Toán 8 $\fbox{[Toán 8] Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8}$

Thảo luận trong 'Đại số' bắt đầu bởi riverflowsinyou1, 28 Tháng tư 2014.

Lượt xem: 51,263

  1. Thêm bài nữa:
    Bài #100:
    x^2+y^2=xy+1.
    Chứng minh $\dfrac{-1}{3} \le xy \le 1$
     
  2. $(x+y)^2 \geq 0 \leftrightarrow xy+1=x^2+y^2 \geq -2xy$

    $\leftrightarrow 3xy \geq 1 \leftrightarrow xy \geq \dfrac{-1}{3}$

    Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=-y= \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

    $(x-y)^2 \geq 0 \leftrightarrow xy+1=x^2+y^2 \geq 2xy$

    $\rightarrow xy \leq 1$

    Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=1$
     
  3. 1) C/m rằng $\sqrt{(a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$
    2) Cho $a;b;c$ > $0$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2=4.\sqrt{a.b.c}$
    C/m $a+b+c$ \geq $2.\sqrt{a.b.c}$
     
  4. Dùng phép biến đổi tương đương

    $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

    \Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $(a+c)^2+(b+d)^2$

    \Leftrightarrow $2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $2(ac+bd)$

    \Leftrightarrow $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $ac+bc$

    \Leftrightarrow $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ \geq $(ac+bd)^2$ (BĐT Bunhia)
    \Rightarrow đpcm :-j:-j
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng năm 2014
  5. Không có bác nào sửa bài 2 hết nhỉ :).
    Theo $AM-GM$:
    $a^2+b^2+c^2=4.\sqrt{a.b.c}$ \geq $\sqrt[3]{(a.b.c)^2}.3$
    \Rightarrow $4^6.(a.b.c)^3$ \geq $3^6.(a.b.c)^4$ \Leftrightarrow $a.b.c$ \leq $\frac{4^6}{3^6}$
    \Rightarrow $a+b+c$ \geq $3.\sqrt[3]{a.b.c}$ \geq $2.\sqrt{a.b.c}$
     
  6. Cho $x;y;z$>$0$. C/m
    $\frac{4z-7y}{x+2y}+\frac{5x-5z}{y+3z}+\frac{3y-11x}{z+4x}$ \geq $-3$
     
  7. Ta có: $\dfrac{4z-7y}{x+2y}+\dfrac{5x-5z}{y+3z}+\dfrac{3y-11x}{z+4x} \geq -3$

    $\leftrightarrow \dfrac{4z-7y+4(x+2y)}{x+2y}+\dfrac{5x-5z+2(y+3z)}{y+3z}+\dfrac{3y-
    11x+3(z+4x)}{z+4x} \geq 6$

    $\leftrightarrow \dfrac{(y+3z)+(z+4x)}{x+2y}+\dfrac{(x+2y)+(z+4x)}
    {y+3z}+\dfrac{(x+2y)+(y+3z)}{z+4x} \geq 6(1)$

    Đặt $\left\{\begin{matrix} y+3z=a \\ 4x+z=b \\ x+2y=c \end{matrix}\right.$

    $(1) \leftrightarrow \dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c} \geq 3\sqrt[3]
    {\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{8abc}{abc}}=6$

    Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x+2y=y+3z=z+4x$

    $\leftrightarrow ...$

    Đến đây các bạn tự tìm tỉ lệ $x:y:z$ nhé


    Làm tiếp một bài nhé

    Cho 4 số thực m,n,p,q có tổng bằng 2

    Chứng minh

    $1.m^2-m+1 \leq \dfrac{3}{4}(m^2+n^2+p^2+q^2)$

    $2.\dfrac{a}{a^2-a+1}+\dfrac{b}{b^2-b+1}+\dfrac{c}{c^2-c+1} \leq \dfrac{8}{3}$

    Các bạn nhớ là a,b,c,d không dương đâu nhé
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng năm 2014
  8. lebalinhpa1

    lebalinhpa1 Guest

    Mình cũng học bồi dưỡng nhưng nó đâu có nâng cao thế này? ........................Hic,khó thế nhỉ
     
  9. buivanbao123

    buivanbao123 Guest


    Chứng minh câu 2.
    Ta có :$a^{2}-a+1$=$(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$ \geq $\frac{3}{4}$
    Do đó :$\frac{a}{a^{2}-a+1}$ \leq $\frac{4a}{3}$ :)
    Tương tự: $\frac{b}{b^{2}-b+1}$ \leq $\frac{4b}{3}$ :(
    $\frac{c}{c^{2}-c+1}$ \leq $\frac{4c}{3}$ :p
    Cộng :) :( :p ta có BDT \leq $\frac{4}{3}.(a+b+c)$
    mà theo giả thiết a+b+c=2
    \Rightarrow BDT \leq $\frac{8}{3}$
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng năm 2014
  10. Làm sai hoàn toàn

    Mình đã nhác kĩ là a,b,c,d không dương cơ mà

    Nếu mà a âm thì $\dfrac{1}{a^2-a+1} \leq \dfrac{4}{3}$

    Nhân cả 2 vế với a âm thì $\dfrac{a}{a^2-a+1} \geq \dfrac{4}{3}$

    Đấy là chỗ sai của bạn đấy
     
  11. Bài 2 của soicon_boy_9x mình nghĩ có vấn đề.
    Dùng phương pháp miền giá trị.
    $A=\dfrac{a}{a^2-a+1}$
    $Aa^2-(A+1)a+A=0$
    $\Delta = (A-1)^2-4A^2=-3A^2-2A+1 \ge 0$
    $\leftrightarrow -1 \le A \le \dfrac{1}{3}$
    $BT \le 1$

    $max BT = 1$ $\leftrightarrow a=b=c=\left[\begin{matrix} 2+\sqrt{3}\\ 2-\sqrt{3} \end{matrix}\right.$
    Mà $a+b+c=2$ nên dấu bằng không xảy ra.
     
  12. Chọn điểm rơi trong bđt AM - GM

    Xét bảng biến thiên thấy a càng lớn thì A càng lớn nên A nhỏ nhất khi a = 2

    Sơ đồ điểm rơi:

    [TEX]a = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{a^2}{\alpha} = \frac{4}{\alpha} \\ \frac{1}{a^2} = \frac{1}{4} \end{array} \right.[/TEX]

    [TEX] \Rightarrow \frac{4}{\alpha} = \frac{1}{4} \leftrightarrow \alpha = 16[/TEX]

    [TEX]A = a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{a^2}{16} + \frac{1}{a^2} + \frac{15a^2}{16} \ge 2.\sqrt{\frac{a^2}{16}. \frac{1}{a^2}} + \frac{15.4}{16} = \frac{17}{4} [/TEX]

    [TEX]Min A = \frac{17}{4} \leftrightarrow a = 2[/TEX]
     
  13. Cho a,b,c > 0; $a + b + c \le 3/2$

    Tìm Min $S = \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 + \dfrac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 + \dfrac{1}{a^2}}$

    Áp dụng AM - GM ạ! :D
     
  14. Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a+2b+3c$ \geq $14$ C/m $a^2+b^2+c^2$ \geq $14$
     
  15. Áp dụng BDT Minkovsky:

    $S \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2}=\sqrt{16(a+b+c)^2+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2-15(a+b+c)^2}$

    $\ge \sqrt{8(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})-\dfrac{135}{4}}$

    $\ge \sqrt{\dfrac{153}{4}}$ (Cauchy)


    $\text{min}S=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}$
     
  16. Áp dụng BDT Bunyakovsky:
    $(1^2+2^2+3^2)(a^2+b^2+c^2)\ge (a+2b+3c)^2$
    $\leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge 14$ (dpcm)
    Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}, a+2b+3c=14$
    hay $a=1, b=2, c=3$
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng năm 2014
  17. Thêm 1 bài nữa.
    Cho $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{c+1}$ \geq $2$
    C/m $abc$ \leq $\frac{1}{8}$
     
  18. $\sum \dfrac{1}{1+a} \ge 2$
    $\leftrightarrow \dfrac{1}{1+a}\ge \dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c} \ge 2\sqrt{\dfrac{bc}{(1+b)(1+c)}}$
    Tương tự:
    $\dfrac{1}{1+b}\ge 2\sqrt{\dfrac{ca}{(1+c)(1+a)}}$
    $\dfrac{1}{1+c}\ge 2\sqrt{\dfrac{ab}{(1+a)(1+b)}}$
    Nhân các vế tương ứng:
    $\dfrac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}\ge 8\dfrac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
    hay $abc \le \dfrac{1}{8}$ (dpcm)
     
  19. Bài 1:
    Chứng minh rằng với $n \in N^{*}$ và dãy số dương $u_n$ thì
    $(\sum\limits_{k=1}^{n} u_k)^{-1} \le \dfrac{1}{n^2}(\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k})$

    Áp dụng chứng minh $\sum \dfrac{1}{2a+b+c} \le \dfrac{1}{4}(\sum \dfrac{1}{a})$ (chả hiểu cái đề như thế nào :)))

    Bài 2:
    Chứng minh với mọi $m,n \in Z^{+}$ thì $\sqrt[m+n]{m^{2n}.n^{2m}} \le \dfrac{m^2+n^2}{2}$

    Trong sách có hướng dẫn là Cauchy cho $n$ số $m^2$ và $m$ số $n^2$

    Bài 3:
    $x,y,z>0$ và $xyz=1, n\in Z^{+}$
    Chứng minh $(\dfrac{1+x}{2})^n +(\dfrac{1+y}{2})^n +(\dfrac{1+z}{2})^n \ge 3$
    Cho em hỏi luôn $Z^{+}$ là cái tập hợp gì vậy. có phải là tập hợp các số dương ở tập $Z$ không :|

    Bài 4:
    $x^2+y^2=u^2+v^2=1$
    Chứng minh: $|u(x-y)+v(x+y)|\le 2$

    Chiều thi xong up tiếp.
     
  20. Không được rồi mấy bài đối với lớp 8 quá khó chưa học $\sum_{i=1}^k a_i^n$ đâu @-)
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->