Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
20
Đắk Nông
Một vài bài trong các đề thi học sinh giỏi THPT các bạn làm thử nhé
[TEX]\boxed{192}[/TEX](Khánh Hòa) Giải phương trình:
$\dfrac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\dfrac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$
[TEX]\boxed{193}[/TEX](Thái Nguyên) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x} \\
& \sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{194}[/TEX](Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&2x^2+7x+3+\sqrt{x+1}=y^2+2y-xy+\sqrt{y-x} \\
&3\sqrt{6+x-y}+3\sqrt{3x+y-5}=y+6
\end{matrix}\right.$
@Dương Bii @kingsman(lht 2k2) @Tony Time @lengoctutb @KwangDat ,...
P/s: Mọi người tiếp tục ủng hộ topic nhé ^^ :D:D
 

KwangDat

Học sinh
Thành viên
20 Tháng sáu 2017
46
54
41
19
Một vài bài trong các đề thi học sinh giỏi THPT các bạn làm thử nhé
[TEX]\boxed{192}[/TEX](Khánh Hòa) Giải phương trình:
$\dfrac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\dfrac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$
[TEX]\boxed{193}[/TEX](Thái Nguyên) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x} \\
& \sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{194}[/TEX](Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&2x^2+7x+3+\sqrt{x+1}=y^2+2y-xy+\sqrt{y-x} \\
&3\sqrt{6+x-y}+3\sqrt{3x+y-5}=y+6
\end{matrix}\right.$
@Dương Bii @kingsman(lht 2k2) @Tony Time @lengoctutb @KwangDat ,...
P/s: Mọi người tiếp tục ủng hộ topic nhé ^^ :D:D

Lâu chưa vào topic, nhiều bài hay quá

Lời giải bài 193:
ĐKXĐ: [tex]-\frac{2}{3}\le y\le \frac{2}{3}[/tex]
[tex](1)\Leftrightarrow 2y^3+y=2(\sqrt{1-x})^3+\sqrt{1-x}[/tex]
Ta dễ chứng minh hàm [tex]f(t)=2t^3+t[/tex] đồng biến trên tập thưc
Do đó:
[tex]y=\sqrt{1-x} \Rightarrow y^2=1-x(3)[/tex]
Thế (3) vào (2) ta được:
[tex]\sqrt{4x+5}=2x^2-6x-1 \\ \Leftrightarrow (2x-3-\sqrt{4x+5})(2x-1+\sqrt{4x-5}) \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-3=\sqrt{4x+5}\\1-2x=\sqrt{4x+5} \end{matrix}\right \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2+\sqrt{3}\\x=1-\sqrt{2} \end{matrix}\right[/tex]
Thế ngược lại (3) và thử lại, ta thấy HPT có nghiệm duy nhất là [tex](1-\sqrt{2};\sqrt[4]{2})[/tex]

Lời giải bài 194:
Lười ghi ĐKXĐ
[tex](1)\Leftrightarrow 2(x+1)^2-(x+1)(y-x)-(x-y)^2+(x+y+1)(2x-y+1)+2x-y+1+\sqrt{x+1}-\sqrt{y-x}=0[/tex]
Sau khi đặt ẩn phụ và mất một hồi biến đổi nho nhỏ, ta đươc:
[tex]\sqrt{x+1}=\sqrt{y-x}\Leftrightarrow y=2x+1(3)[/tex]
Thế (3) vào (2) ta được:
[tex]3\sqrt{5-x}+3\sqrt{5x-4}=2x+7[/tex]
Đến đây dễ rồi

Huhu mình gõ lỗi, cho mình xin phép được gõ lại, mình không có ý spam đâu

Bài tập chưa có lời giải:
[TEX]\boxed{192}[/TEX](Khánh Hòa) Giải phương trình:
$\dfrac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\dfrac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$

Bài tập đề nghị:
[TEX]\boxed{193}[/TEX] Giải hệ phương trình:
[tex]$\left\{\begin{matrix} &2x^3+3x^2-18=y^3+y \\ &2y^3+3y^2-18=z^3+z \\ &2z^3+3z^2-18=x^3+x \end{matrix}\right.$[/tex]
[TEX]\boxed{194}[/TEX](k2pi.net) Giải hệ phương trình:
[tex]$\left\{\begin{matrix} &10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0 \\ &\sqrt{x^3+xy+6y}-\sqrt{y^3+x^2+1}=2 \end{matrix}\right.$[/tex]

@Nguyễn Xuân Hiếu @Dương Bii @Quân Nguyễn 209 @Tony Time @lengoctutb @kingsman(lht 2k2) vào cày nào
 
Last edited by a moderator:

Cao Khánh Tân

Học sinh chăm học
Thành viên
18 Tháng năm 2016
71
61
149
20
Bài 194:
Ta có:
gif.latex

gif.latex

Thế vào phương trình dưới ta thấy không thỏa mãn suy ra hệ vô nghiệm.
P/s: Hình như trong cái căn thứ 2 là -1
 
  • Like
Reactions: tuananh982

Tony Time

Học sinh tiến bộ
Thành viên
23 Tháng sáu 2017
691
1,103
189
20
Bà Rịa - Vũng Tàu
Taylors College

lengoctutb

Học sinh tiến bộ
Thành viên
28 Tháng hai 2016
1,297
990
221
195: Giải phương trình
[tex](2x-1)\sqrt{x+3}=x^{2}+3[/tex]
196:tìm x,y nguyên thỏa mãn :
(x+y0(x+2y)=x+5

$\boxed{195}$ $(2x-1)\sqrt{x+3}=x^{2}+3$ $(1)$ $ĐKXĐ:x \geq -3$
$(1) \Rightarrow (2x-1)^{2}(x+3)=(x^{2}+3)^{2} \Leftrightarrow x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+11x+6=0 \Leftrightarrow (x^{2}-3x-2)(x^{2}-x-3)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x^{2}-3x-2=0 & \\ x^{2}-x-3=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{3+\sqrt{17}}{2} (nhận) & \\ x=\frac{3-\sqrt{17}}{2} (loại) & \\ x=\frac{1+\sqrt{13}}{2} (nhận) & \\ x=\frac{1-\sqrt{13}}{2} (loại) & \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình $(1)$ có tập nghiệm $S=\{\frac{3+\sqrt{17}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2}\}$
 
  • Like
Reactions: Hoàng Vũ Nghị

lengoctutb

Học sinh tiến bộ
Thành viên
28 Tháng hai 2016
1,297
990
221
Vài bài thi $Olympic$ nha $!$
$\boxed{198}$ $\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2 & \\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y & \end{matrix}\right.$
$\boxed{199}$ $(2x+3)\sqrt{2+x}+(2x+1)\sqrt{2-x}=5x+4+\sqrt{4-x^{2}}$
$\boxed{200}$ $\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+y-x-9=\sqrt{3x+1}+\sqrt{x^{2}+5x+y-8} & \\ x\sqrt{12-y}+\sqrt{12y-x^{2}y}=12 & \end{matrix}\right.$

$P/s:$ @Nguyễn Minh Hiếu với tag mấy người vào làm cho vui $!$
 

lengoctutb

Học sinh tiến bộ
Thành viên
28 Tháng hai 2016
1,297
990
221
Mình xin gợi ý $!$

$\boxed{198}$ $\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2 (1) & \\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y (2) & \end{matrix}\right.$
Điều kiện $:$ $y \geq 1$$.$
$(2) \Rightarrow 2016\sqrt{y-1}+(y-1)^{2}=x-1 \Rightarrow x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$.$
Vế trái $(1) = 3\sqrt[3]{2.2x(x+1)}+2\sqrt{y(2y-1)} \leq 2+2x+x+1+y+2y-1=3(x+y)+2$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2x=x+1 & \\ y=2y-1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$
Thử lại ta thấy $x=1$ và $y=1$ là nghiệm của hệ$.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(1;1)$$.$
 

lengoctutb

Học sinh tiến bộ
Thành viên
28 Tháng hai 2016
1,297
990
221
Vài bài thi $Olympic$ nha $!$
$\boxed{198}$ $\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2 & \\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y & \end{matrix}\right.$
$\boxed{199}$ $(2x+3)\sqrt{2+x}+(2x+1)\sqrt{2-x}=5x+4+\sqrt{4-x^{2}}$
$\boxed{200}$ $\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+y-x-9=\sqrt{3x+1}+\sqrt{x^{2}+5x+y-8} & \\ x\sqrt{12-y}+\sqrt{12y-x^{2}y}=12 & \end{matrix}\right.$

$P/s:$ @Nguyễn Minh Hiếu với tag mấy người vào làm cho vui $!$

$\boxed{199}$ $(2x+3)\sqrt{2+x}+(2x+1)\sqrt{2-x}=5x+4+\sqrt{4-x^{2}}$
Đặt $a=\sqrt{2+x}$$,$ $b=\sqrt{2-x}$ $(a,b \geq 0)$$,$ ta có $:$
$a=\sqrt{2+x} \Leftrightarrow a^{2}=2+x \Leftrightarrow 2x+3=2a^{2}-1 \Leftrightarrow 2x+1=2a^{2}-3 \Leftrightarrow 5x+4=5a^{2}-6$$.$
Phương trình $\Leftrightarrow (2a^{2}-1)a+(2a^{2}-3)b= 5a^{2}-6+ab \Leftrightarrow (a+1)(a-\frac{3}{2})(2a+2b-4)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=-1 & \\ a=\frac{3}{2} & \\ a+b=2 & \end{matrix}\right.$
So với điều kiện$,$ ta chỉ có $a=\frac{3}{2}$ hoặc $a+b=2$$.$
$a=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{a+2}= \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{4}$$.$
$a+b=2$$,$ ta có hệ $:$ $\left\{\begin{matrix} a+b=2 & \\ a^{2}+b^{2}=4 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=2 & \\ ab=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} (a;b)=(0;2) & \\ (a;b)=(2;0) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=-2 & \\ x=2 & \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có tập nghiệm là $:$ $S=\{\frac{1}{4};2;-2\}$
 

kingsman(lht 2k2)

Mùa hè Hóa học|Ngày hè tuyệt diệu
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
các bạn rất tâm huyết với topic, rất phục các bạn
chúng ta bắt đầu phục hưng topic sôi nỗi trở lại
201 giải hệ phương trình với x;y thuộc R
[tex]\begin{cases} 3(x^{2}+y^{2})+\frac{1}{(x-y)^{2}}=2(10-xy) & \color{blue}{(1)} \\ 2x+\frac{1}{x-y}=5 & \color{blue}{(2)} \\ \end{cases}[/tex]
 

lengoctutb

Học sinh tiến bộ
Thành viên
28 Tháng hai 2016
1,297
990
221
các bạn rất tâm huyết với topic, rất phục các bạn
chúng ta bắt đầu phục hưng topic sôi nỗi trở lại
201 giải hệ phương trình với x;y thuộc R
[tex]\begin{cases} 3(x^{2}+y^{2})+\frac{1}{(x-y)^{2}}=2(10-xy) & \color{blue}{(1)} \\ 2x+\frac{1}{x-y}=5 & \color{blue}{(2)} \\ \end{cases}[/tex]

$\boxed{201}$ $(I) \left\{\begin{matrix} 3(x^{2}+y^{2})+\frac{1}{(x-y)^{2}}=2(10-xy) & \\ 2x+\frac{1}{x-y}=5 & \end{matrix}\right.$
Điều kiện xác định $:$ $x \neq y$
$(I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{2}+(x-y)^{2}+\frac{1}{(x-y)^{2}}=20 & \\ x+y+x-y+\frac{1}{x-y}=5 & \end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=x+y & \\ b=x-y+\frac{1}{x-y} & \end{matrix}\right.$$.$ Khi đó hệ phương trình $(I)$ trở thành $:$
$\left\{\begin{matrix} 2a^{2}+b^{2}-2=20 & \\ a+b=5 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^{2}+(5-a)^{2}=22 & \\ b=5-a & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a=3 & \\ b=2 & \end{matrix}\right. (II) & \\ \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3} & \\ b=\frac{14}{3} & \end{matrix}\right. (III) & \end{matrix}\right.$
$(II) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=3 & \\ x-y+\frac{1}{x-y}=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=3 & \\ x-y=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. (nhận) $
$(III) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y= \frac{1}{3} & \\ x-y+\frac{1}{x-y}= \frac{14}{3} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x+y= \frac{1}{3} & \\ x-y=\frac{7-2\sqrt{10}}{3} & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x+y= \frac{1}{3} & \\ x-y=\frac{7+2\sqrt{10}}{3} & \end{matrix}\right. & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x= \frac{4+\sqrt{10}}{3} & \\ y=\frac{-3-\sqrt{10}}{3} & \end{matrix}\right. (nhận) & \\ \left\{\begin{matrix} x= \frac{4-\sqrt{10}}{3} & \\ y=\frac{-3+\sqrt{10}}{3} & \end{matrix}\right. (nhận) & \end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình $(I)$ có tập nghiệm $S=\{(2;1);(\frac{4+\sqrt{10}}{3}; \frac{-3-\sqrt{10}}{3});( \frac{4-\sqrt{10}}{3}; \frac{-3+\sqrt{10}}{3} )\}$
 
  • Like
Reactions: Ann Lee

Quân Nguyễn 209

Học sinh chăm học
Thành viên
8 Tháng sáu 2017
356
335
86
TP Hồ Chí Minh
Blank
[tex]\boxed{200}[/tex]
* Để ý pt2 thực chất là bất đẳng thức trá hình
* Pt2: [tex]x\sqrt{12-y}+\sqrt{y}.\sqrt{12-x^2} \leq |x|\sqrt{12-y}+\sqrt{y}.\sqrt{12-x^2} \leq \frac{x^2+12-y}{2}+\frac{y+12-x^2}{2}=12[/tex]
Nhận xét [tex]"=" <=> y=12-x^2[/tex]
=>Thế vào pt1 ta có :
[tex]3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}[/tex] (1)
* Tư tưởng tiếp theo là liên hợp, sau khi bấm máy ra nghiệm [tex]x=1[/tex] và [tex]x=0[/tex] ta dự đoán nhân tử là [tex](x-0)(x-1)=x^2-x[/tex] nên ta cần ghép [tex]-\sqrt{3x+1}[/tex] với [tex]mx+n[/tex] để tạo nhân tử, dễ thấy [tex]x^2-x=(1.x+1)^2-3x+1[/tex] nên [tex]m=1;n=1[/tex]
Tương tự [tex]-\sqrt{5x+4}[/tex] ghép với [tex]x+2[/tex], ta có lời giải :
[tex](1)<=> (x^2-x)(\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}}+3)=0 <=>...[/tex]
 
Last edited:

Bonechimte

Học sinh tiêu biểu
Thành viên
8 Tháng bảy 2017
2,553
4,752
563
Hà Nội
...
[tex]\boxed{202}[/tex] Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}27y^3-3x^2+9y=1 & \\ \sqrt{x}+\sqrt{3y}=\sqrt[4]{72.(\frac{x^2}{9}+y^2)} & \end{matrix}\right.$
 
  • Like
Reactions: Ann Lee

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,980
459
Hưng Yên
[tex]\boxed{202}[/tex] Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}27y^3-3x^2+9y=1 & \\ \sqrt{x}+\sqrt{3y}=\sqrt[4]{72.(\frac{x^2}{9}+y^2)} & \end{matrix}\right.$
202.
ĐKXĐ: [tex]x;y\geq 0[/tex]
Pt (2) [tex]\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{3y})^{4}=72(\frac{x^{2}}{9}+y^{2})=8x^{2}+72y^{2}[/tex]
Áp dụng BĐT Bunyakovsky
  • [tex]2x+6y=(1+1)(x+3y)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{3y})^{2}\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{3y})^{4}\leq (2x+6y)^{2}[/tex]
  • [tex]8x^{2}+72y^{2}=(1+1)(4x^{2}+36y^{2})\geq (2x+6y)^{2}[/tex]
Suy ra [tex](\sqrt{x}+\sqrt{3y})^{4}\leq 8x^{2}+72y^{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=3y[/tex]
Thay vào pt (1) được
[tex]27y^{3}-3(3y)^{2}+9y=1\Leftrightarrow 27y^{3}-27y^{2}+9y-1=0\Leftrightarrow (3y-1)^{3}=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}[/tex] (t/m) [tex]\Rightarrow x=1[/tex] (t/m)
Vậy...
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,460
891
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
giải pt
[tex]x^{3}+2\sqrt{7}x^{2}+7x+\sqrt{7}-1=0[/tex]
pt $\iff x(x+\sqrt{7})^2 = 1 - \sqrt{7}$
$\iff x[(x+\sqrt{7})^2 - 1] = 1 - \sqrt{7} - x$
$\iff x(x + \sqrt{7} - 1)(x + \sqrt{7} + 1) = -x - \sqrt{7} + 1$
Hai vế có nhân tử chung, bạn tự làm tiếp nhé
 
Top Bottom