Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

Cho thêm 1 bài pt nhá (hpt hơi nhiều :v)
180: Giải pt:
[tex]\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-x+1}[/tex]

 

Bài 176:
ĐKXĐ: Tự đặt
[tex](1)\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x(x+y+1)}}=(x+y)^3-(x-1)^3\Leftrightarrow \frac{-y-1}{{(\sqrt{x}+\sqrt{x+y+1})}\sqrt{x(x+y+1)}}=(y+1)((x+y)^2+(x+y)(x-1)+(x-1)^2)\Leftrightarrow (y+1)(...)=0\Leftrightarrow y=-1(3)[/tex]
Thế (3) vào (2) ta được
[tex]\sqrt{2x^2-x+3}-\sqrt{21x-17}+x^2-x=0\Leftrightarrow [\sqrt{2x^2-x+3}-(x+1)]+[(3x-1)-\sqrt{21x-17}]+(x^2-3x+2)=0\Leftrightarrow \frac{x^2-3x+2}{\sqrt{2x^2-x+3}+(x+1)}+\frac{9(x^2-3x+2)}{(3x-1)+\sqrt{21x-17}}+(x^2-3x+2)=0\Leftrightarrow (x-1)(x-2)[\frac{1}{\sqrt{2x^2-x+3}+(x+1)}+\frac{9}{(3x-1)+\sqrt{21x-17}}+1]=0[/tex]
Do ĐKXĐ [tex]x\geq \frac{17}{21}[/tex] nên ta dễ CM phần trong ngoặc dương
Đến đây dễ rồi

 

$\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-x+1}$ $(1)$
ĐKXĐ $:$ $x \geq -1$ $(*)$
Với ĐK $(*)$$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow \dfrac {\sqrt {\left( x+1\right) \left( x^{2}-x+1\right) }}{\sqrt {x+3}}+\sqrt {x+1}=\sqrt {x+3}+\sqrt {x^{2}-x+1} $
$\Leftrightarrow \sqrt {\left( x+1\right) \left( x^{2}-x+1\right) }+\sqrt {\left( x+1\right) \left( x+3\right) }=x+3+\sqrt {\left( x+3\right) \left( x^{2}-x+1\right) }$
$\Leftrightarrow \sqrt {x+1}\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) =\sqrt {x+3}\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) $
$\Leftrightarrow \sqrt {x+1}\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) -\sqrt {x+3}\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) =0$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) \left( \sqrt {x+1}-\sqrt {x+3}\right) =0$
Do $(*)$ nên $\left( \sqrt {x^{2}-x+1}+\sqrt {x+3}\right) > 0$
Khi đó$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow \sqrt {x+1}-\sqrt {x+3}=0 \Leftrightarrow \sqrt {x+1}=\sqrt {x+3} \Leftrightarrow x+1=x+3\Leftrightarrow 1=3$ $($Vô lý $!)$
Vậy phương trình $(1)$ vô nghiệm

 

$\boxed{179}$ $\left\{\begin{array}{I}x^2-2xy+x+y=0\\x^4-4x^2y+3x^2+y^2=0\end{array}\right.$ $(I)$
$(I) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^4 + 2x^2y + y^2) - 6x^2y + 3x^2 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^2 + y)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\x^2(2y - 1)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1) \,\, (1) \\x^2(2y - 1)(2y - 1 - 3) = 0 \,\, (2) \end{array}\right.$
$(2) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\y = \dfrac{1}{2} \\y = 2\end{array}\right
.$
Tại $x=0$$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow 0^{2}+y=0\left( 2y-1\right) \Leftrightarrow y=0$
Tại $y=\frac{1}{2}$$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow x^{2}+\dfrac {1}{2}=x\left( 2.\dfrac {1}{2}-1\right) \Leftrightarrow x^{2}+\dfrac {1}{2}=0$ $($Vô lý $!)$
Tại $y=2$$,$ $\left( 1\right) \Leftrightarrow x^{2}+2=x\left( 2.2-1\right) \Leftrightarrow x^{2}+2=3x\Leftrightarrow \left( x-1\right) \left( x-2\right) =0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}x=1\\x=2\end{array}\right.$
Vậy hệ phương trình $(I)$ có tập nghiệm $\left( x;y\right) =\left\{ \left( 0;0\right) ;\left( 1;2\right) ;\left( 2;2\right) \right\} $

 

Vẫn còn 1 cách giải khác cho bài 180

VT tương đương
[tex]\frac{\frac{x^3+1}{x+3}-x+1}{\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}-\sqrt{x+1}}[/tex]

[tex]=\frac{\frac{(x+1)(x^2-x+1-(x+3))}{x+3}}{\frac{\sqrt{x+1}(\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+3})}{\sqrt{x+3}}}[/tex]

[tex]=\frac{\sqrt{x+1}(x^2-x+1-(x+1))}{\sqrt{x+3}(\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+3})}[/tex]

VP tương đương
[tex]\frac{x+3-(x^2-x+1)}{\sqrt{x+3}-\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{(x^2-x+1)-(x+3)}{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+3}}[/tex]

Thay vào [tex]\Rightarrow (\frac{x^2-x+1-(x+3)}{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+3}})(\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}-1)=0[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2-x+1=x+3[/tex]
Mà [TEX]x^2-x+1>x+3[/TEX]

Suy ra pt vô nghiệm :v

 

Bài tập chưa có lời giải :
[TEX]\boxed{177} [/TEX]

[TEX]\boxed{178}[/TEX]

 

Bài tập đề nghị :
___Bài tập cơ bản :
[TEX]\boxed{180}[/TEX] Giải pt nghiệm nguyên : [TEX]y^2-x(x-2)(x^2-2x+2)=2[/TEX]

[TEX]\boxed{181}[/TEX] Giải pt nghiệm nguyên : [TEX]x^4-x^3+1=y^3[/TEX]

[TEX]\boxed{182}[/TEX] Giải pt nghiệm nguyên : [TEX](x+1)^4+(x-1)^4=y^3[/TEX]

[TEX]\boxed{183}[/TEX] Giaỉ pt nghiệm nguyên : [TEX]x^2+y^2+z^2=2015[/TEX]
___Bài tập trung bình :
[TEX]\boxed{184}[/TEX] Giải pt nghiệm nguyên : [TEX]x^4+y^4=7z^4+5[/TEX]

[TEX]\boxed{185}[/TEX] Giải hệ pt nghiệm nguyên : [tex]\left\{\begin{matrix} x+y+z=3\\x^3+y^3+z^3=3 \end{matrix}\right[/tex]

[TEX]\boxed{186}[/TEX] Giải hệ pt nghiệm nguyên : [tex]\left\{\begin{matrix} x+y=z\\x^3+y^3=z^2 \end{matrix}\right[/tex]
P/s: @Tony Time @kingsman(lht 2k2) @toilatot @lengoctutb @KwangDat @Cao Khánh Tân @Dương Bii @Nguyễn Xuân Hiếu @Otaku8874 ...
r12

 

Pt tương đương:
[tex]2x^4+12x^2+2-y^3=0[/tex]
Đặt [tex]x^2=t (t\in N)[/tex]
Ta có: [TEX]2t^2+12t+2-y^3=0[/TEX]
Tới đây thì dễ rồi :v. Đặt t làm nghiệm r giải ra tìm y nguyên xong thay ngc vào thôi

Dạng bài này quen nè :3
Ta có:
[tex]24=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(x+z)
\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=8[/tex] (1)
Mặt khác, ta có:
[TEX](3-x)+(3-y)+(3-z)=6[/TEX](2)
Từ (1) và (2) chỉ có 1 số chẵn hoặc cả ba số đều chẵn
Từ đó có thể viết [TEX]8=8.(-1).(-1)=2.2.2[/TEX]
Xét tè le trường hợp, ta tìm đc nghiệm nguyên của hệ pt:
[tex](1;1;1);(-5;4;4);(4;-5;4);(4;4;-5)[/tex]

P/s: Không nghỉ lễ hả @Quân Nguyễn 209 :v

 

Tiếp một bài nữa nào ^^
Ta có:
[TEX]x^2+y^2+z^2=2015[/TEX]

• Xét trường hợp có 2 số chẵn và 1 số lẻ:

Đặt: [tex]\left\{\begin{matrix} x=2a & \\ y=2b & \\ z=2c+1 & \end{matrix}\right. (a,b,c\in Z)[/tex]
Ta có:
[TEX]4a^2+4b^2+4c^2+4c+1=2015[/TEX]
[tex]\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2+c)=2014\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+c=\frac{1007}{2}[/tex]
Mà [TEX](a,b,c\in Z)[/TEX]
Suy ra pt vô nghiệm nguyên

• Xét trường hợp cả 3 số đều lẻ:

Đặt: [tex]\left\{\begin{matrix} x=2m+1 & \\ y=2n+1 & \\ z=2p+1 & \end{matrix}\right.(m,n,p\in Z)[/tex]
Ta có:
[tex]4m^2+4m+1+4n^2+4n+1+4p^2+4p+1=2015[/tex]
[tex]\Leftrightarrow m(m+1)+n(n+1)+p(p+1)=503[/tex]
Mà [tex]m(m+1)+n(n+1)+p(p+1)\vdots 2[/tex] và[TEX] (m,n,p\in Z)[/tex]
Suy ra pt vô nghiệm nguyên

Vậy pt đã cho vô nghiệm nguyên

 

Bài [TEX]\boxed{182}[/TEX] e xét TH chắc cũng ổn nhỉ ._. Cơ mà cách của a hay hơn r :v

 

Bài 184:
[tex]PT\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4=8z^4+5[/tex]
Dư của một số nguyên khi chia cho 2 thuộc tập {0;1} nên dư của lũy thừa mũ 4 một số nguyên chia cho 8 cũng có dư thuộc tâp {0;1}. Vì thế các số dư của VT khi chia cho 8 là 0;1;2;3
Từ đó ta dễ thấy PT không có nghiệm nguyên

Bài 186:
Thế (1) vào (2) ta được
[tex]x^3+y^3=x+y\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0[/tex]
Với x=-y ta có z=0, do đó PT có nghiệm (x;y;z)=(t;-t;0) với mọi t nguyên
Ta xét trường hợp còn lại
[tex]x^2-xy+y^2-x-y=0\Leftrightarrow x^2-x(y+1)+(y^2-y)=0[/tex]
Có:
[tex]\Delta\geq0\Leftrightarrow -3y^2+6y+1\geq0 \Leftrightarrow 3(y-1)^2\le4\Leftrightarrow \frac{3-2\sqrt{3}}{3}\le y\le \frac{3+2\sqrt{3}}{3}[/tex]
Do y nguyên nên y nhận các giá trị là 1 và 2
Thế vào rồi giải tiếp mọi người nhé

 

Bài 186 :
Phải là $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{2}$ chứ nhỉ $!$

 

Đề xuất vài bài 'nhẹ nhàng'

[TEX]\boxed{187}[/TEX] Giải phương trình :
[TEX]\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x} = \frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]\boxed{188}[/TEX][Boxmath.vn] Giải phương trình :

@Tony Time @Cao Khánh Tân @lengoctutb @Nữ Thần Mặt Trăng @Nguyễn Xuân Hiếu @KwangDat ... :v

 

Xin được góp vui một bài hệ phương trình $:$

$\boxed{189}$ Giải hệ phương trình $:$
$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt {x-3}+\sqrt {13-y}=2\sqrt {5} \\ \sqrt {y-3}+\sqrt {13-z}=2\sqrt {5} \\ \sqrt {z-3}+\sqrt {13-x}=2\sqrt {5} \end{array}\right. $


@Tony Time , @Quân Nguyễn 209 , @Nữ Thần Mặt Trăng , @KwangDat , @Cao Khánh Tân , @Nguyễn Xuân Hiếu , @toilatot

 

Mình xin gợi ý đáp án $!$

$\boxed{189}$ Điều kiện $3\leq x,y,z\leq 13$$.$ Cộng ba phương trình$,$ vế với vế$,$ được $:$
$\sqrt {x-3}+\sqrt {13-x}+\sqrt {3-y}+\sqrt {13-y}+\sqrt {z-3}+\sqrt {13-z}=6\sqrt {5}$$.$
Xét $:$ $T=\sqrt {t-3}+\sqrt {13-t}$ với $t\in \left[ 3;13\right] $$.$
Vì $:$ $T=\sqrt {t-3}+\sqrt {13-t}\leq \sqrt {\left( 1+1\right) \left( t-3+13-t\right) }=2\sqrt {5}$ theo BĐT $Bunyakovsky$
Đẳng thức xảy ra khi $t=8$$.$
Vậy hệ phương trình có một nghiệm $x=y=z=8$


$P/s:$

Bạn gợi ý đáp án đi $!$



Và những bài chưa có đáp án $!$

$\boxed{177}$ Giải hệ phương trình $:$
$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac {1}{\sqrt {x+y+1}}-\dfrac {1}{\sqrt {x}}=y^{3}+3x\left( y^{2}+xy+x-1\right) +1 \\ \sqrt {2x^{2}-x+y+4}-\sqrt {21x+y-16}+x^{2}-x+y+1=0 \end{array}\right. $

$\boxed{178}$ Giải hệ phương trình $:$
$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt {2x^{2}-6xy+5y^{2}}+\sqrt {2x^{2}+2xy+13y^{2}}=2\left( x-y\right) \\ \left( x+2y\right) \sqrt {x+2}-4y^{2}\sqrt {y}=8y^{4}\sqrt {y}+2\sqrt {x-2} \end{array}\right. $

 

Ba bài nữa nhé $!$


$\boxed{190}$ Giải hệ phương trình sau $:$
$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac {8xy}{x^{2}+y^{2}+6xy}+\dfrac {17}{8}\left( \dfrac {x}{y}+\dfrac {y}{x}\right) =\dfrac {21}{4} \\ \sqrt {x-16}+\sqrt {y-9}=7 \end{array}\right. $

$\boxed{191}$ Giải hệ phương trình $:$
$ \left\{\begin{array}{l} \left( x-4\right) \sqrt {y-3}+\left( y-1\right) \sqrt {x+2}=7\sqrt {6} \\ 12x\sqrt {y-4}+4\sqrt {2}y\sqrt {x-2}=5xy \end{array}\right. $

$\boxed{192}$ Giải phương trình :
$x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+\sqrt {x^{2}+2x+17}=3$



@Tony Time , @Quân Nguyễn 209 , @Nữ Thần Mặt Trăng , @KwangDat , @Cao Khánh Tân , @Nguyễn Xuân Hiếu , @toilatot

 

đêm khuay quá nếu ko mình sẽ giải đầy đủ :
[tex]\inline $x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+\sqrt {x^{2}+2x+17}=3$\Leftrightarrow (x^{4}-1)+4(x^{3}+1)+6(x^{2}+1)+(\sqrt {x^{2}+2x+17}-4)=0[/tex]
dùng kĩ thuật nhân liên hơp + vời dk trong căn
giải ra x=-1
chừ mình phải soạn anh + làm hóa nên ko có thời gian giải kĩ nên chắc mai sẽ hoàn thiện

 

Bài [TEX]\boxed{192}[/TEX] có nghiệm [TEX]-1[/TEX] duy nhất nên nhân lượng liên hợp là OK, hoặc có thể đánh giá bằng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm [TEX]-1[/TEX] là duy nhất :v
Bài [TEX]\boxed{190}[/TEX] Đặt [TEX]S=x+y ; P=xy[/TEX] giải ra sẽ phân tích nhân tử được ở [TEX]PT 1[/TEX]
Bạn ơi sao nghiệm lẻ vậy ._. Mih ra được [TEX]128a^2-70ab-17b^2=0[/TEX] mà nát bét hết cả :v

P/s: hai bài 187 với 188 mih đang bí sr ae ._. Bên boxmath thấy chẳng cao thủ nào xơi được hai cái khủng này nên dời qua đây :hix

 

$\sqrt{(x-y)^2 +(x-2y)^2} +\sqrt{(x-y)^2+(x+2y)^2+8y^2}\geq 2(x-y)$
Dau $''='' =>$ xay ra dong thoi $x-2y=0$
$x+2y=0$
$y=0 => x=0$ Thế vào pt dưới ( Loại) $=>$ Vô nghiệm.
p/s: ... chắc sai :\