Tìm nghiệm nguyên của phương trình
[tex]x^3+y^3=1983[/tex]
Đặt $(x,y)=d \Rightarrow x=dx_1,y=dy_1$ với $(x_1,y_1)=1$ và $d \in \mathbb{N}$
Thay vào phương trình ta có:$d^3(x_1^3+y_1^3)=1983$.
Dễ thấy $1983$ phải chia hết cho $d^3$ mà $1983=3.661$ do đó $d=1$.
$\Rightarrow (x_1^3+y_1^3)=1983 \\\Rightarrow (x_1+y_1)(x_1^2-x_1.y_1+y_1^2)=1983$.
Tiếp tục đặt $(x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2)=k$.
Khi đó $(x_1+y_1)^2-(x_1^2-x_1.y_1+y_1^2) \vdots k$ hay $3x_1y_1 \vdots k$.
Xét trường hợp $3 \vdots k$ khi đó $k=1$ hoặc $k=3$.
Xét $k=3$ thì $x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2 \vdots 3$.
Do đó $VT \vdots 9$ mà $VP$ lại không chia hết cho $9$ nên vô lý.
Xét $k=1$ thì $x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2$ là 2 snt cùng nhau.
Xét $x_1y_1 \vdots k$ thì $x_1$ hoặc $y_1 \vdots k$ mà $x_1+y_1 \vdots k$ nên $x_1,y_1 \vdots k$.
Mà $(x_1,y_1)=1$ nên $k=1$.
Tóm lại: $x_1+y_1,x_1^2-x_1.y_1+y_1^2$ là 2 snt cùng nhau.
Do đó: $(x_1+y_1)(x_1^2-x_1.y_1+y_1^2)=1983=3.661=1.1983=...$
Chú ý là $x_1^2-x_1.y_1+y_1^2>0$
Từ đó tìm các cặp $x_1,y_1$ thích hợp