Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Lời giải bài 44
Bài này ta nghĩ ngay giải PT đầu và thử lại nghiệm ở BPT $2$.
PT đầu tương đương với: $2^{x^2-x+1}+2^{-x^2+x+2}=9$.
Đặt: $2^{x^2-x}=t, t> 0$.
Ta có PT: $2t+\frac{4}{t}-9=0\Leftrightarrow t=4;or;t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=2;orx=-1$.
Ta thấy chỉ có nghiệm $x=2$ thỏa BPT $2$ nên $x=2$ là nghiệm của hệ.
Anh giải thích cho e cái đoạn pt đầu tương đương đc không anh ._.
 

Baoriven

Học sinh
Thành viên
22 Tháng sáu 2017
32
71
31
24
Tiền Giang
Ta có: $2^{2x^2+1}+2^{2x+2}=9.2^{x^2+x}$.
Tới đây chia $2$ vế cho $2^{x^2+x}$ là được.
À em lộn tưởng anh đang giải bài $45$ ._. Em nghĩ thế quái nào mà $x_1+x_2+..x_n=2^{2x^2+1}+2^{2x+2}=9.2^{x^2+x}$ ._. haha :v
 
Last edited by a moderator:
  • Like
Reactions: baochau1112

Dương Bii

Học sinh chăm học
Thành viên
17 Tháng sáu 2017
483
472
119
22
Thái Nguyên
Vô gia cư :)
45. $1=\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2} +...+\frac{1}{x_n} \geq \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}=> n^2\leq 9 <=> n\leq 3$
Vi n nguyen duong $=> n = 1,2,3$
Vs. $ n=1$ , Loai
$n=2$. , loai
$n=3$, $x_1=x_2=x_3=3$ thoa man.
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
[TEX]\boxed{47}[/TEX] Giải phương trình:
gif.latex

P/s: Thấy bài này trên diễn đàn ._. Chả biết làm sao cho hợp lý nghiệm lẻ cực ._.
@Baoriven @Dương Bii @W_Echo74 @tranvandong08 ,....
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Lời giải bài 46:
Phương trình viết lại dưới dạng:
$(7n-12)3^n+(2n-14)2^n+24n=6^n$.
Biến đổi đưa về dạng:
$(2^n-n^2)(3^n-2n+14)=(3^n-2n)(3-n)(n-4)$
Ta có: $3^n=(1+2)^n \geq 1+2n$ sao cho $3^n-2n$ và $3^n-2n+14$ đều dương.
Vì $2^n>n^2$ với mọi $n$ trừ $n=2,3,4$ do đó nếu $n>4$ thì VT dương, VP âm. Do đó xét $n=2,n=3,n=4$ thì thấy $n=4$ thỏa mãn.
P/s: Tối em sẽ đăng thêm bài tập nhé. Có lẽ bài $47$ sai đề ._.
 
  • Like
Reactions: W_Echo74

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
[TEX]\boxed{48}[/TEX]
$\left\{\begin{matrix}
&x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12 \\
&y\sqrt{x^2-y^2}=12
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{49}[/TEX]
Chứng minh rằng phương trình $x^5-5x^4+30x^3-50x^2+55x-21=0$ có nghiệm duy nhất:
$x=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$.
P/s: Bài này em định bảo tìm nghiệm cơ :v Cơ mà vậy chắc tới Tết Tây :v.
[TEX]\boxed{50}[/TEX] (THTT):
$\left\{\begin{matrix}
&x+6\sqrt{xy}-y=6 \\
&x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{51}[/TEX] ( Bonus thêm một bài ''xương'' :v)
$\left\{\begin{matrix}
&(x^2-1)^2+3=\dfrac{6x^5y}{x^2+2} \\
&3y-x=\sqrt{\dfrac{4x-3x^2y-9xy^2}{x+3y}}
\end{matrix}\right.$
P/s: Em xin lỗi vì post bài chậm ạ. Mọi người cùng làm bài nhé :v. Để mỗi anh @Baoriven làm thì chán lắm :v. Ảnh chán mà mình cũng chán nữa . @W_Echo74 @Thủ Mộ Lão Nhân nay chả thấy bác ở đâu? @Dương Bii @tranvandong08 @Otaku8874 , @Trafalgar D Law ......
 
  • Like
Reactions: star_shine

Baoriven

Học sinh
Thành viên
22 Tháng sáu 2017
32
71
31
24
Tiền Giang
Lời giải bài 48:
Điều kiện $y> 0$.
Bình phương $2$ vế PT $2$, ta được: $y^4-x^2y^2+144=0$ hay $y^4+144=x^2y^2$.
Viết lại hệ một chút:
$\left\{\begin{matrix}&y+\sqrt{x^2-y^2}=12-x \\ &y\sqrt{x^2-y^2}=12\end{matrix}\right.$​
Do đó: $y$ là thỏa mãn PT: $y^2-(12-x)y+12=0$ (Theo $Viete$).
Hay $y^2+12=(12-x)y$.
Suy ra: $x^2y^2=y^4+144=(12-x)^2y^2-24y^2$.
Loại $y=0$, suy ra được $x=5$.
Thế lại tìm được: $y=3$ hoặc $y=4$.
 

batman1907

Học sinh chăm học
Thành viên
1 Tháng ba 2017
62
134
130
24
[TEX]\boxed{49}[/TEX]
Chứng minh rằng phương trình $x^5-5x^4+30x^3-50x^2+55x-21=0$ có nghiệm duy nhất:
$x=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$.
P/s: Bài này em định bảo tìm nghiệm cơ :v Cơ mà vậy chắc tới Tết Tây :v.
$x^{5}-5x^{4}+30x^{3}-50x^{2}+55x-21=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(x+1)^{5}=\dfrac{2}{3}(2-x)^{5}$
$\Leftrightarrow x+1=\sqrt[5]{2}(2-x)$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt[5]{2}-1}{1+\sqrt[5]{2}}=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Lời giải bài 48:
Điều kiện $y> 0$.
Bình phương $2$ vế PT $2$, ta được: $y^4-x^2y^2+144=0$ hay $y^4+144=x^2y^2$.
Viết lại hệ một chút:
$\left\{\begin{matrix}&y+\sqrt{x^2-y^2}=12-x \\ &y\sqrt{x^2-y^2}=12\end{matrix}\right.$​
Do đó: $y$ là thỏa mãn PT: $y^2-(12-x)y+12=0$ (Theo $Viete$).
Hay $y^2+12=(12-x)y$.
Suy ra: $x^2y^2=y^4+144=(12-x)^2y^2-24y^2$.
Loại $y=0$, suy ra được $x=5$.
Thế lại tìm được: $y=3$ hoặc $y=4$.
Đúng rồi ạ :v
$x^{5}-5x^{4}+30x^{3}-50x^{2}+55x-21=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(x+1)^{5}=\dfrac{2}{3}(2-x)^{5}$
$\Leftrightarrow x+1=\sqrt[5]{2}(2-x)$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt[5]{2}-1}{1+\sqrt[5]{2}}=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$
Có một hướng làm khác là từ $x=...$ biến đổi ngược lại :v.
$2$ anh thử làm bài $50,51$ xem :v
 

Baoriven

Học sinh
Thành viên
22 Tháng sáu 2017
32
71
31
24
Tiền Giang
Lời giải bài 50:
Ta có: $xy\geq 0$.
Giả sử $x,y\leq 0$.
Ta có: $3+\sqrt{2(x^2+y^2)}=x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}\leq 0$ (vô lý)
Nên $x,y$ không âm.
Ta có: $PT1\Leftrightarrow 6=x+6\sqrt{xy}-y\leq x+3(x+y)-y=4x+2y$.
Suy ra: $2x+y\geq 3$.
Ta có: $x^2+xy+y^2\leq \dfrac{3(x^2+y^2)}{2}$.
$\Rightarrow \dfrac{3(x^3+y^3)}{x^2+y^2+xy}\geq \dfrac{2(x^3+y^3)}{x^2+y^2}$.
Ta cần chứng minh: $\dfrac{2(x^3+y^3)}{x^2+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}\Leftrightarrow x^6+y^6+4x^3y^3\geq 3x^4y^2+3x^2y^4$.
Ta có: $x^6+x^3y^3+x^3y^3\geq 3x^4y^2$ nên tương tự , ta có bđt trên đúng.
Suy ra: $\dfrac{3(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+y$.
Nên: $PT(2)\Leftrightarrow 3=x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+x+y=2x+y$.
Do đó $2x+y=3$, dấu bằng xảy ra khi $x=y$.
Vậy $x=y=1$.
 

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,297
2,640
486
20
Vĩnh Phúc
[TEX]\boxed{52}[/TEX] Tìm nghiệm nguyên của phương trình
[tex]x^2-2y^2+xy-x+4y-12=0[/tex]
 
Last edited by a moderator:

Baoriven

Học sinh
Thành viên
22 Tháng sáu 2017
32
71
31
24
Tiền Giang
Lời giải bài 52:
Viết lại PT ban đầu, ta được: $x^2+x(y-1)-2(y-1)^2=10\Leftrightarrow (x-y+1)(x+2y-2)=10$.
Tới đây chắc bạn giải tiếp dễ dàng rồi .
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
giúp em bài này với :
Bài 52: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
[tex]x^2-2y^2+xy-x+4y-12=0[/tex]
Một cách khác nhưng cách của anh bảo đơn giản hơn
$x^2-2y^2+xy-x+4y-12=0
\\\Rightarrow x^2+x(y-1)-(2y^2-4y+12)=0
\\\Delta=(y-1)^2+4(2y^2-4y+12)=9y^2+18y+49$.
Tới đây thì $\Delta$ phải là 1 số cp thì mới có $x$ nguyên.
Hay $9y^2+18y+49=k^2(k \in \mathbb{Z}) \\\Rightarrow (3y+3)^2-k^2=-40 \\\Rightarrow (3y+3-k)(3y+3+k)=-40=...$.
 

Baoriven

Học sinh
Thành viên
22 Tháng sáu 2017
32
71
31
24
Tiền Giang
Lời giải bài 53:
Điều kiện $x\in [0;1]$.
PT ban đầu tương đương với: $\sqrt{x+3}+\sqrt{x}=3(\sqrt{1-x}+1)\geq 3$.
Suy ra: $x\geq 1$. (BĐT trên giải không khó).
Do đó: $x=1$.
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
png.latex
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
[tex]x^3+y^3=1983[/tex]
Đặt $(x,y)=d \Rightarrow x=dx_1,y=dy_1$ với $(x_1,y_1)=1$ và $d \in \mathbb{N}$
Thay vào phương trình ta có:$d^3(x_1^3+y_1^3)=1983$.
Dễ thấy $1983$ phải chia hết cho $d^3$ mà $1983=3.661$ do đó $d=1$.
$\Rightarrow (x_1^3+y_1^3)=1983 \\\Rightarrow (x_1+y_1)(x_1^2-x_1.y_1+y_1^2)=1983$.
Tiếp tục đặt $(x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2)=k$.
Khi đó $(x_1+y_1)^2-(x_1^2-x_1.y_1+y_1^2) \vdots k$ hay $3x_1y_1 \vdots k$.
Xét trường hợp $3 \vdots k$ khi đó $k=1$ hoặc $k=3$.
Xét $k=3$ thì $x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2 \vdots 3$.
Do đó $VT \vdots 9$ mà $VP$ lại không chia hết cho $9$ nên vô lý.
Xét $k=1$ thì $x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2$ là 2 snt cùng nhau.
Xét $x_1y_1 \vdots k$ thì $x_1$ hoặc $y_1 \vdots k$ mà $x_1+y_1 \vdots k$ nên $x_1,y_1 \vdots k$.
Mà $(x_1,y_1)=1$ nên $k=1$.
Tóm lại: $x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2$ là 2 snt cùng nhau.
Do đó: $(x_1+y_1)(x_1^2-x_1.y_1+y_1^2)=1983=3.661=1.1983=...$
Chú ý là $x_1^2-x_1.y_1+y_1^2>0$
Từ đó tìm các cặp $x_1,y_1$ thích hợp
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Do bài $51$ khá khó nên em sẽ đề cử thêm bài tập để nhiều bạn khác có thể làm được
Bài chưa có lời giải:
[TEX]\boxed{51}[/TEX]
$\left\{\begin{matrix}
&(x^2-1)^2+3=\dfrac{6x^5y}{x^2+2} \\
&3y-x=\sqrt{\dfrac{4x-3x^2y-9xy^2}{x+3y}}
\end{matrix}\right.$
Bài tập đề nghị thêm:
Bài tập cơ bản:
[TEX]\boxed{55}[/TEX]
$\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{2x-3}=1$
[TEX]\boxed{56}[/TEX]
$x^2-3x-4=\sqrt{x-1}(x^2-4x-2)$
[TEX]\boxed{57}[/TEX] Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&xy+x+y=x^2-2y^2 \\
& x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y
\end{matrix}\right.$
Bài tập nâng cao:
[TEX]\boxed{58}[/TEX] (VMO 2006)
$\left\{\begin{matrix}
&x^3+3x^2+2x-5=y & \\
&y^3+3y^2+2y-5=z & \\
&z^3+3z^2+2z-5=x &
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{59}[/TEX] Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&x^3-xy^2+2000y=0 \\
&y^3-yx^2+500x=0
\end{matrix}\right.$
P/s: @Baoriven @batman1907 @zzh0td0gzz @toilatot @W_Echo74 @Otaku8874 @tranvandong08 @Dương Bii ,.. Phần bài tập cơ bản không khó nên mong các thành viên trên diễn đàn có thể ủng hộ topic nhé.
 
Top Bottom