá (hpt hơi nhiều :v)
    180: Giải pt:
    [tex]\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-x+1}[/tex]
     
    Đình HảiQuân Nguyễn 209 thích bài này.
  2. KwangDat

    KwangDat Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    46
    Điểm thành tích:
    41

    Bài 176:
    ĐKXĐ: Tự đặt
    [tex](1)\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x(x+y+1)}}=(x+y)^3-(x-1)^3\Leftrightarrow \frac{-y-1}{{(\sqrt{x}+\sqrt{x+y+1})}\sqrt{x(x+y+1)}}=(y+1)((x+y)^2+(x+y)(x-1)+(x-1)^2)\Leftrightarrow (y+1)(...)=0\Leftrightarrow y=-1(3)[/tex]
    Thế (3) vào (2) ta được
    [tex]\sqrt{2x^2-x+3}-\sqrt{21x-17}+x^2-x=0\Leftrightarrow [\sqrt{2x^2-x+3}-(x+1)]+[(3x-1)-\sqrt{21x-17}]+(x^2-3x+2)=0\Leftrightarrow \frac{x^2-3x+2}{\sqrt{2x^2-x+3}+(x+1)}+\frac{9(x^2-3x+2)}{(3x-1)+\sqrt{21x-17}}+(x^2-3x+2)=0\Leftrightarrow (x-1)(x-2)[\frac{1}{\sqrt{2x^2-x+3}+(x+1)}+\frac{9}{(3x-1)+\sqrt{21x-17}}+1]=0[/tex]
    Do ĐKXĐ [tex]x\geq \frac{17}{21}[/tex] nên ta dễ CM phần trong ngoặc dương
    Đến đây dễ rồi
     
    Đình Hảilengoctutb thích bài này.
  3. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,251
    Điểm thành tích:
    221

    $\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-x+1}$ $(1)$
    ĐKXĐ $:$ $x \geq -1$ $(*)$
    Với ĐK $(*)$$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow \dfrac {\sqrt {\left( x+1\right) \left( x^{2}-x+1\right) }}{\sqrt {x+3}}+\sqrt {x+1}=\sqrt {x+3}+\sqrt {x^{2}-x+1} $
    $\Leftrightarrow \sqrt {\left( x+1\right) \left( x^{2}-x+1\right) }+\sqrt {\left( x+1\right) \left( x+3\right) }=x+3+\sqrt {\left( x+3\right) \left( x^{2}-x+1\right) }$
    $\Leftrightarrow \sqrt {x+1}\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) =\sqrt {x+3}\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) $
    $\Leftrightarrow \sqrt {x+1}\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) -\sqrt {x+3}\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) =0$
    $\Leftrightarrow \left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) \left( \sqrt {x+1}-\sqrt {x+3}\right) =0$
    Do $(*)$ nên $\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) > 0$
    Khi đó$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow \sqrt {x+1}-\sqrt {x+3}=0 \Leftrightarrow \sqrt {x+1}=\sqrt {x+3} \Leftrightarrow x+1=x+3\Leftrightarrow 1=3$ $($Vô lý $!)$
    Vậy phương trình $(1)$ vô nghiệm
     
    Last edited: 1 Tháng chín 2017
    Dương BiiKwangDat thích bài này.
  4. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,251
    Điểm thành tích:
    221

    $\boxed{179}$ $\left\{\begin{array}{I}x^2-2xy+x+y=0\\x^4-4x^2y+3x^2+y^2=0\end{array}\right.$ $(I)$
    $(I) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^4 + 2x^2y + y^2) - 6x^2y + 3x^2 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^2 + y)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right.$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\x^2(2y - 1)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1) \,\, (1) \\x^2(2y - 1)(2y - 1 - 3) = 0 \,\, (2) \end{array}\right.$
    $(2) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\y = \dfrac{1}{2} \\y = 2\end{array}\right
    .$
    Tại $x=0$$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow 0^{2}+y=0\left( 2y-1\right) \Leftrightarrow y=0$
    Tại $y=\frac{1}{2}$$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow x^{2}+\dfrac {1}{2}=x\left( 2.\dfrac {1}{2}-1\right) \Leftrightarrow x^{2}+\dfrac {1}{2}=0$ $($Vô lý $!)$
    Tại $y=2$$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow x^{2}+2=x\left( 2.2-1\right) \Leftrightarrow x^{2}+2=3x\Leftrightarrow \left( x-1\right) \left( x-2\right) =0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}x=1\\x=2\end{array}\right.$
    Vậy hệ phương trình $(I)$ có tập nghiệm $\left( x;y\right) =\left\{ \left( 0;0\right) ;\left( 1;2\right) ;\left( 2;2\right) \right\} $
     
    Last edited: 1 Tháng chín 2017
  5. Tony Time

    Tony Time Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    691
    Điểm thành tích:
    189
    Nơi ở:
    Bà Rịa - Vũng Tàu
    Trường học/Cơ quan:
    Taylors College

    Vẫn còn 1 cách giải khác cho bài 180

    VT tương đương
    [tex]\frac{\frac{x^3+1}{x+3}-x+1}{\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}-\sqrt{x+1}}[/tex]

    [tex]=\frac{\frac{(x+1)(x^2-x+1-(x+3))}{x+3}}{\frac{\sqrt{x+1}(\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+3})}{\sqrt{x+3}}}[/tex]

    [tex]=\frac{\sqrt{x+1}(x^2-x+1-(x+1))}{\sqrt{x+3}(\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+3})}[/tex]

    VP tương đương
    [tex]\frac{x+3-(x^2-x+1)}{\sqrt{x+3}-\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{(x^2-x+1)-(x+3)}{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+3}}[/tex]

    Thay vào [tex]\Rightarrow (\frac{x^2-x+1-(x+3)}{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+3}})(\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}-1)=0[/tex]
    [tex]\Rightarrow x^2-x+1=x+3[/tex]
    Mà [TEX]x^2-x+1>x+3[/TEX]

    Suy ra pt vô nghiệm :v
     
  6. Quân Nguyễn 209

    Quân Nguyễn 209 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    356
    Điểm thành tích:
    86
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Blank

    Bài tập chưa có lời giải :
    [TEX]\boxed{177} [/TEX]
    [​IMG]
    [TEX]\boxed{178}[/TEX]
    [​IMG]
     
    Đình Hải thích bài này.
  7. Quân Nguyễn 209

    Quân Nguyễn 209 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    356
    Điểm thành tích:
    86
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Blank

    Bài tập đề nghị :
    ___Bài tập cơ bản :

    [TEX]\boxed{180}[/TEX] Giải pt nghiệm nguyên : [TEX]y^2-x(x-2)(x^2-2x+2)=2[/TEX]

    [TEX]\boxed{181}[/TEX] Giải pt nghiệm nguyên : [TEX]x^4-x^3+1=y^3[/TEX]

    [TEX]\boxed{182}[/TEX] Giải pt nghiệm nguyên : [TEX](x+1)^4+(x-1)^4=y^3[/TEX]

    [TEX]\boxed{183}[/TEX] Giaỉ pt nghiệm nguyên : [TEX]x^2+y^2+z^2=2015[/TEX]
    ___Bài tập trung bình :
    [TEX]\boxed{184}[/TEX] Giải pt nghiệm nguyên : [TEX]x^4+y^4=7z^4+5[/TEX]

    [TEX]\boxed{185}[/TEX] Giải hệ pt nghiệm nguyên : [tex]\left\{\begin{matrix} x+y+z=3\\x^3+y^3+z^3=3 \end{matrix}\right[/tex]

    [TEX]\boxed{186}[/TEX] Giải hệ pt nghiệm nguyên : [tex]\left\{\begin{matrix} x+y=z\\x^3+y^3=z^2 \end{matrix}\right[/tex]
    P/s: @Tony Time @kingsman(lht 2k2) @toilatot @lengoctutb @KwangDat @Cao Khánh Tân @Dương Bii @Nguyễn Xuân Hiếu @Otaku8874 ...
    r12
     
    Last edited: 2 Tháng chín 2017
    KwangDat, BonechimteTony Time thích bài này.
  8. Tony Time

    Tony Time Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    691
    Điểm thành tích:
    189
    Nơi ở:
    Bà Rịa - Vũng Tàu
    Trường học/Cơ quan:
    Taylors College

    [​IMG]
    Pt tương đương:
    [tex]2x^4+12x^2+2-y^3=0[/tex]
    Đặt [tex]x^2=t (t\in N)[/tex]
    Ta có: [TEX]2t^2+12t+2-y^3=0[/TEX]
    Tới đây thì dễ rồi :v. Đặt t làm nghiệm r giải ra tìm y nguyên xong thay ngc vào thôi
    [​IMG]
    Dạng bài này quen nè :3
    Ta có:
    [tex]24=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(x+z)
    \Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=8[/tex] (1)
    Mặt khác, ta có:
    [TEX](3-x)+(3-y)+(3-z)=6[/TEX](2)
    Từ (1) và (2) chỉ có 1 số chẵn hoặc cả ba số đều chẵn
    Từ đó có thể viết [TEX]8=8.(-1).(-1)=2.2.2[/TEX]
    Xét tè le trường hợp, ta tìm đc nghiệm nguyên của hệ pt:
    [tex](1;1;1);(-5;4;4);(4;-5;4);(4;4;-5)[/tex]

    P/s: Không nghỉ lễ hả @Quân Nguyễn 209 :v
     
    Quân Nguyễn 209 thích bài này.
  9. Otaku8874

    Otaku8874 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    547
    Điểm thành tích:
    114

     

    Các file đính kèm:

    Đình HảiQuân Nguyễn 209 thích bài này.
  10. Tony Time

    Tony Time Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    691
    Điểm thành tích:
    189
    Nơi ở:
    Bà Rịa - Vũng Tàu
    Trường học/Cơ quan:
    Taylors College

    [​IMG]Tiếp một bài nữa nào ^^
    Ta có:
    [TEX]x^2+y^2+z^2=2015[/TEX]
    • Xét trường hợp có 2 số chẵn và 1 số lẻ:
    Đặt: [tex]\left\{\begin{matrix} x=2a & \\ y=2b & \\ z=2c+1 & \end{matrix}\right. (a,b,c\in Z)[/tex]
    Ta có:
    [TEX]4a^2+4b^2+4c^2+4c+1=2015[/TEX]
    [tex]\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2+c)=2014\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+c=\frac{1007}{2}[/tex]
    Mà [TEX](a,b,c\in Z)[/TEX]
    Suy ra pt vô nghiệm nguyên
    • Xét trường hợp cả 3 số đều lẻ:
    Đặt: [tex]\left\{\begin{matrix} x=2m+1 & \\ y=2n+1 & \\ z=2p+1 & \end{matrix}\right.(m,n,p\in Z)[/tex]
    Ta có:
    [tex]4m^2+4m+1+4n^2+4n+1+4p^2+4p+1=2015[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow m(m+1)+n(n+1)+p(p+1)=503[/tex]
    Mà [tex]m(m+1)+n(n+1)+p(p+1)\vdots 2[/tex] và[TEX] (m,n,p\in Z)[/tex]
    Suy ra pt vô nghiệm nguyên

    Vậy pt đã cho vô nghiệm nguyên
     
  11. Quân Nguyễn 209

    Quân Nguyễn 209 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    356
    Điểm thành tích:
    86
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Blank

    Bài [TEX]\boxed{182}[/TEX] e xét TH chắc cũng ổn nhỉ ._. Cơ mà cách của a hay hơn r :v
    upload_2017-9-3_13-51-1.png
     
    Last edited: 3 Tháng chín 2017
  12. KwangDat

    KwangDat Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    46
    Điểm thành tích:
    41

    Bài 184:
    [tex]PT\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4=8z^4+5[/tex]
    Dư của một số nguyên khi chia cho 2 thuộc tập {0;1} nên dư của lũy thừa mũ 4 một số nguyên chia cho 8 cũng có dư thuộc tâp {0;1}. Vì thế các số dư của VT khi chia cho 8 là 0;1;2;3
    Từ đó ta dễ thấy PT không có nghiệm nguyên

    Bài 186:
    Thế (1) vào (2) ta được
    [tex]x^3+y^3=x+y\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0[/tex]
    Với x=-y ta có z=0, do đó PT có nghiệm (x;y;z)=(t;-t;0) với mọi t nguyên
    Ta xét trường hợp còn lại
    [tex]x^2-xy+y^2-x-y=0\Leftrightarrow x^2-x(y+1)+(y^2-y)=0[/tex]
    Có:
    [tex]\Delta\geq0\Leftrightarrow -3y^2+6y+1\geq0 \Leftrightarrow 3(y-1)^2\le4\Leftrightarrow \frac{3-2\sqrt{3}}{3}\le y\le \frac{3+2\sqrt{3}}{3}[/tex]
    Do y nguyên nên y nhận các giá trị là 1 và 2
    Thế vào rồi giải tiếp mọi người nhé
     
    Đình HảiQuân Nguyễn 209 thích bài này.
  13. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,251
    Điểm thành tích:
    221

    Bài 186 :
    Phải là $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{2}$ chứ nhỉ $!$
     
  14. Quân Nguyễn 209

    Quân Nguyễn 209 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    356
    Điểm thành tích:
    86
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Blank

  15. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,251
    Điểm thành tích:
    221

    Đình Hải thích bài này.
  16. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,251
    Điểm thành tích:
    221

    Mình xin gợi ý đáp án $!$

    $\boxed{189}$ Điều kiện $3\leq x,y,z\leq 13$$.$ Cộng ba phương trình$,$ vế với vế$,$ được $:$
    $\sqrt {x-3}+\sqrt {13-x}+\sqrt {3-y}+\sqrt {13-y}+\sqrt {z-3}+\sqrt {13-z}=6\sqrt {5}$$.$
    Xét $:$ $T=\sqrt {t-3}+\sqrt {13-t}$ với $t\in \left[ 3;13\right] $$.$
    Vì $:$ $T=\sqrt {t-3}+\sqrt {13-t}\leq \sqrt {\left( 1+1\right) \left( t-3+13-t\right) }=2\sqrt {5}$ theo BĐT $Bunyakovsky$
    Đẳng thức xảy ra khi $t=8$$.$
    Vậy hệ phương trình có một nghiệm $x=y=z=8$


    $P/s:$
    Bạn gợi ý đáp án đi $!$



    Và những bài chưa có đáp án $!$

    $\boxed{177}$ Giải hệ phương trình $:$
    $ \left\{\begin{array}{l} \dfrac {1}{\sqrt {x+y+1}}-\dfrac {1}{\sqrt {x}}=y^{3}+3x\left( y^{2}+xy+x-1\right) +1 \\ \sqrt {2x^{2}-x+y+4}-\sqrt {21x+y-16}+x^{2}-x+y+1=0 \end{array}\right. $

    $\boxed{178}$ Giải hệ phương trình $:$
    $ \left\{\begin{array}{l} \sqrt {2x^{2}-6xy+5y^{2}}+\sqrt {2x^{2}+2xy+13y^{2}}=2\left( x-y\right) \\ \left( x+2y\right) \sqrt {x+2}-4y^{2}\sqrt {y}=8y^{4}\sqrt {y}+2\sqrt {x-2} \end{array}\right. $
     
    Dương Bii thích bài này.
  17. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,251
    Điểm thành tích:
    221

    Ba bài nữa nhé $!$


    $\boxed{190}$ Giải hệ phương trình sau $:$
    $ \left\{\begin{array}{l} \dfrac {8xy}{x^{2}+y^{2}+6xy}+\dfrac {17}{8}\left( \dfrac {x}{y}+\dfrac {y}{x}\right) =\dfrac {21}{4} \\ \sqrt {x-16}+\sqrt {y-9}=7 \end{array}\right. $

    $\boxed{191}$ Giải hệ phương trình $:$
    $ \left\{\begin{array}{l} \left( x-4\right) \sqrt {y-3}+\left( y-1\right) \sqrt {x+2}=7\sqrt {6} \\ 12x\sqrt {y-4}+4\sqrt {2}y\sqrt {x-2}=5xy \end{array}\right. $

    $\boxed{192}$ Giải phương trình :
    $x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+\sqrt {x^{2}+2x+17}=3$



    @Tony Time , @Quân Nguyễn 209 , @Nữ Thần Mặt Trăng , @KwangDat , @Cao Khánh Tân , @Nguyễn Xuân Hiếu , @toilatot
     
    Last edited: 19 Tháng chín 2017
    kingsman(lht 2k2)Tony Time thích bài này.
  18. kingsman(lht 2k2)

    kingsman(lht 2k2) Mùa hè Hóa học|Ngày hè tuyệt diệu Thành viên TV BQT tích cực 2017

    Bài viết:
    2,454
    Điểm thành tích:
    554

    đêm khuay quá nếu ko mình sẽ giải đầy đủ :
    [tex]\inline $x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+\sqrt {x^{2}+2x+17}=3$\Leftrightarrow (x^{4}-1)+4(x^{3}+1)+6(x^{2}+1)+(\sqrt {x^{2}+2x+17}-4)=0[/tex]
    dùng kĩ thuật nhân liên hơp + vời dk trong căn
    giải ra x=-1
    chừ mình phải soạn anh + làm hóa nên ko có thời gian giải kĩ nên chắc mai sẽ hoàn thiện
     
    Đình Hải thích bài này.
  19. Quân Nguyễn 209

    Quân Nguyễn 209 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    356
    Điểm thành tích:
    86
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Blank

    Bài [TEX]\boxed{192}[/TEX] có nghiệm [TEX]-1[/TEX] duy nhất nên nhân lượng liên hợp là OK, hoặc có thể đánh giá bằng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm [TEX]-1[/TEX] là duy nhất :v
    Bài [TEX]\boxed{190}[/TEX] Đặt [TEX]S=x+y ; P=xy[/TEX] giải ra sẽ phân tích nhân tử được ở [TEX]PT 1[/TEX]
    Bạn ơi sao nghiệm lẻ vậy ._. Mih ra được [TEX]128a^2-70ab-17b^2=0[/TEX] mà nát bét hết cả :v

    P/s: hai bài 187 với 188 mih đang bí sr ae ._. Bên boxmath thấy chẳng cao thủ nào xơi được hai cái khủng này nên dời qua đây :hix
     
    Last edited: 19 Tháng chín 2017
    lengoctutbTony Time thích bài này.
  20. Dương Bii

    Dương Bii Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    483
    Điểm thành tích:
    119
    Nơi ở:
    Thái Nguyên
    Trường học/Cơ quan:
    Vô gia cư :)

    $\sqrt{(x-y)^2 +(x-2y)^2} +\sqrt{(x-y)^2+(x+2y)^2+8y^2}\geq 2(x-y)$
    Dau $''='' =>$ xay ra dong thoi $x-2y=0$
    $x+2y=0$
    $y=0 => x=0$ Thế vào pt dưới ( Loại) $=>$ Vô nghiệm.
    p/s: ... chắc sai :\
     
    Đình Hải thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->