Toán 8 $\fbox{[Toán 8] Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8}$

Thảo luận trong 'Đại số' bắt đầu bởi riverflowsinyou1, 28 Tháng tư 2014.

Lượt xem: 51,762


  1. Cái này $AM-GM$ @-) hơi căng nhỉ ?
    $\sqrt{a^2+\frac{1}{16b^2}+....+\frac{1}{16b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{16c^2}+....+\frac{1}{16c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{16a^2}+....+\frac{1}{16a^2}}$
    \geq $\sqrt{17.\sqrt[17]{â^2.\frac{1}{16.b^2}......\frac{1}{16b^2}}}+\sqrt{17.\sqrt[17]{b^2.\frac{1}{16.c^2}......\frac{1}{16c^2}}}+\sqrt{17.\sqrt[17]{c^2.\frac{1}{16.a^2}......\frac{1}{16a^2}}}$=$\sqrt{17.\sqrt[17]{\frac{a^2}{16^16.b^32}}}+\sqrt{17.\sqrt[17]{\frac{b^2}{16^16.c^32}}}+\sqrt{17.\sqrt[17]{\frac{c^2}{16^16.a^32}}}$. \geq $3.\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{a}{16^8.(abc)^5}}$ \geq $\frac{3.\sqrt{17}}{2.\sqrt[17]{(\frac{2a+2b+2c}{3})^{15}}}$ \geq $\frac{3.\sqrt{17}}{2}$
    Kết luận ...................... dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0,5$
    Cái này Mincopxki có vẻ dễ hơn nhỉ @-)
     
  2. C/m $\frac{2.a^3+1}{4.b.(a-b)}$ \geq $3$ \forall $a$ \geq $0,5$ và $a>b$
     
  3. thinhrost1

    thinhrost1 Guest

    Cách khác (bunhia)

    $\sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{17}}(\sum a+4\sum \dfrac{1}{b})\geq \dfrac{1}{\sqrt{17}}(\sum a+\dfrac{36}{\sum a}) =\dfrac{1}{\sqrt{17}}(\sum a+\dfrac{9}{4\sum a})+\dfrac{135}{4\sum a}\geq \dfrac{1}{\sqrt{17}}.\dfrac{51}{2}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$

    Vậy min là:... khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$
     
  4. thinhrost1

    thinhrost1 Guest

    Cho a,b,c là số thực dương. Chứng minh:

    $\sqrt{\dfrac{a}{(a+1)(b+1)}}+\sqrt{\dfrac{b}{(a+1)(b+1)}}+\sqrt{\dfrac{c}{(c+1)(b+1)}}\leq \dfrac{3}{2}$
     
  5. letsmile519

    letsmile519 Guest

    $\frac{2.a^3+1}{4.b.(a-b)}$ \geq $3$ \forall $a$ \geq $0,5$ và $a>b$

    BĐT cần cm tương đương với :

    $2.a^3+1-12ab+12b^2$\geq0

    \Leftrightarrow $(\sqrt[]{12}b-\sqrt[]{3})^2+2a^3-3a^2+1$\geq0

    Thấy $2a^3-3a^2+1$=$(a-1)^2(2a+1)$\geq0

    \Rightarrow đpcm

    Dấu = khi a=1 b= 1/2
     
  6. letsmile519

    letsmile519 Guest

    Đề sai hay đúng vậy ? :D:D

    Mẫu sai hay sao ý


    ....................................................................................................
     
  7. thinhrost1

    thinhrost1 Guest

    Thế các giá trị vào thì đề đúng hay sai là biết ngay :D

    Bài toán này kỳ quặc là do mình có biến đổi tí xíu nhưng không ảnh hưởng gì đâu :D
     
  8. Cho $a,b,c$ dương thoa mãn $a.b.c=1$. C/m:
    $P=\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{c+1}+\frac{c^2}{a+1}$ \geq $\frac{3}{2}$
     
  9. Cách nào cũng hay =)).
    $4.b.(a-b)$ \leq $4.(\frac{b+a-b}{2})^2$=$a^2$
    \Rightarrow $\frac{2.a^3+1}{4.b.(a-b)}$ \geq $\frac{a^3+a^3+1}{a^2}=a+a+\frac{1}{a^2}$ \geq $3.\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{a^2}}=3$
     
  10. letsmile519

    letsmile519 Guest

    Cho $a,b,c$ dương thoa mãn $a.b.c=1$. C/m:
    $P=\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{c+1}+\frac{c^2}{a+1}$ \geq $\frac{3}{2}$


    Có: $\frac{a^2}{b+1}+\frac{b+1}{4}$\geq $2\sqrt[]{a^2.\frac{1}{4}$=$a$

    Tương tự

    \Rightarrow $P$\geq $a+b+c-\frac{b+1}{4}-\frac{a+1}{4}-\frac{c+1}{4}$

    \Leftrightarrow $P$\geq $\frac{3}{4}(a+b+c)-\frac{3}{4}$\geq $\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

    Dấu = khi a=b=c=1
     
  11. 1)Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z=1$ . C/m
    $P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$ \geq $\sqrt{82}$
    2) Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$ . Tìm Min :
    $A=\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(c+1)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)}$
     
    Last edited by a moderator: 8 Tháng năm 2014
  12. letsmile519

    letsmile519 Guest

    1)Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z=1$ . C/m
    $P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$
    2) Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$ . Tìm Min :
    $A=\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(c+1)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)}$


    Câu 1 thiếu đề

    C2:

    Ta có :

    $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}$\geq $3/4a$


    -> $A$\geq $\frac{3}{4}(a+b+c)-\frac{a+b+c+3}{4}$=$\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=3/4$

    Dấu = khi a=b=c=1
     
  13. letsmile519

    letsmile519 Guest

    C1:

    Ta có: $\sqrt[]{x^2+\frac{1}{81x^2}+...+\frac{1}{81x^2}}$

    Từ đây cosi với 82 số


    \geq $\sqrt[]{82\sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.(x^2)^{80}}}}$

    Từ đây Ta có

    P\geq $\sum$ $\sqrt[]{82\sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.(x^2)^{80}}}}$

    Lại cô si với 3 số

    Mà $x+y+z=1$\geq $3\sqrt[3]{xyz}$

    Từ đây ta \Rightarrow Min $P =\sqrt[]{82}$
     
  14. 1) Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
    $\frac{b.a}{c+1}+\frac{c.a}{b+1}+\frac{b.c}{a+1}$ \leq $\frac{1}{4}$
    2) Cho $x,y,z>0$ sao cho $x^2+y^2+z^2=2014$. Tìm GTNN $A=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$
     
  15. Bài 1:
    Minkovsky:

    $P \ge \sqrt{(x+y+z)^2+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})^2} \ge \sqrt{1+9^2} = \sqrt{82}$
     
    Last edited by a moderator: 8 Tháng năm 2014
  16. Tiếp cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$.C/m:
    $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+6$ \geq $12$
     
  17. AM-GM:

    $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b} + 6 \ge 6\sqrt[6]{\dfrac{(abc)^2}{(abc)^2}}+6 = 6+6=12$

    Hơi thừa điều kiện nhỉ :))
     
  18. Ối lộ đề rồi =)) .
    Cho $x,y,z>0$ sao cho $x^2+y^2+z^2=3$ . C/m
    $A=\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}$ \geq $3$
     
  19. su10112000a

    su10112000a Guest

    không biết có đúng không

    ta có:
    $x^2$+$y^2$+$z^2$\geq$xy+xz+yz$
    \Rightarrow$xy+xz+yz$\leq$3$
    mặt khác $x, y, z$ > $0$ và $x^2$+$y^2$+$z^2$=3 nên $3xyz$\geq$3$
    ta có:
    $\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$= $\frac{xyz}{xy}$ + $\frac{xyz}{xz}$ + $\frac{xyz}{yz}$
    \Rightarrow$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$\geq$\frac{(3xyz)^2}{xy+xz+yz}$
    \Rightarrow$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$\geq$\frac{3^2}{3}$
    \Rightarrow$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$\geq$3$
    vậy $A$\geq$3$

    dấu"=" xảy ra khi $x=y=z$
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng năm 2014
  20. Mình nghĩ $xyz \le 1$ chứ nhỉ :D
    ..........................................................
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->