Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[canonteresa]

Tiếp nhé.
Bài dễ thôi .
Cho $2$ số $x;y$ thoả mãn: $x+y$=$1$ và $x.y=1$. Tìm $x;y$.

Ta có $x+y=\frac{1}{y}+y=1$ nếu $y$ thì không được vì VT<VP
Nếu $y$ dương thì VP \geq $2$
\Rightarrow vô nghiệm.

 

[riverflowsinyou1]

1) Cho $4$ số $a;b;c$ thoả mãn điều kiện $a$ \geq $4$; $b$ \geq $5$ ; $c$ \geq $6$ và
$a^2+b^2+c^2=90$.
Chứng minh $a+b+c$ \geq $16$.
2) Cho $x;y;z$ là các số thức khác $-1$ thoả mãn $x.y.z=8$. Chứng minh rằng :
$\frac{1}{(x+1)^2}$+$\frac{1}{(y+1)^2}$+$\frac{1}{(z+1)^2}$ \geq $\frac{1}{3}$ .

 

[tensa_zangetsu]

Bác là dân casio mà không biết cái này $\sum$ à )

Cái đó là xích ma ấy, hiểu rồi phải không )

À bài trên chắc phải có đk gì đó, vì $a_1= a_2=1$ thì BDT sai

dãy số phân biệt, em chép thiếu đề )

Mới mò ra dấu bằng xảy ra rồi nhưng không biết chứng minh nó ntn :|

Còn cái xích ma đó có mấy bài bất đẳng thức nhìn vào chả hiểu :|

 

[tanngoclai]

Thì cũng Casio mà em cũng không biết cái xích ma là cái gì :| Cho em xin vài ví dụ đê =))

 

[soicon_boy_9x]

Thì cũng Casio mà em cũng không biết cái xích ma là cái gì :| Cho em xin vài ví dụ đê =))

Tổng đối xứng. Có nhiều loại tổng đối xứng. Thi Casio là loại khác. Còn loại mà bất đẳng
thức hay dùng là nếu với bài có 3 ẩn a,b,c thì

$\sum a=a+b+c \ \ \ \ \ \sum bc=ab+bc+ca \ \ \ \ \ \ \ \sum \dfrac{bc}{a^2}=\dfrac{ab}
{c^2}+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}$

Kiểu như thế

 

[congchuaanhsang]

Câu này mình chưa có lời giải, mọi người làm giùm luôn:
Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $a$\leq$b$\leq$3$\leq$c;$ $c$\geq$b+1;$ $a+b$\geq$c.$ Tìm Min của:
$Q=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài này không phù hợp với kiến thức học sinh lớp 8 cho lắm....

$a+b$ \geq $c$ \geq $b+1$ \Leftrightarrow $a$ \geq $1$

Mà $b$ \geq $a$ \Leftrightarrow $b$\geq1

\Rightarrow $(a-1)(b-1)$ \geq 0 \Leftrightarrow $ab+1$\geq$a+b$\geqc \Leftrightarrow $ab$\geq$c-1$

Có $Q$\geq$\dfrac{2ab+abc}{(a+1)(b+1)(c-1)}=\dfrac{ab(c+2)}{(ab+a+b+1)(c+1)}$

\Rightarrow $Q$ \geq $\dfrac{ab(c+2)}{2(ab+1)(c+1)}=\dfrac{c+2}{2(1+ \dfrac{1}{ab} )(c+1)}$

\Rightarrow $Q$ \geq $\dfrac{c+2}{2(1+\dfrac{1}{c-1})(c+1)}=\dfrac{(c+2)(c-1)}{2c(c+1)}$

\Leftrightarrow $Q$ \geq $\dfrac{c^2+c-2}{2(c^2+c)}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{c^2+c}$

\Leftrightarrow $Q$ \geq $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3^2+3}=\dfrac{5}{12}$

 

[riverflowsinyou1]

Thôi đành cho bài nhẹ nhàng vậy . |-)
Cho $x;y$ là 2 cạnh của tam giác vuông biết $x>y>0$. So sánh
$\sqrt{x}+\sqrt{y}$ và $\sqrt{x+y}$
$\sqrt{x-y}$ và $\sqrt{x}-\sqrt{y}$

 

[tensa_zangetsu]

Thì cũng Casio mà em cũng không biết cái xích ma là cái gì :| Cho em xin vài ví dụ đê =))

Cái xích ma trong Casio là như thế này:
$\sum\limits_{x=1}^{n} x^3 = 1^3+2^3+3^3+...+n^3$

có loại khác, không biết tên là gì: $\prod\limits_{x=1}^{n} \dfrac{x(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{1.3}{2.4}.\dfrac{2.5}{3.6}.....\dfrac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}$

Giờ mới biết $\sum$ cũng có nghĩa là hoán vị :|

 

[tensa_zangetsu]

Thôi đành cho bài nhẹ nhàng vậy . |-)
Cho $x;y$ là 2 cạnh của tam giác vuông biết $x>y>0$. So sánh
$\sqrt{x}+\sqrt{y}$ và $\sqrt{x+y}$
$\sqrt{x-y}$ và $\sqrt{x}-\sqrt{y}$

- Giả sử: $\sqrt{x}+\sqrt{y} > \sqrt{x+y}$
Bình phương 2 vế: $x+y+2\sqrt{xy} > x+y$ luôn đúng

Vậy ....

- Giả sử: $\sqrt{x-y}<\sqrt{x}-\sqrt{y}$
Bình phương 2 vế: $x-y < x+y-2\sqrt{xy}$
$\leftrightarrow y^2>xy$ luôn sai vì $x>y$

Vậy ...

 

[riverflowsinyou1]

Tiếp.
1)Cho $a;b;c > 0$ thoả mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ \leq $a+b+c$.
C/m $3abc(a+b+c)$ \geq $6+a.b+b.c+a.c$.
2) Cho $a;b;c$ thuộc khoảng từ $0$-->$1$. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b.c+1}$+$\frac{b}{a.c+1}$+$\frac{c}{a.b+1}$ \leq $2$.
3) Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn:
$a+b+c=2$. C/m $(a+b-ab)(b+c-bc)(a+c-ac)$ \leq $1-abc$.

 

[canonteresa]

Chú ý giả thiết ta có :
$abc(a+b+c)$ \geq $ab+bc+ac$
Cần c/m rằng $abc2(a+b+c)$ \geq $6$.
Có $abc3(a+b+c)$ \geq $(ab+bc+ac)3$
Do $(ab+bc+ac)^2$ \geq $3abc(a+b+c)$ \Rightarrow$ab+bc+ac$ \geq $3$
Từ đó ta được điều phải chứng minh.

 

[canonteresa]

Ta có vì $a;b;c$ thuộc từ khoảng 0 đến 1 nên ta có ngay:
$\frac{a}{b.c+1}$+$\frac{b}{a.c+1}$+$\frac{c}{a.b+1}$ \leq $\frac{a}{abc+1}+\frac{b}{abc+1}+\frac{c}{abc+1}$ \leq $\frac{2+abc}{abc+1}$ \leq $1+1=2$ (đpcm)

 

[canonteresa]

Đặt $x=1-a$;$y=1-b$;$z=1-c$
\Rightarrow $x+y+z=1$
Có $a+b-ab=1-xy$ tương tự.
Cần c/m
$[(1-xy)(1-yz)(1-xz)]$+$[(1-x)(1-y)(1-z)$ \leq 1
Phân tích ra sau đó ta được
$-x^2y^2z^2$ \leq 0. \Rightarrow đpcm.

 

[riverflowsinyou1]

Tiếp nhé cho a;b;c>$0$ thoả mãn $abc=1$
C/m $A=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{1}{b^3(a+c}$ \geq $\frac{3}{2}$...................................................

 

[phuong_july]

Đặt:
$x=\frac{1}{a}$; $y=\frac{1}{b}$; $z=\frac{1}{c}$ \Rightarrow $xyz=1$
\Rightarrow $a+b=z(x+y), b+c=z(y+z), a+c=y(z+x)$
\Rightarrow $A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}$
Theo BDT Nesbitt thì:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$ \geq $\frac{3}{2}$
Nhân cả 2 vế với $a+b+c>0$
$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}$ \geq $\frac{x+y+z}{2}$ \geq$\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$
\Rightarrow dpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

[eye_smile]

Tiếp nhé cho a;b;c>$0$ thoả mãn $abc=1$
C/m $A=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{1}{b^3(a+c}$ \geq $\frac{3}{2}$...................................................

Ta có:
$A=\dfrac{bc}{{a^2}(b+c)}+\dfrac{ac}{{b^2}(c+a)}+ \dfrac{ab}{{c^2}(a+b)}$
Đặt $\dfrac{1}{a}=x;\dfrac{1}{b}=y;\dfrac{1}{c}=z$ \Rightarrow $xyz=1$
\Rightarrow $A=\dfrac{{x^2}}{y+z}+\dfrac{{y^2}}{x+z}+\dfrac{{z^2}}{x+y}$ \geq
$\dfrac{{(x+y+z)^2}}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}$ \geq $\dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1

 

[riverflowsinyou1]

Tiếp . Cho m;n nguyên dương . C/m
|$\frac{m}{n}-2$| \geq $\frac{1}{n^2.(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$
@congchua: Đây là bài bđt của lớp 9, lớp 8 chưa học cái này đâu. bạn nào có nhu cầu thì mình post lời giải cho

 

[phuong_july]

Tiếp . Cho a;b nguyên dương . C/m
|$\frac{m}{n}-2$| \geq $\frac{1}{n^2.(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$

Không thấy có sự liên quan với GT. GT cho $a,b$ mà lại yêu cầu chứng minh 2 biến $m,n$. Đề nghị fix lại.
Đấy là đề thi Tuyển sinh lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định 2009-2010.

 

[thinhrost1]

Tiếp . Cho a;b nguyên dương . C/m
|$\frac{m}{n}-2$| \geq $\frac{1}{n^2.(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$

Cái này đâu phải lớp 8 đâu chơi gì ác thế

 

[braga]

Tình hình là đánh số thứ tự bài đê
Cho $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ thỏa $ad-bc=1$. Tìm Min:
$$a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$$