[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi rua_it, 27 Tháng một 2011.

Lượt xem: 81,844

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Hic, :(
    Ta có:
    $VT=x^2(x-3)$
    $VP=(y+1)^2[(y+1)-3]=(y+1)^2(y-2)$
    Tức là sau khi chứng minh tính đơn điệu của $f(t)=t^2(t-3)$ thì ta có: $f(x)=f(y+1)$ thì suy ra $x=y+1$.
     
  2. hỏi

    ừ hì,:D tớ thế y=x-1 vào pt (1) thì được
    x^3-3x^2=(x-1)^3 -3(x-1) -2
    cái này vô nghiệm thì phải=.= cậu xem rồi chỉ ra cho tớ chỗ không đúng nhé.tks
     
  3. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    :( Sao bạn lại thế vô (1) nhỉ, vì từ (1) ta rút ra đươc $x=y+1$ nên thế lại vô thì hiển nhiên đúng rồi, bạn phải thế vô (2) chứ.
    Nhìn vô ta có thể dễ dàng tính được $x=3,y=2$ là nghiệm nè.
    =((
     
  4. ngovanhien

    ngovanhien Guest

    Giúp mình bài này
    Bài 103. [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3+(2-y)x^2+(2-3y)x-5(y+1) = 0
    \\ 3\sqrt{y+1}= 3.x^2-14x+14 \end{array} \right.[/tex]
     
  5. ngovanhien

    ngovanhien Guest

    Giúp mình bài này
    Bài 104. [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2+2xy+y=0
    \\ x^3+3xy+2\sqrt{y+1}(x+\sqrt{x^2y+2})=4 \end{array} \right.[/tex]
     
  6. ngovanhien

    ngovanhien Guest

    105. [tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2x+1}-\sqrt{2y+1} = y-x
    \\ 16x^2y^2+5=6\sqrt[3]{4x^2y+x}\end{array} \right.[/tex]
    106.[tex]\left\{ \begin{array}{l} 2x-y+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-2+2(2x-y)^2}
    \\ y^2+4x\sqrt{x-1}=17\end{array} \right.[/tex]
     
  7. hoanghondo94

    hoanghondo94 Guest

    Calm down , làm gì mà post một lúc như thế :D , ẹc , làm được một bài :) , Bài 104 tớ thấy trong boxmath có rồi đó :)


    Điều kiện: $x,\, y\ge \displaystyle-\frac{1}{2}.$ Từ phương trình thứ nhất ta có $$\sqrt{2x+1}+x=\sqrt{2y+1}+y,$$ hay $$f(x)=f(y) \text{ với }f(t)=\sqrt{2t+1}+t.$$ Nhận thấy rằng $f(t)$ là hàm liên tục và tăng trên $\left[-\frac{1}{2},\, +\infty\right)$ nên $f(x)=f(y)$ sẽ tương đương với $x=y.$ Thay vào phương trình thứ hai ta được $$16x^4+5=6\sqrt[3]{4x^3+x}.\quad (1)$$ Do $16x^4+5>0$ nên từ đây ta suy ra $4x^3+x>0,$ tức $x>0.$ Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$\sqrt[3]{4x^3+x}=\sqrt[3]{x(4x^2+1)} =\frac{\sqrt[3]{4x \cdot (4x^2+1)\cdot 2}}{2} \le \frac{4x+(4x^2+1)+2}{6}.$$ Kết hợp với $(1),$ ta suy ra $$16x^4+5 \le 4x^2+4x+3,$$ hay tương đương $$2(2x^2+2x+1)(2x-1)^2 \le 0.$$ Nhưng điều này chỉ xảy ra khi $x=\frac{1}{2}.$ Mặt khác, ta dễ thấy $x=\frac{1}{2}$ thỏa mãn phương trình $(1).$ Từ đây suy ra hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x,\,y)=\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2}\right).$
     
  8. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài này mình có cách này hơi dài bạn tham khảo nhé.
    ĐK: $y$ \geq $-1$ và $x^2y+2$ \geq $-2$.
    Thử x=0 xem có thoả hệ không.
    Với $x \ne 0$ thì ta có (1) tương đương:
    $$x^3=-2x^2y-xy (3)$$ Ta viết phương trình (2) như sau:
    $$ x^3+3xy+2x\sqrt{y+1}+2\sqrt{y+1}\sqrt{x^2y+2}=4.$$$$ \Longleftrightarrow x^3+3xy+2x\sqrt{y+1}-4+(y+1)+(x^2y+2)=(y+1)-2\sqrt{y+1}\sqrt{x^2y+2}+(x^2y+2).$$$$ \Longleftrightarrow-2x^2y-xy +3xy+2x\sqrt{y+1}-4+(y+1)+(x^2y+2)=(\sqrt{y+1}-\sqrt{x^2y+2})^2.(Thế (3) vào)$$$$ \Longleftrightarrow -x^2y+2x\sqrt{y+1}-1+2xy+y=(\sqrt{y+1}-\sqrt{x^2y+2})^2.$$$$ \Longleftrightarrow -x^2(y+1)+2x\sqrt{y+1}-1=(\sqrt{y+1}-\sqrt{x^2y+2})^2.(Thế (1) vào)$$$$ \Longleftrightarrow (x\sqrt{y+1}-1)^2+(\sqrt{y+1}-\sqrt{x^2y+2})^2=0.$$ Tới đây bạn tiếp tục nhé.
     
  9. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Gợi ý:
    ĐK: ...
    Khi đó bình phương (1) ta được:
    $$(2x-y)^2+2.(2x-y)\sqrt{x-1}+x-1=2x-2+2(2x-y)^2. $$$$ \Longleftrightarrow (2x-y)^2-2.(2x-y)\sqrt{x-1}+x-1=0$$$$\Longleftrightarrow [(2x-y)-\sqrt{x-1}]^2=0$$$$\Longleftrightarrow 2x-y=\sqrt{x-1}$$ Tới đây bạn tiếp tục hoàn thiện nhé.


     
  10. duynhan1

    duynhan1 Guest

    $$x^3 +2x^2 + 2x - 5- y(x^2 +3x+5) = 0 \Leftrightarrow (x-1-y)(x^2+3x+5) = 0$$
    Hên thế này không biết =.=
     
  11. Các bạn thảo luận giúp mình mấy bài này nhé
    [tex]1.\left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt{2x-3y} +\sqrt{5-x+y} = 7 \\ 3\sqrt{5-x+y} -\ sqrt{2x-y-3} =1 \end{array} \right.[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng năm 2012
  12. hoanghondo94

    hoanghondo94 Guest


    $ĐKXĐ:2x\geq 3y,5-x-y\geq 0,2x-y-3\geq 0$

    Với điều kiện trên, ta có:

    $$\begin{cases} 2\sqrt{2x-3y}+\sqrt{5-x+y} =7 \\ 3\sqrt{5-x+y}-\sqrt{2x-y-3} =1 \end{cases}$$

    $\Leftrightarrow \begin{cases} 4(2x-3y)=(7-\sqrt{5-x+y})^2 \\ x-y-3=(3\sqrt{5-x+y}-1)^2 \end{cases}$

    $\Leftrightarrow \begin{cases} 14\sqrt{5-x+y} =-9x+13y+54(\ast )\\ 6\sqrt{5-x+y}=-11x+10y+49 \end{cases}$

    $\Leftrightarrow \frac{-9x+13y+54}{7}=\frac{-11x+10y+49}{3}$

    $\Leftrightarrow y=\frac{50x-181}{31}$

    Thay vào $(\ast )$:

    $14\sqrt{5-x+\frac{50x-181}{31}}=54-9x+13(\frac{50x-181}{31})$

    $\Leftrightarrow 53x-97=2\sqrt{31(19x-26)}$

    $\Leftrightarrow x=3,y=-1$

    Thế $x=3,y=-1$ vào hệ thấy thỏa mãn

    Vậy, $(x,y)=(3,-1)$
     
  13. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Xem tại đây nhé: http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1970263&postcount=7
    Đề có đúng không nhỉ :-?
     
  14. [tex]2.\left\{ \begin{array}{l} sqrt{9x+\frac{y}{x}}+2\sqrt{y+\frac{2x}{y}}=4 \\ (\frac{2x}{y^2}-1)(\frac{y}{x^2}-9)=18 \end{array} \right.[/tex]
    [tex]3.\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2-2x+5}=3y+\sqrt{y^2+4} \\ x^2 - y^2 -3x + 3y + 1 = 0 \end{array} \right.[/tex]

    [tex]4.\left\{ \begin{array}{l} x^2y+xy^2+x+y+xy=11 \\ 3x^2y-xy^2+3x-y+xy=17 \end{array} \right.[/tex]

    [tex]5.\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2-(x+y)}= \frac{y}{\sqrt[3]{x-y}} \\ 2(x^2+y^2)-3\sqrt{2x-11}=11 \end{array} \right.[/tex]

    [tex]6.\left\{ \begin{array}{l} 4 + 9.3^{x^2-2y}=(4+9^{x^2-2y})7^{2y-x^2+2} \\ 4^x+4=4x+\4sqrt{2y-2x+4} \end{array} \right.[/tex]

    [tex]7.\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2y^2-7y+10-x(y+3)}+\sqrt{y+1}=x+1 \\ \sqrt{y+1}+\frac{3}{x+1}=x+2y \end{array} \right.[/tex]

    [tex]8.\left\{ \begin{array}{l} x+3=\2sqrt{(3y-x)(y+1)} \\ sqrt{3y-2}-\sqrt{\frac{x+5}{2}}=xy-2y-2 \end{array} \right.[/tex]

    [tex]9.\left\{ \begin{array}{l} x+y = 2xy \\ (x+3)sqrt{2x-1}+(y+3)sqrt{2y-1}=2\sqrt{(y+3)(x+3)} \end{array} \right.[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng năm 2012
  15. hoanghondo94

    hoanghondo94 Guest

    A , Bài ni là đề thi thử của trường Đào Duy Từ - Thanh Hoá , hôm đó mình cũng đi thi , bài này được có nửa điểm :( :(


    Điều kiện $\begin{cases} x\ne y \\ x\geq \frac{11}{2} \\ x^2-(x+y)\geq 0\end{cases}$

    $\frac{{\sqrt {{x^2} - (x + y)} }}{y} - 1 = \frac{1}{{\sqrt[3]{{x - y}}}} - 1$
    $<=>(x - y - 1)\left(\frac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} - (x + y)} + y}} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{x - y}}} \right)}^2} + 1 + \sqrt[3]{{x - y}}}}\right) = 0$

    [TEX]Continue [/TEX] :)


    Post mấy bài luôn 1 lúc đi , sao bạn cứ post từng bài kiểu đó = khó xem ,



    Cái pt 2 hình như bị sai rồi á , xem lại đề đ1
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng năm 2012
  16. mình kiểm tra đề số 2 vẫn đúng bạn ạ. Mấy bài thầy ghi cho mình mà
     
  17. 10. [tex]\left\{ \begin{array}{l} sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^2(1-2x^2)=y^4 \\ 1+\sqrt{1+(x-y)^2}+x^2(x^4-2x^2-2xy^2+1)=0 \end{array} \right.[/tex]

    Bài số 10 mình nhẩm nghiệm (x; y) = (1; 1) mà mình thử cộng hai phương trình vào đánh giá
    Cộng vào mình được: [tex]\sqrt{1+(x-y^2)}+(x^3-y^2)^2+1-\sqrt{4-(1-x^2y)^2}=0[/tex]
    phương trình này hình như luôn không âm nên dấu bằng xảy ra là (x; y) = (1;1)
    Bạn kiểm tra hộ mình với. mấy bài thầy cho về khó quá mong các bạn giúp cho

    Đk: x\geq1
    Với x = 2 phương trình vô nghiệm
    Với x khác 2 phương trình ban đâu tương đương với pt
    [tex]\sqrt[3]{4x-4} + \sqrt{2x-2}=\frac{3x-1}{2x-4} [/tex] (2)
    Vế trái pt (2) là hàm số đồng biến
    Vế phải phương trình (2) là hàm số nghịch biến trên TXĐ
    nên pt có nghiệm duy nhất x = 3

    Bài 101.
    phương trình ban đầu tương đương
    [tex] x^2(x^2+2)+x\sqrt{2x^2+4}-4=0 (1) [/tex]
    Đặt t = [tex] x\sqrt{2x^2+4} [/tex]
    phương trình (1) trở thành:[tex] t^2+2t-8=0 [/tex]
    suy ra t = 2 và t = - 4. Từ đó tìm được x

    91.
    phương trình (1) tương đương: [tex] y^2(1+x^2)=2x [/tex] (3)
    Do vế trái luôn dương nên x > 0 Vì nếu x = 0 thì y = 0 thay vào pt (2) vô nghiệm
    Từ (3) suy ra [tex] y^2\leq1 [/tex]\Leftrightarrow-1\leq y \leq1
    phương trình (2) viết lại được
    [tex] \2(x-1)^2+y^3+1=0 [/tex] luôn không âm
    dấu bằng xảy ra khi x = 1; y = -1
    Thay x = 1; y = -1 thỏa mãn
    vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; -1)

    92. đặt a = [tex]\sqrt{x}[/tex]; b= [tex]\sqrt{y}[/tex] (a;b\geq0)
    hệ phương trở thành: [tex]\left\{ \begin{array}{l} a^2b+a=30b^2 (1)\\ a^3b^3+1=35b^3\end{array}(2) \right.[/tex]
    Do b khác 0 nên chia hai vế phương trình (1) cho [tex]b^2[/tex]; phương trình (2) cho [tex]b^3[/tex]
    ta được: [tex]\left\{ \begin{array}{l}\frac{a^2}{b}+\frac{a}{b^2}=30 \\ a^3+\frac{1}{b^3}=35\end{array} \right.[/tex]

    [tex]\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b}(a+\frac{1}{b})=30 \\ (a+\frac{1}{b})^3-3\frac{a}{b}(a+\frac{1}{b})=35\end{array} \right.[/tex]
    Đặt ẩn phụ u = [tex]a+\frac{1}{b}[/tex]; v = \frac{a}{b}
    từ đó tìm được u, v \Rightarrow tìm được a, b \Rightarrow Tìm được x, y

    98. đặt t = [tex] 5^x[/tex]. Do x thuộc (0;1) suy ta 1<t<5
    Bất phương trình trở thành: [tex] 5t^2+(m-6)\frac{5}{t}>5(m-5)[/tex]
    tương đương: [tex] 5t^3+25t-30>5m(t-1)[/tex]
    suy ra [tex] m<t^2+t+6[/tex] với 1<t<5
    ycbt chỉ cần tìm m < Minf(t) với 1<t<5 là xong

    96. Từ hai phương trình suy ra [tex](x+y)\frac{\sqrt{xy}+1}{\sqrt{xy}}=\sqrt{xy}(x+y)[/tex]
    suy ra [tex]xy=\sqrt{xy}+1[/tex]
    vậy [tex]xy=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2[/tex] và x + y = [tex]\frac{2m}{1+\sqrt{5}}[/tex]
    Sử dụng điều kiện: [tex]S^2\ge \4P; S>0;P>0[/tex]
    sẽ tìm được giá trị m
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng năm 2012
  18. jelouis

    jelouis Guest


    9. $\left\{ \begin{array}{l} x+y = 2xy(1) \\ (x+3)\sqrt{2x-1}+(y+3)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(y+3)(x+3)} (2) \end{array} \right.$

    Điều kiện : $x,y$ \geq $\frac{1}{2}$
    Từ phương trình (1) ta có :
    $$x+y=2xy \Longrightarrow y=\frac{x}{2x-1}$$
    Thay $y=\frac{x}{2x-1}$ vào phương trình $(2)$ ta được :
    $$(x+3) \sqrt{2x-1}+(\frac{x}{2x-1}+3) \sqrt{\frac{1}{2x-1}}=2\sqrt{(\frac{x}{2x+1}+3)(x+3)}$$
    Đặt $(x+3)\sqrt{2x-1}=a , (\frac{x}{2x-1}+3)\sqrt{\frac{1}{2x-1}}=b$

    Phương trình trở thành :
    $$a+b=2\sqrt{ab}$$
    $$\Longleftrightarrow a=b$$
     
  19. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Bài số 10 xem tại đây nhé :)
    http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=223657
     
  20. Bài 90.[tex]\left\{ \begin{array}{l}xy-\sqrt{xy}=3y-1 (1)\\ sqrt{(x+1)y}+\sqrt{y+1}= 4sqrt{y} (2)\end{array} \right.[/tex]
    Với y = 0 hệ pt vô nghiệm
    nên chia cả hai vế pt(1) cho y; hai vế pt(2) cho [tex]\sqrt{y}[/tex] ta được
    [tex]\left\{ \begin{array}{l}x+\frac{1}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=3 (1)\\ sqrt{x+1}+\sqrt{1+\frac{1}{y}}= 4 (2)\end{array} \right.[/tex]
    Đặt a = [tex]\sqrt{x}[/tex]; b = [tex]\sqrt{\frac{1}{y}}[/tex] (a\geq 0; b>0)
    ta được hệ phương trình mới
    [tex]\left\{ \begin{array}{l}a^2+b^2-ab=3(1)\\ sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}= 4 (2)\end{array} \right.[/tex]
    Bình phương hai vế phương trình (2) ta được
    [tex]a^2+b^2+2+2\sqrt{a^2b^2+a^2+b^2+1}=16 (3)\.[/tex]
    Thế [tex]a^2+b^2=3+ab \.[/tex] vào phương trình (3) ta sẽ tìm được [tex]ab=3\.[/tex]
    Với [tex]ab=3\.[/tex] suy ra [tex]a+b=2\sqrt{3}\.[/tex]
    ta tìm được a, b từ đó tìm được x, y
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng năm 2012
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->