Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[riverflowsinyou1]

Cho a,b,c > 0; $a + b + c \le 3/2$

Tìm Min $S = \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 + \dfrac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 + \dfrac{1}{a^2}}$

Áp dụng AM - GM ạ!

Cái này $AM-GM$ @-) hơi căng nhỉ ?
$\sqrt{a^2+\frac{1}{16b^2}+....+\frac{1}{16b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{16c^2}+....+\frac{1}{16c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{16a^2}+....+\frac{1}{16a^2}}$
\geq $\sqrt{17.\sqrt[17]{â^2.\frac{1}{16.b^2}......\frac{1}{16b^2}}}+\sqrt{17.\sqrt[17]{b^2.\frac{1}{16.c^2}......\frac{1}{16c^2}}}+\sqrt{17.\sqrt[17]{c^2.\frac{1}{16.a^2}......\frac{1}{16a^2}}}$=$\sqrt{17.\sqrt[17]{\frac{a^2}{16^16.b^32}}}+\sqrt{17.\sqrt[17]{\frac{b^2}{16^16.c^32}}}+\sqrt{17.\sqrt[17]{\frac{c^2}{16^16.a^32}}}$. \geq $3.\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{a}{16^8.(abc)^5}}$ \geq $\frac{3.\sqrt{17}}{2.\sqrt[17]{(\frac{2a+2b+2c}{3})^{15}}}$ \geq $\frac{3.\sqrt{17}}{2}$
Kết luận ...................... dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0,5$
Cái này Mincopxki có vẻ dễ hơn nhỉ @-)

 

[riverflowsinyou1]

C/m $\frac{2.a^3+1}{4.b.(a-b)}$ \geq $3$ \forall $a$ \geq $0,5$ và $a>b$

 

[thinhrost1]

Cho a,b,c > 0; $a + b + c \le 3/2$

Tìm Min $S = \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 + \dfrac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 + \dfrac{1}{a^2}}$

Áp dụng AM - GM ạ!

Cách khác (bunhia)

$\sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{17}}(\sum a+4\sum \dfrac{1}{b})\geq \dfrac{1}{\sqrt{17}}(\sum a+\dfrac{36}{\sum a}) =\dfrac{1}{\sqrt{17}}(\sum a+\dfrac{9}{4\sum a})+\dfrac{135}{4\sum a}\geq \dfrac{1}{\sqrt{17}}.\dfrac{51}{2}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$

Vậy min là:... khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

 

[thinhrost1]

Cho a,b,c là số thực dương. Chứng minh:

$\sqrt{\dfrac{a}{(a+1)(b+1)}}+\sqrt{\dfrac{b}{(a+1)(b+1)}}+\sqrt{\dfrac{c}{(c+1)(b+1)}}\leq \dfrac{3}{2}$

 

[letsmile519]

C/m $\frac{2.a^3+1}{4.b.(a-b)}$ \geq $3$ \forall $a$ \geq $0,5$ và $a>b$

$\frac{2.a^3+1}{4.b.(a-b)}$ \geq $3$ \forall $a$ \geq $0,5$ và $a>b$

BĐT cần cm tương đương với :

$2.a^3+1-12ab+12b^2$\geq0

\Leftrightarrow $(\sqrt[]{12}b-\sqrt[]{3})^2+2a^3-3a^2+1$\geq0

Thấy $2a^3-3a^2+1$=$(a-1)^2(2a+1)$\geq0

\Rightarrow đpcm

Dấu = khi a=1 b= 1/2

 

[letsmile519]

Cho a,b,c là số thực dương. Chứng minh:

$\sqrt{\dfrac{a}{(a+1)(b+1)}}+\sqrt{\dfrac{b}{(a+1)(b+1)}}+\sqrt{\dfrac{c}{(c+1)(b+1)}}\leq \dfrac{3}{2}$

Đề sai hay đúng vậy ?

Mẫu sai hay sao ý

....................................................................................................

 

[thinhrost1]

Đề sai hay đúng vậy ?

Mẫu sai hay sao ý

....................................................................................................

Thế các giá trị vào thì đề đúng hay sai là biết ngay

Bài toán này kỳ quặc là do mình có biến đổi tí xíu nhưng không ảnh hưởng gì đâu

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c$ dương thoa mãn $a.b.c=1$. C/m:
$P=\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{c+1}+\frac{c^2}{a+1}$ \geq $\frac{3}{2}$

 

[riverflowsinyou1]

$\frac{2.a^3+1}{4.b.(a-b)}$ \geq $3$ \forall $a$ \geq $0,5$ và $a>b$

BĐT cần cm tương đương với :

$2.a^3+1-12ab+12b^2$\geq0

\Leftrightarrow $(\sqrt[]{12}b-\sqrt[]{3})^2+2a^3-3a^2+1$\geq0

Thấy $2a^3-3a^2+1$=$(a-1)^2(2a+1)$\geq0

\Rightarrow đpcm

Dấu = khi a=1 b= 1/2

Cách nào cũng hay =)).
$4.b.(a-b)$ \leq $4.(\frac{b+a-b}{2})^2$=$a^2$
\Rightarrow $\frac{2.a^3+1}{4.b.(a-b)}$ \geq $\frac{a^3+a^3+1}{a^2}=a+a+\frac{1}{a^2}$ \geq $3.\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{a^2}}=3$

 

[letsmile519]

Cho $a,b,c$ dương thoa mãn $a.b.c=1$. C/m:
$P=\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{c+1}+\frac{c^2}{a+1}$ \geq $\frac{3}{2}$

Có: $\frac{a^2}{b+1}+\frac{b+1}{4}$\geq $2\sqrt[]{a^2.\frac{1}{4}$=$a$

Tương tự

\Rightarrow $P$\geq $a+b+c-\frac{b+1}{4}-\frac{a+1}{4}-\frac{c+1}{4}$

\Leftrightarrow $P$\geq $\frac{3}{4}(a+b+c)-\frac{3}{4}$\geq $\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

Dấu = khi a=b=c=1

 

[riverflowsinyou1]

1)Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z=1$ . C/m
$P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$ \geq $\sqrt{82}$
2) Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$ . Tìm Min :
$A=\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(c+1)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)}$

 

[letsmile519]

1)Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z=1$ . C/m
$P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$
2) Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$ . Tìm Min :
$A=\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(c+1)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)}$

Câu 1 thiếu đề

C2:

Ta có :

$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}$\geq $3/4a$


-> $A$\geq $\frac{3}{4}(a+b+c)-\frac{a+b+c+3}{4}$=$\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=3/4$

Dấu = khi a=b=c=1

 

[letsmile519]

C1:

Ta có: $\sqrt[]{x^2+\frac{1}{81x^2}+...+\frac{1}{81x^2}}$

Từ đây cosi với 82 số


\geq $\sqrt[]{82\sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.(x^2)^{80}}}}$

Từ đây Ta có

P\geq $\sum$ $\sqrt[]{82\sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.(x^2)^{80}}}}$

Lại cô si với 3 số

Mà $x+y+z=1$\geq $3\sqrt[3]{xyz}$

Từ đây ta \Rightarrow Min $P =\sqrt[]{82}$

 

[riverflowsinyou1]

1) Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{b.a}{c+1}+\frac{c.a}{b+1}+\frac{b.c}{a+1}$ \leq $\frac{1}{4}$
2) Cho $x,y,z>0$ sao cho $x^2+y^2+z^2=2014$. Tìm GTNN $A=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$

 

[tensa_zangetsu]

1)Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z=1$ . C/m
$P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$ \geq $\sqrt{82}$
2) Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$ . Tìm Min :
$A=\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(c+1)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)}$

Bài 1:
Minkovsky:

$P \ge \sqrt{(x+y+z)^2+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})^2} \ge \sqrt{1+9^2} = \sqrt{82}$

 

[riverflowsinyou1]

Bài 1:
Minkovsky:

$P \ge \sqrt{(x+y+z)^2+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})^2} \ge \sqrt{1+9^2} = \sqrt{82}$

Tiếp cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$.C/m:
$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+6$ \geq $12$

 

[tensa_zangetsu]

Tiếp cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$.C/m:
$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+6$ \geq $12$

AM-GM:

$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b} + 6 \ge 6\sqrt[6]{\dfrac{(abc)^2}{(abc)^2}}+6 = 6+6=12$

Hơi thừa điều kiện nhỉ )

 

[riverflowsinyou1]

AM-GM:

$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b} + 6 \ge 6\sqrt[6]{\dfrac{(abc)^2}{(abc)^2}}+6 = 6+6=12$

Hơi thừa điều kiện nhỉ )

Ối lộ đề rồi =)) .
Cho $x,y,z>0$ sao cho $x^2+y^2+z^2=3$ . C/m
$A=\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}$ \geq $3$

 

[su10112000a]

không biết có đúng không

ta có:
$x^2$+$y^2$+$z^2$\geq$xy+xz+yz$
\Rightarrow$xy+xz+yz$\leq$3$
mặt khác $x, y, z$ > $0$ và $x^2$+$y^2$+$z^2$=3 nên $3xyz$\geq$3$
ta có:
$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$= $\frac{xyz}{xy}$ + $\frac{xyz}{xz}$ + $\frac{xyz}{yz}$
\Rightarrow$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$\geq$\frac{(3xyz)^2}{xy+xz+yz}$
\Rightarrow$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$\geq$\frac{3^2}{3}$
\Rightarrow$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$\geq$3$
vậy $A$\geq$3$
dấu"=" xảy ra khi $x=y=z$

 

[tensa_zangetsu]

ta có:
$x^2$+$y^2$+$z^2$\geq$xy+xz+yz$
\Rightarrow$xy+xz+yz$\leq$3$
mặt khác $x, y, z$ > $0$ và $x^2$+$y^2$+$z^2$=3 nên $3xyz$\geq$3$
ta có:
$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$= $\frac{xyz}{xy}$ + $\frac{xyz}{xz}$ + $\frac{xyz}{yz}$
\Rightarrow$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$\geq$\frac{(3xyz)^2}{xy+xz+yz}$
\Rightarrow$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$\geq$\frac{3^2}{3}$
\Rightarrow$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$\geq$3$
vậy $A$\geq$3$
dấu"=" xảy ra khi $x=y=z$

Mình nghĩ $xyz \le 1$ chứ nhỉ
..........................................................