Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[thinhrost1]

Tình hình là đánh số thứ tự bài đê
Cho $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ thỏa $ad-bc=1$. Tìm Min:
$$a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$$

Đặt $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$

$1+(ac+bd)^2=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

$S \geq (ac+bd)+2\sqrt[]{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} =(ac+bd)+2\sqrt[]{1+(ac+bd)^2}$

$S^2 \geq (ac+bd)^2+4(1+(ac+bd)^2)+4(ac+bd)\sqrt{1+(ac+bd)^2}=(\sqrt{1+(ac+bd)^2}+2(ac+bd))^2+3\geq 3$

Vậy:..

 

[riverflowsinyou1]

1) Cho $a;b;c>0$ . C/m
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ > 2 .
2) Cho $0 \leq x \leq 3$ và 0\leqy\leq4. Tìm GTLN:
$B=(3-x)(4-y)(2x+3y)$
3) Tìm giá trị lớn nhất của :
$C=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$ với $a;b>1$.
4) Cho $xy+yz+xz=4$ . C/m $x^4+y^4+z^4$ \geq $\frac{16}{3}$.

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:

$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}} \geq \dfrac{2a}{a+b+c}$

Tương tự cộng từng vế ta có dpcm

Dấu $"="$ không xảy ra

Bài 2:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

$6B=(6-2x)(12-3y)(2x+3y) \leq \dfrac{(6-2x+12-3x+2x+3y)^3}
{27}=216$

$\rightarrow B \leq 36$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=0 \ \ \ \ \ y=2$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 3:

$C \geq \dfrac{(a+b)^2}{a+b-2}=\dfrac{(a+b)^2-8a-8b+16}{a+b-2}+8=
\dfrac{(a+b-4)^2}{a+b-2} +8 \geq 0$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=2$

Bài 4:

$x^4+y^4+z^4 \geq \dfrac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)^2 \geq \dfrac{1}
{3}(xy+yz+xz)^2=\dfrac{16}{3}$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\pm 2\sqrt{3}}{3}$

 

[eye_smile]

3,AD AM-GM có:

$\dfrac{{a^2}}{b-1}+\dfrac{{b^2}}{a-1}$ \geq $2.\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}$ \geq $2.2.2=8$
Dâu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=2

 

[riverflowsinyou1]

Tiếp nào .
1)Cho $a;b;c$ dương thoả mãn : ($\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$).12=$3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.
C/m $\frac{1}{4a+b+c}$+$\frac{1}{4b+a+c}$+$\frac{1}{4c+a+b}$ \leq $\frac{1}{6}$
2) Hỏi có thể suy ra rằng $\frac{a^n+b^n}{2}$ \geq $\frac{(a+b)^n}{8}$ với ($a;b;n>0$ được không ? ( n thuộc N*)
3) Cho $a;b$>$0$.C/m
$a^{m+n}$+$b^{m+n}$ \geq $a^m.b^n$+$a^n.b^m$.

 

[riverflowsinyou1]

Thôi không có ai làm hết hả qua bài khác vậy .
Cho a \geq$2$
Tìm GTNN của
$A=a^2+\frac{1}{a^2}$

 

[thinhrost1]

Thôi không có ai làm hết hả qua bài khác vậy .
Cho a \geq$2$
Tìm GTNN của
$A=a^2+\frac{1}{a^2}$

$a^2+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{a^2}+0,0625a^2+0,9375.a^2\geq 2\sqrt{0,0625}+4.0,9375=\dfrac{17}{4}$

Vậy min là $\dfrac{17}{4}$ phải hông ta )

@river: mấy bài kia không có đáp án hả, nếu không ai trả lời thì đăng đáp án lên cho mọi người kham khảo đi )

 

[thinhrost1]

2) Hỏi có thể suy ra rằng $\frac{a^n+b^n}{2}$ \geq $\frac{(a+b)^n}{8}$ với ($a;b;n>0$ được không ? ( n thuộc N*)

a=5,b=7,n=9 không thoả mãn.

Vậy không thể suy ra đẳng thức trên

 

[canonteresa]

Cho $x;y>0$ thoả mãn : $x^2+y^3$ \geq $x^3+y^4$.
C/m $x^3+y^3$ \leq $2$.

 

[riverflowsinyou1]

Cho $x;y>0$ thoả mãn : $x^2+y^3$ \geq $x^3+y^4$.
C/m $x^3+y^3$ \leq $2$.

Chà bài này khó nhỉ @-) :
$x^6+(xy)^3.2+y^6$ \leq ($x^3+y^4$)($x^3+y^2$) \leq ($x^2+y^3$)($x^3+y^2$) \leq $\frac{(x^2+y^2+x^3+y^3)^2}{4}$
\Rightarrow $x^3+y^3$ \leq $x^2+y^2$.
Theo bđt Holder thì: $(x^2+y^2)^3$ \leq ($x^3+y^3$)($x+y$)($x^2+y^2$)
\Rightarrow $x^2+y^2$ \leq $x+y$
\Rightarrow $x+y$ \leq $2$
\Rightarrow $x^3+y^3$ \leq $x+y$ \leq $2$.

 

[baochauhn1999]

Mình đăng thêm bài nữa này:

CMR: Với mọi $m;n;p\in R+$ thì:
$\sqrt{\frac{m}{m+n}}+\sqrt{\frac{n}{n+p}}$+$\sqrt{\frac{p}{p+m}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}}$

 

[baochauhn1999]

bài nữa này:
Cho: $a;b\in [0;1]$. CMR:
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$\leq$1$

 

[baochauhn1999]

Tiếp tục:
Cho: $a;b;c\in [1;3]$ và: $a+b+c=6$. Tìm Max:
$A=a^3+b^3+c^3$

 

[thinhrost1]

Chà bài này khó nhỉ @-) :
$x^6+(xy)^3.2+y^6$ \leq ($x^3+y^4$)($x^3+y^2$) \leq ($x^2+y^3$)($x^3+y^2$) \leq $\frac{(x^2+y^2+x^3+y^3)^2}{4}$
\Rightarrow $x^3+y^3$ \leq $x^2+y^2$.
Theo bđt Holder thì: $(x^2+y^2)^3$ \leq ($x^3+y^3$)($x+y$)($x^2+y^2$)
\Rightarrow $x^2+y^2$ \leq $x+y$
\Rightarrow $x+y$ \leq $2$
\Rightarrow $x^3+y^3$ \leq $x+y$ \leq $2$.

Giải thik khúc đỏ được không?

 

[soicon_boy_9x]

Nhầm
................................................................................

 

[riverflowsinyou1]

Tiếp tục:
Cho: $a;b;c\in [1;3]$ và: $a+b+c=6$. Tìm Max:
$A=a^3+b^3+c^3$

$a^3+1+1$ \geq $3a$ \Rightarrow $A$ \geq $3(a+b+c)-6=12$.

 

[riverflowsinyou1]

bài nữa này:
Cho: $a;b\in [0;1]$. CMR:
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$\leq$1$

Giả sử 0\leqa\leqb\leqc\leq1
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$ \leq $\frac{a}{a+b+1}$+$\frac{b}{a+b+1}$+$\frac{c}{a+b+1}$+$(1-a)(1-b)(1-c)$=$\frac{a+b+c}{a+b+1}$+$\frac{(a+b+1)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}$ \leq $\frac{a+b+c}{a+b+1}$+$\frac{(a+1)(b+1)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}$=$\frac{a+b+c}{a+b+1}$+$\frac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c)}{a+b+1}$ \leq $\frac{a+b+c}{a+b+1}$+$\frac{1-c}{a+b+1}$=$1$.

 

[riverflowsinyou1]

Cho a;b;c là các số thực dương thoả mãn $a.b.c=1$. Tìm Max của
$P=\sqrt{\frac{2}{1+a}}+\sqrt{\frac{2}{1+b}}+\sqrt{\frac{2}{1+c}}$

 

[soicon_boy_9x]

$a^3+1+1$ \geq $3a$ \Rightarrow $A$ \geq $3(a+b+c)-6=12$.

Làm giống hệt trên VMF trong khi cách làm này sai

Nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1 \rightarrow a+b+c=3 $(loại)

Và quan trọng nhất là người ta nói là tìm MAX