[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi rua_it, 27 Tháng một 2011.

Lượt xem: 81,832

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. colen_pink

    colen_pink Guest

    Câu 4 hay đấy!!

    [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2y+xy^2 +x+y+xy=11(1)\\ 3x^2y -xy^2+3x-y+xy=17 (2) \end{array} \right.[/tex]
    biến đổi pt 1 thành (x+y+1)(xy+1)=12
    trừ (1)-(2), rồi nhóm lại ta dc (x-y)(xy+1)=3
    suy ra x+y+1=4(x-y) , x=(1+5y)/3 thế vào pt (2) đc
    20y^3 +14y^2 +14y - 48=0
    suy ra y=1 , x=2
     
  2. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Bài này sai rồi, lỗi này rất hay gặp, bạn xem lại nhé :D
     
  3. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Ta sẽ ngó phương trình (1) mà phân tích phương trình (2) nhé:
    $$\begin{aligned} (2) \Leftrightarrow & \left( \frac{2x}{y} - y \right) \left( \frac{y}{x} -9x \right) = 18 xy \\ \Leftrightarrow & 2 +9xy - \frac{y^2}{x} - \frac{18x^2}{y} = 18 xy \\ \Leftrightarrow & \left( \frac{2x}{y} + y \right) \left( \frac{y}{x} +9x \right) = 4 \end{aligned} $$
    Bạn để ý trong 2 cái căn nhé, VT là $\sqrt{(x-1)^2+4} ,\ \sqrt{y^2+4}$, ý tưởng đầu tiên sẽ làm dùng hàm số :-? nhưng mà sao ở ngoài không giống nhau?? Ta cần làm cho nó giống nhau, và dễ nhẩm thấy lấy (1)+(2) ta có điều đó.
    (1)+(2) ta có: $$ (x-1)^2 + \sqrt{(x-1)^2+4} = y^2+\sqrt{y^2+4}$$ Dễ có hàm số $f(t) = t + \sqrt{t+4} \forall t \ge 0$ đồng biến trên $[0;+ \infty)$, do đó phương trình trên tương đương: $f((x-1)^2) = f(y^2) \Leftrightarrow (x-1)^2 = y^2$
    Không khó để phân tích nhân tử: $$\begin{cases} (xy+1)(x+y+1) = 12 \\ (3x-y+1)(xy+1) = 18 \end{cases} \Rightarrow 18 (xy+1)(x+y+1) = 12(xy+1)(3x-y+1) \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} xy+1= 0 (VN) \\ 3(x+y+1) = 2(3x-y+1) \end{matrix} \right. $$
     
  4. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Bữa trước đang làm thì bị la, bỏ quên mấy bài này mất [​IMG]
    Đặt $t=x^2-2x$ thì viết phương trình (1) thành: $$4.(\frac79)^t + 9. (\frac73)^t - 49(\frac{4}{9^t} + 1) = 0 $$
    Vế trái đồng biến trên R nên có nghiệm duy nhất: $t=2$.
    Từ đó thay vào (2) thì ta được: $$\begin{aligned} & 4^x + 4 = 4x + 4 \sqrt{x^2-2x+2} \\ \Leftrightarrow & \ln4 . u = \ln(u+\sqrt{u^2+1}), \quad u=x-1\end{aligned}$$
    Xét hàm nhé :).
    Điều kiện: <Ghi hết mấy cái trong căn và dưới mẫu ra> (*)
    Từ phương trình (1) của hệ ta suy ra: $2y^2-7y+10-x(y+3) = (x+1)^2 + y+1 - 2(x+1)\sqrt{y+1} \quad \color{red}{(3)} $
    Từ phương trình (2) của hệ ta suy ra: $(x+1)\sqrt{y+1} = x^2+x+2xy+2y-3 \quad \color{red}{(4)}$
    Thay (4) vào (3) và rút gọn ta được phương trình:$$\begin{aligned} & x^2+ (3y-3)x + 2y^2 - 4y + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & (x+y-1)(x+2y-2) = 0 \end{aligned} $$
    Trường hợp 1:
    $x=1-y$, thay vào (4) ta được: $$y^2-y+1 = (y-2)\sqrt{y+1}$$ Do $y^2-y+1>0$ nên ta phải có: $y>2$.
    Dễ suy ra vô nghiệm vì ta có: $y^2-y+1 = (y-2)^2 + 3(y -1) > (y-2)^2 + (y+1) \ge 2(y-2)\sqrt{y+1} > (y-2)\sqrt{y+1}$
    Trường hợp 2:
    $x=2-2y$, thay vào (4) ta có: $4y-3 = (2y-3) \sqrt{y+1} $
    Bình phương 2 vế ta được: $$y(4y^2-24y+21) = 0 $$
    P/s: Đi thi mà giải xong bài này chắc xỉu mất [​IMG]
    Gợi ý:
    Phân tích phương trình (1) thành: $$x-3y + (3y+3) = 2\sqrt{(3y-x)(y+1)}$$ Bình phương trước khi đặt nhé :) tại vì ta chưa biết $x+1 \ge 0 \ hay \ x+1 \le 0$
    Xem thêm tại đây: http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1975182&postcount=206
    Cách 1:
    Đặt $\begin{cases} a= \sqrt{2x-1} \\ b = \sqrt{2y-1} \end{cases} $ đưa về hệ đối xứng.
    Cách 2:
    Bình phương 2 vế và đưa về ẩn xy.

    Cách 2 có vẻ nhẹ nhàng hơn [​IMG].
     
  5. Giải hệ phương trình:
    $$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 2y + 3} + 2y - 3 =0 \\ 2(2y^3 + x^3) + 3y(x + 1)^2 + 6x(x + 1) + 2 = 0 \end{cases}$$


    P.s: Anh amin thông cảm cho em bữa này, em mò gần 1 tiếng rồi mà chẳng bik viết kiểu đó, em gần đi học rồi, anh đừng xoá bài em nữa nghe, để tối này về em mò thử chứ khó quá anh ơi!!![/B]
    :D Mình sẽ sửa giúp bạn vài lần, bạn bấm sửa bài để xem nhé ;)
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng sáu 2012
  6. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Mình gợi ý nhé. ;)
    Ta viết lại phương trình (2) thành:
    $$2(x+1)^3+3(x+1)^2y+4y^3=0$$ Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 nên cách giải không có gì xa lạ rồi, từ đây ta suy ra được:
    $$x+1=-2y$$ Thế vô (1) nữa là thu được kết quả, bạn tiếp tục nhé,
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng sáu 2012
  7. conmuc

    conmuc Guest

    Giải hệ

    [TEX]x^3y(1+y) + x^2 y^2(2+y) +xy^3 -30=0[/TEX]
    [TEX]x^2 y + x( 1+y+y^2)+y -11=0[/TEX]

    Làm giùm mình nhé! Thanks!
     
  8. cám ơn, cám ơn bạn jet_nguyen, bạn là thiên thần của tui :D:D
    Anh amin ơi, trong chế độ trả lời đầy đủ em ko tìm thấy dấu hệ với dấu mũ, mấy cái đó là mình phải tự nhớ hả anh?
     
  9. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    :D cảm ơn bạn khen mình nha. Ngại quá :p
    À, nếu bạn muốn đấu mũ thì bạn dùng
    Mã:
    ^
    VD: $2^x$ thì:
    Mã:
    $2^x$
    Hay là $2^{2x}$ thì:
    Mã:
    $2^{2x}$
    .
    Còn muốn đánh hệ thì như sau:
    $\bullet$ Muốn dấu hoặc:
    Mã:
    $\left[ \begin{array}{1}    \\       \end{array}\right.$
    VD: $\left[ \begin{array}{1} x=1 \\ x=-2 \end{array}\right.$ thì đánh:
    Mã:
    $\left[ \begin{array}{1} x=1   \\   x=-2    \end{array}\right.$
    $\bullet$ Muốn dấu và:
    Mã:
    $\left\{\begin{array}{1}    \\       \end{array}\right.$
    VD: $\left\{ \begin{array}{1} x+y=1 \\ xy=1 \end{array}\right.$ thì đánh như sau:
    Mã:
    $\left\{ \begin{array}{1}   x+y=1 \\    xy=1   \end{array}\right.$
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng sáu 2012
  10. [TEX]sinx.sin(4x) = 2\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{6} - x) - 4\sqrt{3}{cos}^{2}x.sinx.cos(2x)[/TEX]
    @jet_nguyen: mình viết được rồi nè, hơi khó khăn hehe


    P/s: Lượng giác lập TOPIC riêgn nhé, TOPIC này tập trung ĐẠI SỐ :p
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2012
  11. mình giúp bạn nhé

    Hệ phương trình trên làm ta liên tưởng đến hệ đối xứng loại 1
    Biến đổi hệ phương trình trở thành
    [tex]\left\{ \begin{array}{l} xy(x+y)^2+x^2y^2(x+y)=30 \\ x+y+xy+xy(x+y)=11 \end{array} \right.[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy(x+y)(x+y+xy)=30 \\ x+y+xy+xy(x+y)=11 \end{array} \right.[/tex]
    Đến đây thì ta chỉ cần đặt [tex] a = x+y+xy; b = xy(x+y)[/tex]
    ta có hệ phương trình mới:
    [tex]\left\{ \begin{array}{l} a + b = 11\\ a.b= 30 \end{array} \right.[/tex]
    suy ra [tex]\left\{ \begin{array}{l}a = 6 \\ b = 5 \end{array} \right.[/tex] hoặc [tex]\left\{ \begin{array}{l}a = 5 \\ b = 6 \end{array} \right.[/tex]
    + Trường hợp 1: Nếu [tex]\left\{ \begin{array}{l} x+y+xy = 6 \\ xy(x+y) = 5 \end{array} \right.[/tex]
    Đặt [tex]S = x+y; P = x.y; S^2\geq 4P[/tex]
    ta có hệ phương trình mới: [tex]\left\{ \begin{array}{l} S + P = 6 \\ S.P = 5 \end{array} \right.[/tex]
    suy ra S = 5; P = 1 hoặc S = 1; P = 5 (L). Từ đây tìm được x, y là hai nghiệm của phương trình: [tex] t^2 - 5t + 1 = 0[/tex]
    + Trường hợp 2: Nếu
    [tex]\left\{ \begin{array}{l} x+y+xy = 5 \\ xy(x+y) = 6 \end{array} \right.[/tex]
    tương tự như trường hợp 1
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2012
  12. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Ta viết lại phương trình như sau:
    $$\sin x.\sin 4x=2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)-2\sqrt{3}\cos x.\sin2 x.\cos2x$$$$\Longleftrightarrow \sin x.\sin 4x=2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)-\sqrt{3}\cos x.\sin4x$$$$\Longleftrightarrow \sin 4x(\sin x+\sqrt{3}\cos x)=2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$$$$\Longleftrightarrow \sin 4x(\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x)=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$$$$\Longleftrightarrow \sin 4x\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$$$$\Longleftrightarrow \cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)(\sin4x-\sqrt{2})=0$$ Tới đây thì ổn rồi.
    P/s: Nếu bạn muốn đánh tốt công thức thì nên trích dẫn bài viết của mọi người rồi xem cách đánh công thức nhé. ;)
     
  13. alizeeduong

    alizeeduong Guest

    Duy Nhân viết bị lỗi kìa =)) , khó tính vừa thôi , thì bạn ý không biết nên post nhầm ,:)
    Chỉ là nhắc nhở để lần sau post đúng chỗ thôi =.=

    $sinx.sin4x = 2\sqrt{2} .cos( \frac{\pi }{6} - x) - 4 \sqrt{3}.cosx^{2} .sinx.cos2x$
    $<=> sinx.six4x = \sqrt{2} ( \sqrt{3} cosx + sinx) - \sqrt{3}sin4x.cosx$
    $<=> sin4x( \sqrt{3} cosx + sinx) = \sqrt{2}(\sqrt{3} cosx + sinx)$

    Đưa về pt tích = ok :p
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng sáu 2012
  14. nhandong2004

    nhandong2004 Guest

    Giải HPT:
    [tex]\left\{ \begin{array}{l} x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y \\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x \end{array} \right.[/tex]

    Bài nữa nè:
    Giải Pt: [tex]\ -4x^2 + 13x - 5 = sqrt{3x + 1}[/tex]

    Các bạn giúp mình nhé
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng sáu 2012
  15. hoanghondo94

    hoanghondo94 Guest

    Hệ đối xứng , cộng trừ gì đó rồi xét hàm đặc trưng , sau đó thu được nghiệm [tex]x=y[/tex] , thay vô rồi giải , he :)

    Giải pt vô tỉ , có mấy cách :p ( đặt điều kiện nhé )

    - Đưa về pt tích nè :p:

    [TEX](2x-\frac{5}{2})^2=(\sqrt{3x+1}-\frac{1}{2})^2 \ --> Okie[/TEX]


    - Đặt ẩn phụ ( chỉ có 1 ẩn )


    [TEX](3x+1)-\sqrt{3x+1}-4{{x}^{2}}+10x-6=0 .... {{t}^{2}}-t-4{{x}^{2}}+10x-6=0,t=\sqrt{3x+1}\ge 0 [/TEX]

    [TEX]\Delta ={{(4x+5)}^{2}} [/TEX]




    - Đặt ẩn phụ ( có 2 ẩn )

    [TEX]\sqrt{3x+1}=-\left(2x-3 \right)^2-\left(2x-3 \right)+\left(3x+1 \right)[/TEX]

    [TEX] Dat \ a=2x-3,b=\sqrt{3x+1}[/TEX]

    [TEX] We \ have \ b=-a^2-a+b^2\Leftrightarrow a^2-b^2+a+b=0\Leftrightarrow \left(a+b \right)\left(a-b+1 \right)=0[/TEX]

    [TEX]W i t h \ -a=b \Leftrightarrow 3-2x=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq \frac{3}{2} & \\ 4x^2-15x+8=0&\end{matrix}\right.' \Leftrightarrow x=\frac{15-\sqrt{97}}{8}[/TEX]


    [TEX] W i t h \ a+1=b \Leftrightarrow 2x-2=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 1 & \\ 4x^2-11x+3=0& \end{matrix}\right.' \Leftrightarrow x=\frac{11+\sqrt{73}}{8}[/TEX]


    [tex] x=\frac{15-\sqrt{97}}{8},x=\frac{11+\sqrt{73}}{8}[/TEX]

    :p:p:p



     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng sáu 2012
  16. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    Nói thế sao được !
    Bạn xem thêm ở đây:
    http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=229229
    Đẳng thức sai, em xem lại nhé :D
    To duynhan: ANh chỉ chỗ sao giùm em cái!
    À thiếu, ^^, x=y thì chưa đủ để xảy ra đẳng thức.
    To duynhan: sã em tưởng gì to tát lắm anh à!
     
    Last edited by a moderator: 12 Tháng sáu 2012
  17. Giải phương trình sau:
    [TEX]\sqrt{3x+4}-\sqrt{5-x} + 3{x}^{2} - 8x -19 > 0[/TEX]

    Giải hệ phương trình:
    [TEX]\left\{\begin{{3}^{3x-2y}-5.{6}^{x}+4.{2}^{3x-2y}=0}\\ {\sqrt{x-y}=\sqrt{y}+(\sqrt{2y}-\sqrt{x}){(\sqrt{2y}+\sqrt{x})}^{2}}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 12 Tháng sáu 2012
  18. mình thử xem nhé

    Câu 2.
    phương trình (1) trở thành
    [TEX]\sqrt{x-y}-\sqrt{y}+(x-2y)(\sqrt{x}+\sqrt{2y})=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{x-y}+\sqrt{y}}+(x-2y)(\sqrt{x}+\sqrt{2y})=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (x-2y)(\frac{1}{\sqrt{x-y}+\sqrt{y}}+\sqrt{x}+\sqrt{2y}) = 0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow\left[\begin{x-2y=0}\\{\frac{1}{\sqrt{x-y}+\sqrt{y}}+\sqrt{x}+\sqrt{2y} = 0} [/TEX]
    [TEX]\Rightarrow x = 2y[/TEX]
    thay vào phương trình (2) ta được
    [TEX]3^{4y} - 5.6^{2y}+4.2^{4y} = 0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow 9^{2y} - 5.6^{2y}+4.4^{2y} = 0[/TEX]
    chia cả hai vế phương trình cho [TEX]4^{2y}[/TEX] ta được pt mới
    [TEX](\frac{9}{4})^{2y} - 5.(\frac{3}{2})^{2y} + 4 = 0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow\left[\begin{\frac{3}{2}^{2y} = 1}\\{\frac{3}{2}^{2y} = 4} [/TEX]
    đến đây bạn tự giải tiếp nhé
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng sáu 2012
  19. mình giúp bạn nhé

    Câu 1.
    Điều kiện: [TEX]\frac{-4}{3}\leq x \leq 5[/TEX]
    Bất phương trình ban đầu trở thành
    [TEX]\sqrt{3x+4} - 4 + 1 - \sqrt{5 -x}+ 3x^2-8x-16>0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow\frac{3(x-4)}{\sqrt{3x+4}+4}+\frac{x-4}{1+\sqrt{5-x}}+(x-4)(3x+4)>0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (x -4)(\frac{3}{\sqrt{3x+4}+4})+\frac{1}{1+\sqrt{5-x}}+3x+4)>0[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow x > 4[/TEX] (Do [TEX] \frac{3}{\sqrt{3x+4}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{5- x}}+3x+4 >0 [/TEX] với [TEX]\frac{-4}{3}\leq x \leq 5[/TEX])
    Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng sáu 2012
  20. mình tham gia một bài nhé

    Bài 129. Giải hệ phương trình
    [tex]\left\{ \begin{array}{l} 6x^2\sqrt{x^3-6x+5} = (x^2+2x-6)(x^3+4) \\ x+ \frac{2}{x} = 1 + \frac{2}{y^2}\end{array} \right.[/tex]​
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->