[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[yeuhocmai.yk]

 

[duynhan1]

Hướng dẫn nhé, dễ thấy với $x<0$ thì phương trình vô nghiệm.
Với $x \ge 0$ thì ta nhân liên hợp như sau: $$ \sqrt{x^2+5} - (x+1) = x^3 - 8 $$ Dễ dàng chứng minh vô nghiệm nhé

 

[kaspersky2301]

Giải hộ cái pt này cái

Giải pt:
[TEX]2\sqrt{4x^2-x+1} - \sqrt{9x^2-4x+4} = 3\sqrt[3]{2x^2-x^3} -2x[/TEX]

 

[mr.n.p.t]

Tìm m

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+1=-2x+4y \\ (m^2+1)x+m(2y+3)=5 \end{array} \right.[/tex]
Tìm m để có 2 nghiệm phân biệt [TEX](x_1;y_1) (x_2;y_2)[/TEX] mà [TEX](x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2[/TEX] lớn nhất

 

[mr.n.p.t]

[TEX]\left{\begin{2 log_{3-x}{(6-3y+xy-2x)}+ log_{2-y}{(x^2 -6x+9)}=6 }\\{ log_{3-x}{(5-y)} - log_{2-y}{(x+2)}=1} [/TEX]

 

[jelouis]

Giải pt:
[TEX]2\sqrt{4x^2-x+1} - \sqrt{9x^2-4x+4} = 3\sqrt[3]{2x^2-x^3} -2x[/TEX]

Bài này nghiệm đẹp ghê :
$2\sqrt{4x^2-x+1} - \sqrt{9x^2-4x+4} = 3\sqrt[3]{2x^2-x^3} -2x (1)$
$\Longleftrightarrow 2\sqrt{4x^2-x+1} - \sqrt{9x^2-4x+4} -1= 3\sqrt[3]{2x^2-x^3} -2x-1$
Nhận thấy rằng :
$2\sqrt{4x^2-x+1}-4 = \frac{4(4x^2-x+1)-16}{2\sqrt{4x^2-x+1}+4}=\frac{8(x-1)(x+\frac{3}{4})}{\sqrt{4x^2-x+1}+4}$
$3-\sqrt{9x^2-4x+4}=\frac{-9(x-1)(x+\frac{5}{9})}{3+\sqrt{9x^2-4x+4}}$
$3\sqrt[3]{2x^2-x^3}-3=\frac{-3(x-1)^2}{\sqrt[3]{(2x^2-x^3)^2}+\sqrt{2x^2-x^3}+1}$
Vậy $(1) \Longleftrightarrow (x-1)(\frac{8(x+\frac{3}{4})}{\sqrt{4x^2-x+1}+4}-\frac{9(x+\frac{5}{9})}{3+\sqrt{9x^2-4x+4}+4}-\frac{3(x-1)}{\sqrt[3]{(2x^2-x^3)^2+\sqrt{2x^2-x^3}+1}}) = 0$
$\Longrightarrow x=1$
Anh giải cái phương trình trong ngoặc ra bằng lượng liên hợp thì vẫn ra là 1 nghiệm là x=1 nên em ghi thẳng kết quả

 

[khanhnguyenxxx]

2(sinx +2cosx).[TEX]\sqrt{1+tanx}[/TEX]=5(sinx+3cosx)

[TEX]sin^2[/TEX]x+sinx.cos4x +[TEX]cos^2[/TEX]4x=[TEX]\frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]\int_{1}^{2}[/TEX] [TEX]x^x[/TEX].(1+lnx).dx

Giải hệ:
[TEX]\sqrt{x^2+x+y+1}[/TEX] +x + [TEX]\sqrt{y^2+x+y+1}[/TEX] +y=18
[TEX]\sqrt{x^2+x+y+1}[/TEX] -x + [TEX]\sqrt{y^2+x+y+1}[/TEX] -y=2

giải hệ:
[TEX] y^2[/TEX]= (5x+4)(4-x)
[TEX]y^2[/TEX]-5x^2-4xy+16x-8y+16=0

Giải dùm mình mấy bài này cái.cảm ơn mấy bạn

 

[kaspersky2301]

Bài này nghiệm đẹp ghê :
$2\sqrt{4x^2-x+1} - \sqrt{9x^2-4x+4} = 3\sqrt[3]{2x^2-x^3} -2x (1)$
$\Longleftrightarrow 2\sqrt{4x^2-x+1} - \sqrt{9x^2-4x+4} -1= 3\sqrt[3]{2x^2-x^3} -2x-1$
Nhận thấy rằng :
$2\sqrt{4x^2-x+1}-4 = \frac{4(4x^2-x+1)-16}{2\sqrt{4x^2-x+1}+4}=\frac{8(x-1)(x+\frac{3}{4})}{\sqrt{4x^2-x+1}+4}$
$3-\sqrt{9x^2-4x+4}=\frac{-9(x-1)(x+\frac{5}{9})}{3+\sqrt{9x^2-4x+4}}$
$3\sqrt[3]{2x^2-x^3}-3=\frac{-3(x-1)^2}{\sqrt[3]{(2x^2-x^3)^2}+\sqrt{2x^2-x^3}+1}$
Vậy $(1) \Longleftrightarrow (x-1)(\frac{8(x+\frac{3}{4})}{\sqrt{4x^2-x+1}+4}-\frac{9(x+\frac{5}{9})}{3+\sqrt{9x^2-4x+4}+4}-\frac{3(x-1)}{\sqrt[3]{(2x^2-x^3)^2+\sqrt{2x^2-x^3}+1}}) = 0$
$\Longrightarrow x=1$
Anh giải cái phương trình trong ngoặc ra bằng lượng liên hợp thì vẫn ra là 1 nghiệm là x=1 nên em ghi thẳng kết quả

CÁI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH MÀ BẠN RÚT RA X=1, TẠI SAO CHỈ DỪNG LẠI Ở ĐÓ. ????
XIN TRẢ LỜI LUÔN, VÌ BẠN KO CHỨNG MINH ĐC CÁI PHƯƠNG TRÌNH CÒN LẠI VÔ NGHIỆM.......
Và bạn cũng nên thử x=0 vào xem có thỏa mãn ko.....thật buồn cười vì nó thỏa mãn><><><><><

 

[mr.n.p.t]

[TEX]sin^2[/TEX]x+sinx.cos4x +[TEX]cos^2[/TEX]4x=[TEX]\frac{3}{4}[/TEX]
[tex]\Leftrightarrow sin^2x+2sinx.\frac{1}{2}cos4x+\frac{1}{4}cos^{24}x-\frac{3}{4}(1-cos^24x)=0 \\ \Leftrightarrow (sinx+\frac{1}{2}cos4x)^2-\frac{3}{4}sin^24x=0 \\ \Leftrightarrow (sinx+\frac{1}{2}cos4x+\frac{\sqrt[]{3}}{2}sin4x)(sinx+\frac{1}{2}cos4x-\frac{\sqrt[]{3}}{2}sin4x)=0 \\ \Leftrightarrow [sinx+sin(4x+\frac{\pi}{6})][sinx+sin(4x-\frac{\pi}{6})]=0[/tex]

Đến đây bạn tự giải nhé !

 

[maiphuong55]

moi nguoi giai cau nay na
x+2[tex]\sqrt{7-x}=2[tex]\sqrt{x-1}+[tex]\sqrt{-[tex] x^2+8x-7}+1[/tex]

 

[jet_nguyen]

$x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{- x^2+8x-7}+1$

Không biết đề có phải thế này không, nếu đề là vầy thi ta giải như sau:
ĐK:1 \leq $x$ \leq 7.
Viết lại phương trình thành:
$$x-1+2\sqrt{7-x}-2\sqrt{x-1}-\sqrt{(x-1)(7-x)}=0$$
Đặt: $a= \sqrt{x-1}, b=\sqrt{7-x}$ do đó phương trình trở thành:
$$a^2+2b-2a-ab=0$$$$\Longleftrightarrow a(a-2)-b(a-2)=0$$$$\Longleftrightarrow (a-2)(a-b)=0$$$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{1} a=2\\ a=b \end{array}\right.$$$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{1} x=5 (N) \\ x=4 (N) \end{array}\right.$$

 

[jet_nguyen]

[TEX]\left{\begin{2 log_{3-x}{(6-3y+xy-2x)}+ log_{2-y}{(x^2 -6x+9)}=6 }(1)\\{ log_{3-x}{(5-y)} - log_{2-y}{(x+2)}=1}(2) [/TEX]

ĐK:...
Từ (1) ta có:
$$ 2.\log_{3-x}[(3-x)(2-y)]+\log_{2-y}(3-x)^2=6. $$$$ \Longleftrightarrow 2+2.\log_{3-x}(2-y)+2. \log_{2-y}(3-x)=6. $$$$ \Longleftrightarrow \log_{3-x}(2-y)+ \log_{2-y}(3-x)-2=0(3). $$
Đặt: $ t=\log_{3-x}(2-y)(ĐK:...). $ khi đó:
$$ (3) \Longleftrightarrow t+\dfrac{1}{t}-2=0. $$$$ \Longleftrightarrow t^2-2t+1=0. $$$$ \Longleftrightarrow t=1.$$$$ \Longleftrightarrow \log_{3-x}(2-y)=1$$$$ \Longleftrightarrow 3-x=2-y .$$$$ \Longleftrightarrow y=x-1.$$
Vậy:
$$(2) \Longleftrightarrow \log_{3-x}{(6-x)} - log_{3-x}{(x+2)}=1.$$$$ \Longleftrightarrow \log_{3-x}{(6-x)} = log_{3-x}{(x+2)}+1.$$$$ \Longleftrightarrow \log_{3-x}{(6-x)} = log_{3-x}{(x+2)(3-x)}.$$$$ \Longleftrightarrow 6-x =(x+2)(3-x).$$$$ \Longleftrightarrow x^2-2x=0$$
Tới đây bạn tiếp tục nhé.

 

[phu1994]

Giải hệ phương trình:
\[\begin{cases}
2\sqrt {x + 3y + 2} - 3\sqrt{y} = \sqrt {x + 2} \\ \sqrt {y - 1} - \sqrt {4 - x} + 8 - {x^2} = 0
\end{cases} \]
Các bạn làm bài này với .cả ơn

 

[jet_nguyen]

Giải hệ phương trình:
\[\begin{cases}
2\sqrt {x + 3y + 2} - 3\sqrt{y} = \sqrt {x + 2} (1)\\ \sqrt {y - 1} - \sqrt {4 - x} + 8 - {x^2} = 0 (2)
\end{cases} \]
Các bạn làm bài này với .cả ơn

ĐK: $-2$ \leq $x$ \leq $4, y$ \geq $1$.
Với điều kiện trên thì:
$$(1) \Longleftrightarrow 2\sqrt {x + 3y + 2}= 3\sqrt{y} + \sqrt {x + 2}$$$$ \Longleftrightarrow 4(x + 3y + 2)= 9y+ 6.\sqrt{y}.\sqrt {x + 2}+x+2$$$$ \Longleftrightarrow 3x-3y+6= 6.\sqrt{y}.\sqrt {x + 2}$$$$ \Longleftrightarrow x+2-2.\sqrt{y}.\sqrt {x + 2} +y=0$$$$ \Longleftrightarrow (\sqrt{x+2}-\sqrt{y})^2=0$$$$ \Longleftrightarrow x+2=y$$
Thế vào (2) ta được:
$$ \sqrt {x+1} - \sqrt {4 - x} + 8 - {x^2} = 0$$$$ \Longleftrightarrow \sqrt {x+1} - 2+1-\sqrt {4 - x} + 9 - {x^2} = 0$$$$ \Longleftrightarrow \dfrac{x-3}{\sqrt {x+1} + 2}+\dfrac{x-3}{1+\sqrt {4 - x}} +(x+3)(3-x)= 0$$$$ \Longleftrightarrow x=3 (N)$$\Rightarrow $$y=5 (N)$$

 

[phanthanh1711]

x^2- 12xy + 20 y^2=0
ln(1+x) - ln(1+y) =x-y.
hệ pt số 2:
2 mũ( (1-x^2)/x^2) +xy +3/2 = 2 mũ y.
(x^2y+ 2x)^2 - 2x^2 .y -4x +1=0

 

[jet_nguyen]

$$\left\{ \begin{array}{1} x^2- 12xy + 20 y^2=0 (1)\\
ln(1+x) - ln(1+y) =x-y. (2) \end{array}\right.$$

Gợi ý:
Bài 1:
Ta phân tích (1) thành:
$$(x-10y)(x-2y)=0$$$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{1} x=10y \\
x=2y \end{array}\right.$$
Với (2) thì ta xét hàm đặc trưng: $f(t)=\ln(t+1)-t$ thì sẽ suy ra được x=y.

$$\left\{ \begin{array}{1} 2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+xy+\dfrac{3}{2}=2^y(1)\\
(x^2y+ 2x)^2 - 2x^2 .y -4x +1=0. (2) \end{array}\right.$$

Bài 2:
Ta viết lại (2) như sau:
$$ (x^2y+ 2x)^2 - 2(x^2 .y +2x) +1=0. $$$$ \Longleftrightarrow (x^2y+ 2x -1)^2=0. $$$$ \Longleftrightarrow x^2y+ 2x =1. $$Thế vô (2): $$ 2^{\frac{1}{x^2} - 1} +\frac{1-2x}{x} + \fra = 2^{\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x}} $$$$ \Longleftrightarrow 2^{\frac{1}{x^2} - 1} + \dfrac{1}{2}. (\frac{1}{x^2} - 1) = 2^{\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} } + \dfrac{1}{2}( \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x}) . $$
Xét hàm $f(t) = 2^t + \frac12 t, t \in R$
Tới đây bạn tiếp tục hoàn thiện nhé.

 

[phanthanh1711]

hỏi tiếp

Gợi ý:
Bài 1:
Ta phân tích (1) thành:
$$(x-10y)(x-2y)=0$$$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{1} x=10y \\
x=2y \end{array}\right.$$
Tới đây bạn thế lần lượt vô (2) là thu được kết quả.

Bài 2:
Ta viết lại (2) như sau:
$$ (x^2y+ 2x)^2 - 2(x^2 .y +2x) +1=0. $$$$ \Longleftrightarrow (x^2y+ 2x -1)^2=0. $$$$ \Longleftrightarrow x^2y+ 2x =1. $$
Tới đây bạn tiếp tục hoàn thiện nhé.
[/SIZE][/FONT]

ồi, câu ! tớ cũng làm ra được đến thế kia nhưng thế vào pt 2 thì không biết làm như thế nào nữa =.= cậu làm thếm tí nữa được không, cả câu 2 nữa thêm chút nữa nhé hì hì tks.
cái f(t)= ln(1+t) -t. khi mà đạo hàm thì ra
f'(t)= 1/ln(1+t) -1 cái này thì ta có thể kết luân đồng biến, nghich biến như thế nào ?

 

[duynhan1]

ồi, câu ! tớ cũng làm ra được đến thế kia nhưng thế vào pt 2 thì không biết làm như thế nào nữa =.= cậu làm thếm tí nữa được không, cả câu 2 nữa thêm chút nữa nhé hì hì tks

Câu 1 cả 2 trường hợp đều thế vào chuyển hết sang 1 bên rồi xét hàm nhé, không khó đâu

Câu 2: $$ 2^{\frac{1}{x^2} - 1} +\frac{1-2x}{x} + \fra = 2^{\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x}} \\ \Leftrightarrow 2^{\frac{1}{x^2} - 1} + \frac12 ( \frac{1}{x^2} - 1) = 2^{\frac{1]{x^2} - \frac{2}{x} } + \frac12( \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x}) $$
Xét hàm $f(t) = 2^t + \frac12 t, t \in R$, thì hàm số f(t) đồng biến trên R.
OK nhé.

 

[phanthanh1711]

x^3-3x^2 = y^3 -3y -2
log_y (x-2)/(y-1) + log_x ( y-1)/(x-2) =(x-3)^3

 

[jet_nguyen]

$$ \left\{ \begin{array}{1} x^3-3x^2 = y^3 -3y -2 \\
\log_y \dfrac{x-2}{y-1}+\ log_x \dfrac{ y-1}{x-2} =(x-3)^3 \end{array}\right.$$

Gợi ý:
ĐK:....
Ta viết lại (2) như sau:
$$ x^2(x-3) = (y+1)^2(y-2)$$ Tới đây ta xét hàm số: $f(t)=t^2(t-3)$ thì sẽ suy ra được $x=y+1$.
Công việc còn lại bạn tiếp tục nhé.

 

[phanthanh1711]

re

Gợi ý:
ĐK:....
Ta viết lại (2) như sau:
$$ x^2(x-3) = (y+1)^2(y-2)$$ Tới đây ta xét hàm số: $f(t)=t^2(t-3)$ thì sẽ suy ra được $x=y+1$.
Công việc còn lại bạn tiếp tục nhé.

ề, giữa cái x^2(x-3) = (y+1)^2(y-2) thì có vế trái (x-3) còn vế phải (y-2) thì làm sao xét được nhỉ=.= nó có giống nhau đâu.