Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[riverflowsinyou1]

Ối lộ đề rồi =)) .
Cho $x,y,z>0$ sao cho $x^2+y^2+z^2=3$ . C/m
$A=\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}$ \geq $3$

Câu này dễ mà ).
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$
$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}$ \geq $2.x^2$
$\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}$ \geq $2.y^2$
$\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}$ \geq $2.z^2$
\Rightarrow $2.(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x})$ \geq $2.x^2+2.y^2+2z^2=6$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

 

[congchuaanhsang]

Câu này dễ mà ).
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$
$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}$ \geq $2.x^2$
$\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}$ \geq $2.y^2$
$\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}$ \geq $2.z^2$
\Rightarrow $2.(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x})$ \geq $2.x^2+2.y^2+2z^2=6$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Cách khác:

Áp dụng $(a+b+c)^2$ \geq $3(ab+bc+ca)$

Có $(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x})^2$ \geq $3(x^2+y^2+z^2)=9$

\Leftrightarrow $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}$ \geq 3

 

[thinhrost1]

Câu này dễ mà ).
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$
$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}$ \geq $2.x^2$
$\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}$ \geq $2.y^2$
$\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}$ \geq $2.z^2$
\Rightarrow $2.(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x})$ \geq $2.x^2+2.y^2+2z^2=6$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Sai từ khúc in đỏ dẫn đến sai toàn bộ ..

 

[riverflowsinyou1]

Sai từ khúc in đỏ dẫn đến sai toàn bộ ..

Ah quên sorry ) ............................................................. sai rồi

 

[congchuaanhsang]

2) Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$ . Tìm Min :
$A=\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(c+1)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)}$

Đây là bài trong IMO Short List 1995!

Có thể giải bằng Cauchy-Schwarz nhưng dài hơn

Thử nhé: Cho $a^2+b^2+c^2=8$. Tìm min:

$A=ab+bc+2ca$

 

[riverflowsinyou1]

Đây là bài trong IMO Short List 1995!

Có thể giải bằng Cauchy-Schwarz nhưng dài hơn

Thử nhé: Cho $a^2+b^2+c^2=8$. Tìm min:

$A=ab+bc+2ca$

IMO Short List là gì ạ , em chỉ biết IMO thôi ..............................

 

[congchuaanhsang]

IMO Short List là gì ạ , em chỉ biết IMO thôi ..............................

IMO nói đơn giản là cuộc thi toán quốc tế. Còn IMO Short List tức đề thi đề nghị cho IMO

P.s: Có ai giải được bài trên không? Bài đó khá hay và lạ

 

[riverflowsinyou1]

IMO nói đơn giản là cuộc thi toán quốc tế. Còn IMO Short List tức đề thi đề nghị cho IMO

P.s: Có ai giải được bài trên không? Bài đó khá hay và lạ

Có lời giải khác đấy ạ. Theo Cauchy:
$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}$ \geq $0,75.a$
\Rightarrow Tương tự : \Rightarrow $P$ \geq $0,75.(a+b+c)-\frac{3+a+b+c}{4}=0,75$

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a+b+c=1$ vs $a,b,c>0$ . C/m
$\frac{1-a}{b}.\frac{1-b}{c}.\frac{1-c}{a}$ \geq $8$ dễ thôi

 

[duchieu300699]

Cho $a+b+c=1$ vs $a,b,c>0$ . C/m
$A=\frac{1-a}{b}.\frac{1-b}{c}.\frac{1-c}{a}$ \geq $8$ dễ thôi

$A=\dfrac{b+c}{b}.\dfrac{a+c}{c}.\dfrac{a+b}{a}=2+\dfrac{a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}{abc}$
$=2+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}$ \geq 8

Dấu "=" $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

 

[riverflowsinyou1]

Tìm $x,y>0$ biết :
$5.(x^2+y^2)=(x+2y)^2$ và $x+y=81$

 

[tensa_zangetsu]

Bài này cũng khá dễ
Tìm GTNN:
$P=\sqrt{x^2+4y^2-4x+4}+\sqrt{x^2+4y^2-12y+9}$

 

[tensa_zangetsu]

Tìm $x,y>0$ biết :
$5.(x^2+y^2)=(x+2y)^2$ và $x+y=81$

$5(x^2+y^2)=(x+2y)^2$

Có $(x+2y)^2 \le 5(x^2+y^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $2x=y, x+y=81$ hay $x=27, y=54$

Vậy $(x;y)=(27;54)$

 

[riverflowsinyou1]

$5(x^2+y^2)=(x+2y)^2$

Có $(x+2y)^2 \le 5(x^2+y^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $2x=y, x+y=81$ hay $x=27, y=54$

Vậy $(x;y)=(27;54)$

Cho $ab+bc+ac=4$.C/m
$a^4+b^4+c^4$ \geq $\frac{16}{3}$

 

[tensa_zangetsu]

Cho $ab+bc+ac=4$.C/m
$a^4+b^4+c^4$ \geq $\frac{16}{3}$

$ab+bc+ca=4$
$\leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 4$

Cauchy-Schwarz:

$a^4+b^4+c^4 \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\ge \dfrac{16}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

 

[su10112000a]

ta có:
$a^4$+$b^4$\geq$2a^2b^2$\geq4ab
$b^4$+$c^4$\geq$2b^2c^2$\geq4bc
$c^4$+$a^4$\geq$2c^2a^2$\geq4ca
công lai, ta có:
2($a^4+b^4+c^4$)\geq4(ab+bc+ca)
\Leftrightarrow2($a^4+b^4+c^4$)\geq16
mặt khác, ta có: 3($a^4+b^4+c^4$)-2($a^4+b^4+c^4$)=$a^4+b^4+c^4$
nên 3($a^4+b^4+c^4$)\geq2($a^4+b^4+c^4$)
\Rightarrow3($a^4+b^4+c^4$)\geq16
\Rightarrow$a^4+b^4+c^4$\geq $\frac{16}{3}$

 

[riverflowsinyou1]

Gpt: $2x+\sqrt{4-2x^2} +\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y} = 10$

 

[tensa_zangetsu]

Gpt: $2x+\sqrt{4-2x^2} +\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y} = 10$

$VT^2=(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{4-2x^2}+\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y})^2 \le 5(2x^2+4-2x^2+y-6+22-y)=100$
$\leftrightarrow VT \le 10$

Dấu "=" không xảy ra.

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c>0$. C/m
$\sqrt{\frac{a}{b+c}.\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}.\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}.\frac{c}{a+b}}$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{5}{4}$

 

[su10112000a]

thêm một câu hỏi vậy

Cho các số dương x, y, z thoả mãn $xyz$ = $1$.
Chứng minh rằng: $x^2$+$y^2$+$z^2$ +$x$+$y$+$z$\geq$2(xy+yz+zx)$